6 2024年石家庄市中考数学一模试卷改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 21　 　 第二部分　 2024 年河北各地市、名校优质模拟卷精选改编 6 2024 年石家庄市中考数学一模试卷改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 在有理数-2,- 1 2 ,0, 3 2 中,绝对值最小的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -2 B. - 1 2 C. 0 D. 3 2 2. 不等关系在生活中广泛存在. 如图,a,b 分别表示两位同学的身高,c 表示台阶的高度. 图中两人的对话 体现的数学原理是 ( A ) 第 2 题图　 A. 若 a>b,则 a+c>b+c B. 若 a>b,b>c,则 a>c C. 若 a>b,c>0,则 ac>bc D. 若 a>b,c>0,则 a c > b c 3. 如图,小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角,若剩下四边形纸片的周长为 m,原三角形纸片的周长为 n,下列判断正确的是 ( A ) A. m<n B. m=n C. m>n D. m,n 的大小无法确定 第 3 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 4. 一个不透明盒子里,共装有 10 个白球,5 个红球,5 个黄球,这些球仅颜色不同. 小明从中任取一球,下 列说法错误的是 ( D ) A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 1 2 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 1 3 5. 神舟 15 号飞船离地飞行速度约为每秒 8×103 m,则飞船离地飞行 1 分钟的路程约为 ( A ) A. 4. 8×105 m B. 8×103 m C. 4. 8×104 m D. 8×105 m 6. 如图,点 A,B 对应的数分别为 a,b,对于结论:①ab<0,②b-a<0,③a+b>0,下列说法正确的是 ( A ) A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对 7. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法. “牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体. 如图所示的几何体是可以形成“牟合方 盖”的一种模型,则它的俯视图是 ( A ) A B C D 8. 已知 9×9×…×9üþ ýï ï ï ï m个9 = 3+3+…+3üþ ýï ï ï ï n个3 ,若 m= 2 024,则 n= ( D ) A. 4 047 B. 4 048 C. 34 048 D. 34 047 9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电,当充电量达到电池容量的 80%时,为保护电池,充电 速度会明显降低. 如图是该款电动汽车某次充电时,汽车电池含电率 y(电池含电率 = 电池中的电量 电池的容量 × 100%)随充电时间 x(分钟)变化的函数图象,下列说法错误的是 ( D ) A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩 10%的电量 B. 本次充电 40 分钟时,汽车电池含电率达到 80% C. 本次充电持续时间是 120 分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电 70 千瓦时,则本次充电耗电 63 千瓦时 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 10. 如图,电子屏幕上有边长为 1 的正六边形 ABCDEF,红色光点和蓝色光点会按规则在六个顶点上闪 亮. 规则为:红点按顺时针方向每秒一个顶点依次闪亮(例如,经过 1 秒由点 A 亮变为点 F 亮),蓝点 按逆时针方向每秒隔 1 个顶点闪亮(例如,经过 1 秒由点 A 亮变为点 C 亮) . 