9 2024年九地市中考数学三模试卷改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 33　 　 9 2024 年九地市中考数学三模试卷改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 在有理数-3,0,3,-1 中,相反数最小的数是 ( C ) A. -3 B. 0 C. 3 D. -1 2. 如图,将△ABC 沿 BA 方向平移到△A′B′C′,若 AB= 4,AB′= 1,则平移距离为 ( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 3. 已知实数 a,b 满足 a>b-1,则下列结论正确的是 ( C ) A. a>b B. a<b C. a+2>b+1 D. a+2<b+1 4. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点. 如图,箭头所画的是光线的方向,点 F 是凸透镜的焦点,BD∥CE∥OF,若∠BDF= 150°,∠CEF= 161°,则∠DFE 的度数是 ( B ) A. 10° B. 11° C. 12° D. 13° 5. 下列运算正确的是 ( D ) A. a+b = a + b B. -a+b= -(a+b) C. (a2) 3 =a5 D. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 6. 将两根矩形木条如图放置,固定其中一根,转动另一根,若∠1 增大 3°,则下列说法正确的是 ( A ) A. ∠2 减小 3° B. ∠3 减小 3° C. ∠4 增大 3° D. ∠2 与∠4 的和不变 7. 如图是一个正方体的平面展开图,若将其按虚线折叠成正方体后,相对面上的两个数字之和均为 6,则 2x-y+z 的值为 ( A ) A. 0 B. 2 C. -12 D. 20 8. 如图,点 A,B,C,D,E,F 是☉O 的六等分点,若△OBD 与△CBD 的周长分别为 a,b,则下列说法正确的 是 ( B ) A. a<b B. a= b C. a>b D. a,b 的大小无法比较 9. 若(　 ) a+b ÷ a a2 -b2 运算的结果不是分式,则“(　 )”内的式子可能是 ( A ) A. ab B. a+b C. a-b D. 1 a 10. 如图,在平面直角坐标系中,由点 A( -3,4)向 x 轴作垂线,垂足表示的数为 m,向 y 轴作垂线,垂足表 示的数为 n,则 m+n 的值为 ( D ) A. -7 B. -1 C. 7 D. 1 第 10 题图 　 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,直线 l(不经过点 A,B,E)与五边形 ABCDE 的边 AB,AE 相交,若五边形中其余角度不变,设 ∠A= x°,∠1+∠2 = y°,则能够大致反映 y 与 x 函数关系的部分图象是 ( A ) A B C D 12. 在求 1+6+62 +63 +64 +65 +66 +67 +68 +69 的值时,嘉嘉发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加 数的 6 倍,于是他设:S= 1+6+62 +63 +64 +65 +66 +67 +68 +69 ①,然后给①式的两边都乘 6,得 6S = 6+62 + 63 +64 +65 +66 +67 +68 +69 +610②,②-①得 6S-S = 610 -1,即 5S = 610 -1,所以 S = 6 10 -1 5 ,得出答案后,爱动 脑筋的嘉嘉想:如果把“6”换成字母“a”(a≠0 且 a≠1),那么 1+a+a2 +a3 +a4 +…+a2 023 的值是多少? 你的答案是 ( B ) A. a 2 023 -1 a-1 B. a 2 024 -1 a-1 C. a 2 024 -1 a D. a2 023 -1 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 16 小题第一空 1 分,第二空 2 分) 13. 数据 1,2,2,3,5,x,3 的众数是 2,则这组数据的中位数是 . 14. 已知 x+y-3 = 0,则 2y·2x 的值是 . 15. 如图,在菱形 ABCD 中,以点 C 为圆心,CB 长为半径作 BD ( ,与 AB、AD 分别交于点 E,F,点 E,F 恰好是 BD ( 的三等分点,连接 AC,CE,则∠ACE= °. 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,Rt△ABC 的直角顶点 C 的坐标为( 1 2 ,1),顶点 A,B 在直线 l:y= - 1 2 x+ 9 2 上,且 AC∥y 轴,双曲线 G:y= k x (k 为常数,x>0)位于第一象限. (1)当双曲线 G 经过点 B 时,点 A (填“在”或“不在”)G 上; (2)若点 M1 ~M6 是线段 AB 上横坐标为整数的点(不与点 A,B 重合),双曲线 G 使这六个点分布在它 的两侧,且两侧的点的个数比为 1 ∶2,则 k 的取值范围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 34　 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 下面是某同学在完成作业本某小题的过程. 　 m+1- m 2 m-1 = (m+1)(m-1) -m2…① =m2 -1-m2…② = -1…③ (1)上面的解题步骤从第 步开始出错; (2)写出正确的解题过程. 解:(1)①; (2)m+1- m 2 m-1 =(m+1)(m-1) m-1 - m 2 m-1 =m 2-1-m2 m-1 = -1 m-1 = 1 1-m . 18. (本小题满分 8 分) 甲,乙两个矩形的长、宽分别如图所示(m 为正整数),其面积分别为 S1,S2 . (1)请比较 S1 和 S2 的大小; (2)若一个正方形的周长等于甲,乙两个矩形的周长之和,求该正方形的面积(用含 m 的代数式表示) . 第 18 题图 19. (本小题满分 8 分) 端午节前,学校举行“传经典·乐端午”系列活动,活动设计的项目及要求如下:A. 包粽子,B. 划旱船, C. 诵诗词,D. 创美文;人人参加,每人限选一项.为了解学生的参与情况,校团支部随机抽取了部分学生 进行调查,并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图.请根据统计图中的信息,回答下列问题: 第 19 题图 (1)m= ,“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为 °; (2)补全条形统计图; (3)若学校有 2 000 名学生,请估计选择 D 类活动的人数; (4)甲、乙、丙、丁 4 名学生都是包粽子的能手,现从他们 4 人中选 2 人参加才艺展示,请用列表或画树 状图的方法,求甲、乙两人同时被选中的概率. 20. (本小题满分 8 分) 综合与实践 【问题发现】(1)如图①,把两个面积都为 1 cm2 的小正方形分别沿对角线剪开,将所得的 4 个直角三 角形拼成一个大正方形,则该大正方形的边长为 cm; 【知识迁移】(2)若一个圆与一个正方形的面积都是 2π cm2,设这个圆的周长为 C圆,这个正方形的周 长为 C正,则 C圆 C正(填“ =”“<”或“>”); 【拓展延伸】(3)李明想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片(如图②所示),沿着边的方向裁出一块 面积为 300 cm2 的长方形纸片,使它的长宽之比为 5 ∶4.李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗? 请说 明理由. 第 20 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 35　 　 21. (本小题满分 9 分) 近日,小米 SU7 汽车惊艳上市,智能化和新能源越来越受到人们的追捧. 为了解某新能源汽车的充电 速度,我校数学兴趣小组经调查研究发现:如图,用快速充电器时,汽车电池电量 y1(占电池容量的%) 与充电时间 x(单位:h)的函数图象是折线 ABC;用普通充电器时,汽车电池电量 y2(占电池容量的%) 与充电时间 x(单位:h)的函数图象是线段 AD. 根据以上信息,回答下列问题: (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %; (2)求 BC 段的函数解析式; (3)若将该汽车电池电量从 10%充至 80%,快速充电器比普通充电器少用多长时间? 第 21 题图 22. (本小题满分 9 分) 如图①所示的健身器械为倒蹬机,使用方法为上身不动,腿部向前发力,双腿伸直之后,然后再慢慢回 收. 