若一开始,红点在 A 处,蓝 点在 B 处同时开始闪亮,则经过 751 秒后,两个闪亮的顶点之间的距离是 ( C ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 11. 若 x= 2± 4 -4×3×( -1) 2×3 是一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根,则 a+b+c= ( D ) A. -2 B. 4 C. 2 D. 0 12. 对于题目:“在△ABC 中,AB=AC,∠ABC= 70°,分别以 A,B 为圆心,以 AB 长为半径的两条弧相交于点 P,求∠APC 的度数” . 嘉嘉求解的结果是∠APC = 80°,淇淇说:“嘉嘉的解答正确但不全面,∠APC 还 有另一个不同的值. ”则下列判断中,正确的是 ( A ) A. 淇淇说得对,∠APC 的另一个值是 40° B. 淇淇说得不对,∠APC 只能等于 80° C. 嘉嘉求的结果不对,∠APC 应等于 85° D. 两人都不对,∠APC 应有 3 个不同的值 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 16 小题第一问 1 分,第二问 2 分) 13. 二次根式 1-2x有意义,则 x 的值可以是 . 14. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 边的中点,点 F 在 BC 边上,点 B 关于直线 EF 的对称点记为 B′,连接 B′D,B′E,B′F. 当点 F 在 BC 边上移动使得四边形 BEB′F′成为正方形时,B′D 的长为 　 . 15. 如图,已知反比例函数 y= k x (x>0)的图象与直线 l1:y= x 交于点 A,将直线 l1 向上平移 a(a>0)个单位 长度,得到直线 l2 . 已知直线 l2 与 y 轴交于点 B,与反比例函数的图象交于点 C. 则下列结论:①当 k= 9 时,若折线 A—O—B—C 和曲线 AC 围成的区域 G 内(不含边界)有 4 个整点(横,纵坐标都是整数的 点),则 2<a≤3;②若 a= k,BC= 2OA2,则 k= 1 6 . 其中正确的是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 22　 16. 水下探测器经常用作水下探索和考古工作,如图,探测器在水底发现一古迹建筑,墙体 AB 与海底夹 角为∠ABC,探测器在点 P 处时视线下边沿在点 B 处,上边沿落在点 M 处,探测器沿水平方向前进 第 16 题图 6 m 到达点 Q,点 Q 在点 B 正上方,且 B,Q 两点之间的距离为 8 m,此时探测器 视线的下边沿恰好在点 M 处,上边沿在点 N 处. 已知 PB∥QM,PM∥QN, MN ∶ BM= 1 ∶ 2. (1)PB 的长为 m; (2)tan∠ABC= . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分) 植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育试验. 其中长方形花坛 每排种植(2a-b)株,种植了(2a+b)排,正方形花坛每排种植 a 株,种植了 a 排(a>b>0) . (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株? (2)当 a= 4,b= 2 时,这两块花坛一共种植了多少株? 解:(1)根据题意可知(2a+b)(2a-b)-a2 =4a2-b2-a2 =3a2-b2 . 答:长方形花坛比正方形花坛多种植(3a2-b2)株; (2)根据题意可知(2a+b)(2a-b)+a2 =4a2-b2+a2 =5a2-b2,当 a=4,b=2 时, 原式=5×42-22 =80-4=76. 答:这两块花坛一共种植了 76 株. 18. (本小题满分 8 分) 化简分式: a 2 -b2 a2 -2ab+b2 +1-a-b a-b ,并求值(请从如图嘉嘉和淇淇的对话中确定 a,b 的值) . 　 　 　 　 　 第 18 题图 解:由对话可得 a=-3,b=2,原式=(a +b)(a-b) (a-b) 2 +1-a-b a-b =a+b a-b +1-a-b a-b = 1 a-b ,当 a=-3,b=2 时, 原式= 1-3-2 =- 1 5 . 19. (本小题满分 8 分) 为了解甲,乙两个茶园种植的“龙井” 茶叶的品质,现从两个茶园里分别随机抽取了 20 份茶叶样 本,对它们的品质进行评分(满分 100 分,分数越高代表品质越好),评分用 x(分)表示,共分为四 组,A 组:60≤x<70,B 组:70≤x<80,C 组:80≤x<90,D 组:90≤x≤100. 甲茶园 20 份茶叶的评分(单位:分)从小到大分别为:65,68,72,75,78,80,82,85,85,88,90,90,90, 92,95,95,95,95,98,100; 乙茶园 20 份茶叶中有 3 份的评分为 100 分,评分在 C 组中的数据是:85,88,80,85,82,83. 甲,乙两茶园随机抽取的茶叶评分数据统计分析如下表所示,乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图 所示. 甲茶园 乙茶园 平均数 85. 9 87. 6 中位数 89 b 众数 a 95 　 　 　 　 　 第 19 题图 根据以上信息解答下列问题: (1)直接 ∙∙ 写出统计表中 a,b 的值; (2)若甲,乙两茶园的茶叶总共有 2 400 份,请估计甲,乙两茶园评分在 D 组的茶叶共有多少份; (3)本次抽取的 40 份茶叶样本中,评分为 100 分的视为“精品茶叶” . 茶农要在“精品茶叶”中任选两 份参加茶叶展销会,用列表法(或画树状图法)求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 23　 　 20. (本小题满分 8 分) 如图①是甲,乙两种品牌共享电单车的车费 y1(元),y2(元)与骑行路程 x( km)之间的函数关系图 象,图②是小明骑共享电单车从 A 地出发到 B,C 两地送货的路线示意图. (1)当 x>2 时,求 y1 关于 x 的函数表达式; (2)①若小明选择甲品牌共享电单车到 B 地送货,求车费; ②若小明到 C 地送货,选择哪种品牌的共享电单车节省车费? 节省多少元? 图① 　 　 图② 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 综合与实践:【课题学习】平行线的“等角转化”功能. 已知点 A 是 BC 外一点,连接 AB,AC. 求∠B+∠BAC+∠C 的度数. 解:如图①,过点 A 作 ED∥BC, ∴ ∠B= ,∠C= ∠DAC, ∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC= 180°, ∴ ∠B+∠BAC+∠C= . 图① 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 图③ 第 21 题图 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程; 【解题反思】从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑” 在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决. 【方法运用】(2)如图②所示,已知 AB∥CD,BE,CE 交于点 E,∠BEC= 80°. ①尺规作图:过点 E 作 AB 的平行线 EF(保留作图痕迹,不写作图过程); ②求∠B-∠C 的度数; 【拓展探究】(3)如图③所示,已知 AB∥CD,BF,CG 分别平分∠ABE 和∠DCE,且 BF,CG 所在直线交 于点 F,过 F 作 FH∥AB,若∠BFC= 36°,在图③的情况下求∠BEC 的度数. 22. (本小题满分 9 分) 日晷仪也称日晷,是观测日影计时的仪器. 它是根据日影的位置,指定当时的时辰或刻数,是我国古代 较为普遍使用的计时仪器. 小东为了探究日晷的奥秘,在不同时刻对日晷进行了观察. 如图,日晷的平 面是以点 O 为圆心的圆,线段 BC 是日晷的底座,点 D 为日晷与底座的接触点(即 BC 与☉O 相切于点 D) . 点 A 在☉O 上,OA 为某一时刻晷针的影长,AO 的延长线与☉O 交于点 E,与 BC 交于点 B,连接 AC,OC,CE,BD=CD= 3 dm,OA⊥AC. (1)求证:∠B= ∠ACO; (2)求 CE 的长. 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 24　 23. (本小题满分 10 分) 如图,抛物线 L:y= 1 4 x2 -4 与 x 轴分别交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. 