图②为示意图,已知 DE,DC 在初始位置,DE = DC = 60 cm,点 B,C,G 在同一直线上,AB⊥BG, ∠A= 46°,∠DCG= 95°. (1)当 DE,DC 在初始位置时,用无刻度的直尺和圆规作出线段 DH,用其长度表示点 D 到 AC 的距离 (不说理由,保留作图痕迹,不写作法),并求点 D 到 AC 的距离; (2)当双腿伸直后,如图②,点 E,D 分别从初始位置运动到点 E′,D′,假设 E′,D′,C 三点共线,求此时 点 E 上升的竖直高度. (结果保留整数,参考数据:sin41°≈0. 66,cos41°≈0. 75, tan41°≈0. 87, cos44°≈0. 72,sin44°≈0. 69,tan44°≈0. 97) 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 36　 23. (本小题满分 11 分) 【模型建立】 如图①,图②,点 P 分别在☉O 外,☉O 内,直线 PO 分别交☉O 于点 A,B,则 PA 是点 P 到☉O 上的点 的最短距离,PB 是点 P 到☉O 上的点的最长距离. 【问题解决】 请在图①中证明:PB 是点 P 到☉O 上的点的最长距离. 【初步应用】 (1)已知点 P 到☉O 上的点的最短距离为 3,最长距离为 7,则☉O 的半径为 ; (2)如图③,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,BC = 6. 点 E 在边 BC 上,且 CE = 2,动点 P 在半径为 2 的 ☉E 上,求 AP 的最小值. 【拓展延伸】 如图④,点 A(2,0),动点 B 在以 P(4,4)为圆心, 2为半径的圆上,OB 的中点为 C,求线段 AC 的最大值. 第 23 题图 24. (本小题满分 12 分) 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)的顶点为 M(2,- 2),与 x 轴的交点为 A 和 B(其中点 A 与原点重 合),将抛物线 y=ax2 +bx+c 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°,点 M1,A1 为点 M,A 旋转后的对应点. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:点 A,M,A1 在同一条直线上; (3)若点 P 是原抛物线上的一动点,点 Q 是旋转后的图形的对称轴上一点,E 为线段 AM 的中点,在第 一象限内存在一点 P,使得以 P,Q,E,B 为顶点的四边形是平行四边形,请直接 ∙∙ 写出点 P 的坐标. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 9. 2024 年九地市中考数学三模试卷改编 1. C　 2. B　 3. C　 4. B　 4. D　 6. A　 7. A 第 8 题解图 8. B　 【解析】如解图,连接 OC,∵ 点 A, B, C, D, E, F 是 ☉O 的 六 等 分 点, ∴ ∠BOC= ∠COD = 360° 6 = 60°, 又 ∵ OB=OC=OD,∴ △BOC,△COD 均是 正三角形,∴ OB = OC = BC = CD = OD, ∴ OB+OD+BD =BC+CD+BD,即△OBD 的周长 a 与△CBD 的周长 b 相等,∴ a= b. 9. A　 【解析】( ) a+b ÷ a a2 -b2 = ( ) a+b ·(a +b)(a-b) a ,∵ 运 算的结果不是分式,∴ “( )”内的式子一定是含有 a 的几个整式的乘积,∴ 只有 A 选项符合. 10. D　 11. A　 12. B　 13. 2　 14. 8 15. 18　 【解析】连接 CF,如解图,∵ 点 E,F 恰好是 BD ( 的 第 15 题解图 三等分点, ∴ ∠BCE = ∠ECF = ∠FCD, ∵ 四 边 形 ABCD 为 菱 形,∴ CA 平分 ∠BCD,CB = AB, ∴ ∠ACE= ∠ACF = 1 2 ∠BCE,设 ∠ACE = α, 则 ∠BCE = 2α, ∴ ∠BAC= ∠BCA = 3α, ∵ ∠CEB = ∠BAC + ∠ACE = 4α,CB = CE, ∴ ∠B = ∠CEB = 4α, ∴ 4α + 3α + 3α = 180°,解得 α= 18°,即∠ACE= 18°. 