将 L 沿直线 l:y= 4x-4 向上平移,平移后的抛物线记作 L′,其顶点 M 的横坐标为 t(t>0 且 t≠2),设直线 n:y= t2 与抛 物线 L′分别交于点 P,Q(点 P 在点 Q 的左侧) . (1)求 L 的顶点坐标及 A,B 两点之间的距离; (2)当点 P 在 y 轴上时,求 L′的函数表达式及线段 PQ 的长; (3)若经过点 A 且与直线 l 平行的直线与线段 PQ 有公共点,直接 ∙∙ 写出 t 的最大值. 第 23 题图 24. (本小题满分 12 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 3,BC = 4,D 为边 AC 的中点,点 E 从点 A 出发沿折线 AB-BC 运动至点 C 停止. 连接 DE,将线段 DE 绕点 E 顺时针旋转 90°得到线段 EF,过点 F 作 DE 的平行线交 直线 AC 于点 N. 设点 E 的运动路程为 x(0<x<7) . 图① 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 图③ 第 24 题图 (1)如图①,当 FN∥BC 时,直接 ∙∙ 写出线段 BF 的长; (2)如图②,当点 E 在线段 AB 上且点 F 落在直线 BC 上时,求 x 的值; (3)如图③,当点 E 在线段 AB 上且点 N 与点 C 重合时,判断△ADE 的形状,并说明理由; (4)直接 ∙∙ 写出线段 DN 的长(用含 x 的式子表示) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 (10-n)次猜错,向东移了 2(10-n), ∴ m= 5-4n+2(10-n)= 25-6n, 当 m= 0 时,解得 n= 25 6 . ∵ n 为整数, ∴ 当 n= 4 时,距离原点最近; (3)k 的值为 3 或 5. 【解法提示】起初,甲、乙的距离是 8, 已知,当甲、乙一对一错时,二者之间距离缩小 2, 当甲、乙同时猜对猜错时,二者之间的距离缩小 2, ∴ 当甲、乙位置相距 2 个单位时,共缩小了 6 个单位 或 10 个单位, ∴ 6÷2 = 3 或 10÷2 = 5, ∴ k= 3 或 k= 5. 26. 解:(1)当点 P 在 BC 上时,AP⊥BC 时 AP 最小. ∵ AB=AC,∴ △ABC 为等腰三角形, ∴ PAmin = BC 2 ·tanC= 4× 3 4 = 3; 　 第 26 题解图 (2)如解图,过 A 点向 BC 边作 垂线,交 BC 于点 E, S上 =S△APQ,S下 =S四边形BPQC . ∵ ∠APQ= ∠B, ∴ PQ∥BC, ∴ △APQ∽△ABC, ∴ AP AB =AQ AC =PQ BC , ∴ S△APQ S△ABC = (AP AB ) 2 , 当 S上 S下 = 4 5 时, SΔAPQ S△ABC = (AP AB ) 2 = 4 9 , ∴ AP AB = 2 3 , AE=BC 2 ·tanC= 3, 根据勾股定理可得 AB= 5, ∴ AP AB =MP+2 5 = 2 3 , 解得 MP= 4 3 ; (3)当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动, P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC. 由(2)可知 sinC= 3 5 ,∴ d= 3 5 PQ. ∵ AP= x+2,∴ AP AB = x+2 5 =PQ BC , ∴ PQ= x +2 5 ×8, ∴ d= x +2 5 ×8× 3 5 = 24 25 x+48 25 ; 当 3≤x≤9 时,P 在 BN 上运动, BP= x-3,CP= 8-(x-3)= 11-x, ∴ d=CP·sinC= 3 5 (11-x)= - 3 5 x+33 5 , 综上,d= 24 25 x+ 48 25 (0≤x≤3), - 3 5 x+ 33 5 (3≤x≤9); ì î í ï ï ï ï (4)23 秒. 【解法提示】AM= 2<AK= 9 4 ,移动的速度= 9 36 = 1 4 . ①从 Q 平移到 K,耗时: 9 4 -2 1 4 = 1(秒), ②P 在 BC 上且 K 与 Q 重合时,CQ=CK= 5- 9 4 = 11 4 . ∵ ∠APQ+∠QPC= ∠B+∠BAP,∠APQ= ∠B, ∴ ∠QPC= ∠BAP. 又∵ ∠B= ∠C, ∴ △ABP∽△PCQ. 设 BP= y,则 CP= 8-y, AB PC =BP CQ ,即 5 8-y = y 11 4 , 解得 y1 = 5 2 ,y2 = 11 2 , 5 2 ÷ 1 4 = 10(秒),11 2 ÷ 1 4 = 22(秒), ∴ 点 K 被扫描到的总时长为 36 - ( 22 - 10) - 1 = 23(秒) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二部分　 2024 年河北各地市、名校优质模拟卷精选改编 6. 2024 年石家庄市中考数学一模试卷改编 1. C　 2. A　 3. A　 4. D　 5. A　 6. A　 7. A　 8. D　 9. D 10. C　 11. D 12. A 　 【解析】 ∵ 在 △ABC 中, AB = AC, ∠ABC = 70°, ∴ ∠ACB = ∠ABC = 70°, ∴ ∠BAC = 180° - ( ∠ACB + ∠ABC)= 180°-(70°+70°)= 40°,如解图,依题意分别 以 A,B 为圆心,以 AB 长为半径的两条弧相交于点 P,P′,连接 PB,P′B,根据作图可知 AB=AC=AP =BP = P′B=AP′,∴ △APB,△AP′B 均为等边三角形,∴ ∠BAP= ∠BAP′= 60°,在△ACP 中,AC = AP, ∠CAP = ∠BAP - ∠BAC= 20°,∴ ∠APC = 1 2 (180°-∠CAP)= 1 2 ×(180°- 20°)= 80°,在△AP′C 中,AP′ = AC,∠CAP′ = ∠BAP′+ ∠BAC= 100°,∴ ∠AP′C = 1 2 ×(180°-∠CAP′) = 1 2 × (180°- 100°) = 40°,∴ 淇淇说得对,∠APC 的另一个 值是 40°. 第 12 题解图 13. 0(答案不唯一)　 14. 2 15. ①②　 【解析】当 k = 9 时,易知 A( 3,3),如解图所 示,点 D1 ,D2 ,D3 ,D4 ,D5 均为整点,当直线 l2 过点 D5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 时,易得 a= 3,区域 G 内有 4 个整点;当直线 l2 过点 D2 和 D4 时,易得 a= 2,区域 G 内有 2 个整点. 分析可 知,当区域 G 内有 4 个整点时,2<a≤3,故结论①正 确;易得 A( k, k ),∴ OA = 2k,∴ 当 BC = 2OA2 时, BC= 2 2 k,∴ B,C 之间的水平距离和竖直距离均为 2k,又∵ OB=a= k,∴ C(2k,3k) . ∵ 点 C 在反比例函数 的图象上,∴ 2k·3k = k,∴ k = 1 6 或 k = 0(舍去),故结 论②正确. 综上所述,正确的是①②. 第 15 题解图 16. (1)10;(2) 4 3 　 【解析】(1)如解图,连接 QB,根据题 意可 得 PQ = 6 m, QB = 8 m, QB ⊥ PQ, ∴ PB = PQ2 +QB2 = 10(m);(2)如解图,延长 PQ 交 AB 于点 E,由题知 PE∥BC,∴ ∠QEB = ∠ABC,∴ tan∠QEB = tan∠ABC, ∵ PB∥QM, ∴ ∠PBM = ∠QMN, ∵ PM∥ QN,∴ ∠PMB = ∠QNM,∴ △PMB∽△QNM,∵ MN ∶ BM= 1 ∶ 2,∴ QM PB = NM BM = 1 2 ,∵ PB∥QM,∴ △EQM∽ △EPB,∴ EQ EP = QM PB = 1 2 ,∵ PQ = 6 m,∴ EQ EQ+6 = 1 2 , ∴ EQ= 6 m,∴ tan∠ABC= tan∠QEB=QB QE = 4 3 . 第 16 题解图 17.解:(1)根据题意可知(2a+b) (2a-b) -a2 = 4a2 -b2 - a2 = 3a2 -b2 . 答:长方形花坛比正方形花坛多种植(3a2 -b2 )株; (2)根据题意可知(2a+b) (2a-b) +a2 = 4a2 -b2 +a2 = 5a2 -b2 , 当 a= 4,b= 2 时, 5a2 -b2 = 5×42 -22 = 80-4 = 76. 