16. (1)不在;(2)7<k<10 且 k≠9　 【解析】(1) Rt△ABC 的直角顶点 C 的坐标为( 1 2 ,1),AC∥y 轴,则 BC∥x 轴,∴ 设点 A( 1 2 ,m),B(n,1),∵ 顶点 A,B 在直线 l: y= - 1 2 x+ 9 2 上,∴ 将 x = 1 2 代入,得 y = - 1 2 × 1 2 + 9 2 = 17 4 ,令 y = - 1 2 x+ 9 2 = 1,解得 x = 7,∴ 点 A 的坐标为 ( 1 2 ,17 4 ),点 B 的坐标为( 7,1),将( 7,1) 代入 y = k x ,得 k= 7,∴ 双曲线 G 的解析式为 y = 7 x ,当 x = 1 2 时,y= 14≠17 4 ,∴ 点 A 不在双曲线 G 上;(2)∵ 点M1 ~ M6 是线段 AB 上横坐标为整数的点(不与点 A,B 重 合),∴ M1 ~ M6 的坐标分别为( 1,4), ( 2, 7 2 ), ( 3, 3),(4, 5 2 ),(5,2),(6, 3 2 ),经过这六个点的双曲线 所对应的 k 值分别为 4,7,9,10,10,9,∵ 双曲线 G 使 这六个点分布在它的两侧,且两侧的点的个数比为 1 ∶ 2,∴ 7<k<9 或 9<k<10,即 k 的取值范围为 7<k<10 且 k≠9. 17.解:(1)①; (2) m + 1 - m 2 m-1 = (m+1)(m-1) m-1 - m 2 m-1 = m 2 -1-m2 m-1 = -1 m-1 = 1 1-m . 18.解:(1)S1 = (m+1)(m+7)= m 2 +8m+7, S2 = (m+2)(m+4)= m 2 +6m+8, ∴ S1 -S2 =m 2 +8m+7-(m2 +6m+8) =m2 +8m+7-m2 -6m-8 = 2m-1. ∵ m 为正整数, ∴ 2m-1>0, 即 S1 >S2 ; (2)正方形的周长为 2[(m+1)+(m+7)] +2[(m+2) + (m+4)] = 2(2m+8)+2(2m+6) = 4m+16+4m+12 = 8m+28, ∴ 该正方形的面积为( 8m +28 4 ) 2 = ( 2m+ 7) 2 = 4m2 + 28m+49. 19.解:(1) 25,54;【解法提示】抽取的学生人数为 50 ÷ 50% = 100,∴ m= 100×25% = 25,选择“诵诗词”的人数 为 100-25-50-10 = 15,∴ “诵诗词”在扇形统计图中 所占扇形区域的圆心角的度数为 360°× 15 100 = 54°. (2)补全条形统计图如解图①所示; 第 19 题解图① (3)2 000× 10 100 = 200(人), ∴ 估计选择 D 类活动的人数为 200; (4)画树状图如解图②, 第 19 题解图② 共有 12 种等可能的结果,其中甲、乙两人同时被选中 的结果有甲乙,乙甲,共 2 种, ∴ 甲、乙两人同时被选中的概率为 2 12 = 1 6 . 20.解:(1) 2 ; (2) <;【解法提示】设圆的半径为 r cm,则 πr2 = 2π, ∴ r = 2 ( 负值已舍去), ∴ 圆的周长为 2π × 2 = 2 2 π(cm),设正方形的边长为 a cm,则 a2 = 2π,∴ a= 2π ,∴ 正方形的周长为 4a = 4 2π(cm),∵ 2 2 π = 8π2 = 8π·π , 4 2π = 32π = 8π·4, ∵ π < 4,∴ 8π·π < 8π·4,即 2 2π<4 2π ,∴ C圆<C正 . (3)能,理由如下: 设长方形的长为 5x cm,则宽为 4x cm,由题意可得 5x· 4x = 300, ∴ x = 15 ( 负值已舍去), 即长为 5 15 cm,宽为 4 15 cm,∵ 面积为 400 cm2 的正方形 的边长为 20 cm,20 = 400,5 15 = 375 < 400, ∴ 能裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 21.解:(1)30; (2)设直线 BC 的函数解析式为 y= kx+b(k≠0), 把点 B(0. 5,70),点 C(1. 5,100)分别代入 y= kx+b, 得 0. 5k+b= 70, 1. 5k+b= 100,{ 解得 k= 30, b= 55,{ ∴ BC 段的函数解析式为 y= 30x+55; (3)由(1)可得,普通充电器对该汽车每小时的充电 量为 30%, ∴ 该汽车电池电量从 10%充至 80%,普通充电器所用 时间为 80-10 30 = 7 3 (h), 把 y= 80 代入 y= 30x+55 得 30x+55 = 80, 解得 x= 5 6 , ∴ 该汽车电池电量从 10%充至 80%,快速充电器所用 时间为 5 6 h, ∴ 快速充电器比普通充电器少用 7 3 - 5 6 = 1. 5(h) . 22.解:(1)如解图,线段 DH 即为所求, ∵ ∠B= 90°,∠A= 46°, ∴ ∠ACB= 44°, ∴ ∠DCH= 180°-∠ACB-∠DCG= 41°, 在 Rt △DCH 中, DH = CD · sin41° ≈ 60 × 0. 