答:当 a= 4,b= 2 时,这两块花坛一共种植了 76 株. 18.解:由对话可得 a= -3,b= 2, 原式= (a +b)(a-b) (a-b) 2 +1-a-b a-b =a+b a-b +1-a-b a-b = 1 a-b . 当 a= -3,b= 2 时,原式= 1-3-2 = - 1 5 . 19.解:(1)a = 95,b = 85;【解法提示】由题意可得,a = 95. 由扇形统计图可知, 乙茶园评分在 A 组的有 20 × 10% = 2(份),在 B 组的有 20×20% = 4(份),将乙茶园 评分按照从小到大的顺序排列,排在第 10 和第 11 的 分数均为 85 分,∴ b= (85+85)÷2 = 85. (2) 乙茶园评分在 D 组的茶叶有 ( 1 - 10% - 20% - 30%)×20 = 8(份), 甲茶园评分在 D 组的茶叶有 10 份, ∴ 估计甲,乙两茶园评分在 D 组的茶叶共有 2 400× 8+10 20+20 = 1 080(份); (3)由题意知,甲茶园评分为 100 分的有 1 份,乙茶园 评分为 100 分的有 3 份. 将甲茶园“精品茶叶” 记为 a,乙茶园“精品茶叶”分别记为 b,c,d,列表如下, a b c d a (a,b) (a,c) (a,d) b (b,a) (b,c) (b,d) c (c,a) (c,b) (c,d) d (d,a) (d,b) (d,c) 共有 12 种等可能的结果,其中这两份茶叶全部来自 乙茶园的结果有( b, c),( b,d),( c,b),( c,d),( d, b),(d,c),共 6 种, ∴ 这两份茶叶全部来自乙茶园的概率为 6 12 = 1 2 . 20.解:(1)当 x>2 时,设 y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = k1x+b(k1 ,b 为常数,且 k1 ≠0) . 将(2,4)和(4,5)分别代入 y1 = k1x+b, 得 2k1 +b= 4, 4k1 +b= 5,{ 解得 k1 = 1 2 , b= 3, { ∴ 当 x>2 时,y1 关于 x 的函数表达式为 y1 = 1 2 x+3(x>2); (2)①当 x= 3 时,y1 = 1 2 ×3+3 = 9 2 , ∴ 车费是 9 2 元; ②设 y2 关于 x 的函数表达式为 y2 = k2x(k2 为常数,且 k2 ≠0) . 将(4,5)代入 y2 = k2x,得 4k2 = 5,解得 k2 = 5 4 , ∴ y2 = 5 4 x. 当 x= 6 时,y1 = 1 2 ×6+3 = 6,y2 = 5 4 ×6 = 15 2 , ∵ 6<15 2 ,15 2 -6 = 3 2 , ∴ 选择甲种品牌的共享电单车节省车费,节省 3 2 元. 21.解:(1)∠EAB,180°; 第 21 题解图① (2)①如解图①,直线 EF 即为 所求; ②由①得 CD∥EF, ∵ AB∥CD, ∴ AB∥EF, ∴ ∠B+∠BEF= 180°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 ∴ ∠BEF= 180°-∠B, ∵ ∠BEC= 80°, ∴ ∠FEC+∠BEF= 80°, ∴ ∠C+180°-∠B= 80°, ∴ ∠B-∠C= 180°-80° = 100°; (3)如解图②,过点 E 作 EM∥AB, 第 21 题解图② ∵ AB∥CD, ∴ EM∥CD, ∴ ∠MEC= ∠DCE, ∵ CG 平分∠DCE, ∴ ∠ECG= ∠DCG, 设∠ECG= ∠DCG=α, 则∠DCE= 2α, ∴ ∠MEC= 2α, ∵ AB∥CD,FH∥AB, ∴ CD∥FH, ∴ ∠HFC= ∠DCG=α, ∵ ∠BFC= 36°, ∴ ∠BFH= ∠BFC+∠HFC= 36°+α, ∵ FH∥AB, ∴ ∠ABF= ∠BFH= 36°+α, ∵ BF 平分∠ABE, ∴ ∠ABE= 2∠ABF= 2(36°+α)= 72°+2α, ∵ EM∥AB, ∴ ∠ABE+∠BEM= 180°, ∴ ∠BEM= 180°-∠ABE= 180°-(72°+2α)= 108°-2α, ∴ ∠BEC= ∠BEM+∠MEC= 108°-2α+2α= 108°. 