66 ≈ 40(cm), ∴ 点 D 到 AC 的距离约为 40 cm; 第 22 题解图 (2)∵ DE=DC,DH⊥EC, ∴ EH=CH=CD·cos41°≈60×0. 75 = 45( cm),∴ EC = 90 cm, ∵ CE′= 120 cm, ∴ 点 E 上升的竖直高度 = ( 120 - 90 ) · sin44° ≈ 21(cm) . 23. 【问题解决】证明:如解图①,在☉O 上任取一点 C(不 与点 A,B 重合),连接 PC,OC, ∵ PC<PO+OC,OB=OC, ∴ PC<PO+OB=PB, ∴ PB 是点 P 到☉O 上的点的最长距离. 【初步应用】解:(1)2 或 5; 图① 　 　 　 图② 第 23 题解图 (2)如解图②,连接 AE, ∵ CE= 2,AC= 8, ∴ AE= AC2 +CE2 = 4+64 = 2 17 , ∴ 当点 P 运动到线段 AE 与☉E 的交点时,AP 取得最 小值 2 17 -2; 【拓展延伸】解:如解图 ③, 取 H ( 4, 0), 连接 BH, HP,BP, 第 23 题解图③ ∵ 点 A(2,0),点 H(4,0), ∴ OA= 2,OH= 4, ∴ 点 A 是 OH 的中点, ∵ 点 C 是 OB 的中点, ∴ BH= 2AC, ∴ 当 BH 取得最大值时,AC 取得最大值, ∵ P(4,4), ∴ PH= 4, ∴ 当点 B 在 HP 的延长线上时,BH 取得最大值 4+ 2 , ∴ AC 的最大值为 2+ 2 2 . 24. (1)解:由题意得抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2 -2, 将点 O 的坐标代入上式得 0 =a(0-2) 2 -2, 解得 a= 1 2 , ∴ 抛物线的解析式为 y= 1 2 (x-2) 2 -2 = 1 2 x2 -2x; (2)证明:设直线 AM 的解析式为 y= kx(k≠0), ∵ M(2,-2),A(0,0), ∴ 直线 AM 的解析式为 y= -x, ∵ y= 1 2 (x-2) 2 -2 = 1 2 x2 -2x, ∴ 当 y= 0 时,则 0 = 1 2 x2 -2x, 解得 x1 = 0 或 x2 = 4, ∴ B(4,0), ∵ 抛物线与 x 轴的交点为 A 和 B(其中点 A 与原点重 合),将抛物线 y = ax2 +bx+c 绕点 B 按逆时针方向旋 转 90°, ∴ BA1 =AB= 4, ∴ 点 A1(4,-4), ∵ 当 x= 4 时,y= -x= -4, ∴ 点 A1 在直线 AM 上, ∴ 点 A,M,A1 在同一条直线上; (3)解:点 P 的坐标为(2+ 6,1). 【解法提示】∵ M(2, -2),A(0,0),E 为线段 AM 的中点,∴ 点 E(1,-1),设 点 P(m, 1 2 m2 - 2m),点 Q ( t, - 2),由 ( 2) 得 B ( 4, 0),当 BE 为对角线时,由中点坐标公式得 1 2 ( yP + yQ)= 1 2 (yB+yE),∴ yP +yQ = yB +yE,∵ 点 E(1,-1),点 P(m, 1 2 m2 -2m),点 Q( t,-2),B(4,0),∴ 1 2 m2 -2m- 2 = -1,解得 m = 2± 6 ,即点 P 的坐标为(2± 6 ,1), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 ∵ 点 P 在第一象限内,∴ 点 P 的坐标为(2+ 6 ,1);当 BQ 为对角线时,则 1 2 (yP+yE)= 1 2 (yB +yQ),则 1 2 m2 - 2m-1 = - 2,解得 m = 2 ± 2 ,则点 P 的坐标为 ( 2 ± 2 ,-1),∵ 点 P 在第一象限内,∴ 点 P 的坐标为(2± 2 ,-1) 都不符合题意,舍去;当 BP 为对角线时,则 1 2 (yP+yB)= 1 2 (yE +yQ),则 1 2 m2 -2m = -2-1,∴ m2 - 4m+6 = 0,Δ = ( -4) 2 -4×1×6 = -8< 0,此时方程无解. 综上,点 P 的坐标为(2+ 6 ,1) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 2024 年张家口市中考一模数学试题改编 1. C　 2. A　 3. D　 4. C　 5. D　 6. C　 7. B　 8. D　 9. C 10. C　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x ( k≠0) 图象经过点 A(3,1),∴ k= 3×1 = 3. ∵ 点 M 的坐标为(2,2),2×2 = 4≠3,∴ 点 M 不在反比例函数 y= 3 x 的图象上;∵ 点 N 的坐标为(-3,1),-3×1 = -3≠3,∴ 点 N 不在反比例 函数 y= 3 x 的图象上;∵ 点 P 的坐标为( -3,-1),-3× (-1)= 3,∴ 点 P 在反比例函数 y = 3 x 的图象上;∵ 点 Q 的坐标为(2,-1),2×( -1)= -2≠3,∴ 点 Q 不在反 比例函数 y= 3 x 的图象上. 11. B　 【解析】∵ 10nπ 180 = 6π,∴ n= 108. 12. B　 【解析】①若 a= 2,b= 3,c= 5,则有 a+b-c= 0,a+c- b= 4,b+c-a= 6,所以 a1 ,b1 ,c1 分别对应 0,4,6 三个数 中的一个数,故 a1 ,b1 ,c1 三个数中最大的数是 6,说法 错误;②若 a= x2 ,b= 2x,c = 1,当 x2 +2x-1 = -7,即 x2 + 2x+6 = 0 时,有 Δ= b2 -4ac= 4-4×6 = -20<0,所以原方 程无解;当 x2 -2x+1 = -7,即 x2 -2x+8 = 0 时,有 Δ= b2 - 4ac= 4-4×8 = -28<0,所以原方程无解;当 2x+1-x2 = -7,即 x2 -2x- 8 = 0 时,解得 x1 = - 2,x2 = 4,且均可使 a1 ,b1 ,c1 中最小值为-7;综上所述,若 a= x 2 ,b = 2x,c= 1,且 a1 ,b1 ,c1 中最小值为-7,则 x1 = -2,x2 = 4,故原说 法错误;③由题意 an + bn + cn 的值为定值,只需检验 am+bm+cm =an+bn+cn 即可,依题意可设 a>b>c>0,不妨 令 a1 =a+b-c,b1 =a+c-b,c1 = b+c-a,则 a1 +b1 +c1 = a+ b+c,又令 a2 = a1 +b1 -c1 ,b2 = a1 +c1 -b1 ,c2 = b1 +c1 -a1 , ∴ a2 +b2 + c2 = a1 +b1 + c1 = a+ b+ c,∴ 给定 a,b,c 三个 数,将第一次操作的三个结果 a1 ,b1 ,c1 按上述方法再 进行一次操作,得到三个结果 a2 ,b2 ,c2 ,以此类推,第 n 次操作的结果是 an,bn,cn,则 an + bn + cn 的值为定 值,说法正确. 13. x≥2　 14. 5 ∶2 ∶3　 15. 0 或-1　 16. 12 17.解:(1)由题意得-14 - 1 6 ×[-3-(-3) 2 ] = -1- 1 6 ×(-3-9) = -1- 1 6 ×(-12) = -1+2 = 1; (2)设被磁性板擦遮盖的数字为 x, 依题意得-14 - 1 6 ×[x-(-3) 2 ] = 0, 解得 x= 3, ∴ 被磁性板擦遮盖的数字为 3. 18.解:(1)∵ ∠ADC= 45°, ∴ ∠PDE= 45°, ∴ DE=PE= 1 米, ∴ PF=EN=DN-DE= 3-1 = 2(米), 答:点 P 到 MN 的距离 PF 的长为 2 米; (2)轿车能驶入小区,理由如下: ∵ ∠ADC= 36°,PE∥AD, ∴ ∠DPE= ∠ADC= 36°, 当 EN= 1. 8 米时,DE=DN-EN= 3-1. 8 = 1. 2(米), 在 Rt△PDE 中,tan∠DPE=DE PE , ∴ 1. 2 PE ≈0. 73, 解得 PE≈1. 64, ∵ 1. 64>1. 6, ∴ 轿车能驶入小区. 19.解:(1)30,5,4. 5,【解法提示】11÷ 132 360 = 30,即本次共 调查了 30 名参观群众;打 5 分的人数为 30-11-2-1- 1 = 15,则打 5 分的人最多,故分值的众数为 5;因为打 5 分的有 15 人,打 4 分的有 11 人,故中位数为4 +5 2 = 4. 5. 补全条形统计图如解图; 第 19 题解图 (2)不相同,理由如下:增加人数后,一共有 35 人,其 中打 5 分的有 17 人,打 4 分的有 13 人,中位数是 4,发生了改变; (3) ∵ 抽取的两人恰为一成人一儿童的概率为 1 2 , ∴ 当抽取的第一个人是成人时,抽取的第二个人一定 是儿童,当抽取的第一个人是儿童时,抽取的第二个 人一定是成人, 故分布情况为三名成人一名儿童或三名儿童一名 成人. 20.解:(1)∵ 点 B 在数轴上对应的数是-2,原点 O 为圆心, ∴ OB= 2, ∵ tan∠AOB= 3 , ∴ ∠AOB= 60°, ∴ 优弧 AEB ( 所对的圆心角为 360°-60° = 300°, ∴ S扇形AOB = 300π×22 360 = 10π 3 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42