22. (1)证明:如解图,连接 OD, 第 22 题解图 ∵ BC 与☉O 相切于点 D, ∴ OD⊥BC, ∵ BD=CD, ∴ OB=OC, ∴ ∠B= ∠OCB, ∵ OD⊥BC,OA⊥AC, ∴ ∠ODC= ∠OAC= 90°, 在 Rt△AOC 与 Rt△DOC 中, OA =OD, OC=OC,{ ∴ Rt△AOC≌Rt△DOC(HL), ∴ ∠ACO= ∠DCO, ∴ ∠B= ∠ACO; (2)解:∵ ∠BAC= 90°,AC=CD=BD= 3 dm, ∴ AC= 1 2 BC, ∴ ∠B= 30°, ∴ ∠ACO= 30°, ∴ OA= 3 3 AC= 3 (dm), ∴ AE= 2OA= 2 3 (dm), ∴ CE= AE2 +AC2 = (2 3 ) 2 +32 = 21 (dm) . 23.解:(1)当 x= 0 时,y= 1 4 x2 -4 = -4, ∴ 抛物线 L 的顶点坐标为(0,-4), 令 y= 1 4 x2 -4 = 0,解得 x= ±4, ∴ A,B 两点的坐标分别为(-4,0)和(4,0), ∴ A,B 两点之间的距离为 8; (2)∵ 平移前抛物线 L 的顶点(0,-4)在直线 l 上, ∴ 平移后抛物线 L′的顶点 M 也在直线 l 上, ∴ 顶点 M 的坐标为( t,4t-4), 设抛物线 L′的函数表达式为 y= 1 4 (x-t) 2 +4t-4, ∵ 点 P,Q 在直线 n 上,∴ 点 P,Q 的纵坐标均为 t2 , ∴ 当点 P 在 y 轴上时,其坐标为(0,t2 ), ∴ t2 = 1 4 (0-t) 2 +4t-4,解得 t1 = 4 3 ,t2 = 4, ①当 t= 4 3 时,抛物线 L′的函数表达式是 y = 1 4 ( x- 4 3 ) 2 + 4 3 ,点 P 的坐标为 ( 0, 16 9 ), 点 Q 的坐标为 ( 8 3 ,16 9 ),此时,PQ= 8 3 ; ②当 t = 4 时,抛物线 L′的函数表达式是 y = 1 4 ( x- 4) 2 +12,点 P 的坐标为( 0,16),点 Q 的坐标为( 8, 16),此时,PQ= 8; (3) t 的最大值是 12. 【解法提示】设经过点 A 且与直 线 l 平行的直线为 y = 4x + b, ∵ 该直 线 经 过 点 A(-4,0),∴ 4×(-4)+b= 0,解得 b= 16,则该直线的表 达式为 y = 4x+ 16,由(2) 所设抛物线 L′的函数表达 式,易得点 Q 的坐标为(3t-4,t2 ),求直线 y= 4x+16 与 线段 PQ 有公共点时 t 的最大值,只需研究 t> 2 的情 况,当直线 y = 4x+16 经过点 Q 时 t 最大,此时有 t2 = 4(3t-4)+16,解得 t1 = 0(舍去),t2 = 12,当 t>12 时,直 线 y= 4x+16 与线段 PQ 不再有公共点,∴ 直线 y = 4x+ 16 与线段 PQ 有交点时,t 的最大值是 12. 24. 解: ( 1) BF = 1 2 ; 【解法提示】 ∵ FN∥BC, ∠ABC = 90°,∴ ∠F = ∠ABC = 90°, ∵ ∠DEF = 90°, ∴ DE∥ FN,∴ DE∥BC,∵ D 为边 AC 的中点,∴ DE 是△ABC 的中位线,∴ DE = 1 2 BC = 2,BE = 1 2 AB = 3 2 ,∵ EF = DE= 2,∴ BF= 2- 3 2 = 1 2 . (2)如解图①,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G, ∴ ∠DGE= ∠DEF= 90°, ∴ ∠EDG+∠DEG= ∠DEG+∠FEB, ∴ ∠EDG= ∠FEB, 又∵ DE=EF,∠DGE= ∠EBF= 90° ∴ △DEG≌△EFB(AAS), ∴ EB=DG= 2, ∴ x=AE=AB-BE= 1; 图① 　 　 　 图② 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 (3)△ADE 是等腰三角形,理由如下: 如解图②,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G,过点 A 作 AH⊥ CF 于点 H, ∵ DE∥CF,∴ AH⊥DE,设垂足为 P, 在 Rt△DEG 中,∵ DG= 2,EG= x-1. 5, ∴ DE2 =DG2 +EG2 = 22 +(x-1. 5) 2 , 易得四边形 PEFH 是矩形,∴ PH=EF, ∵ D 为 AC 的中点,DE∥CF, ∴ AP=PH=EF=DE, ∵ S△ADE = 1 2 DG·AE= 1 2 DE·AP, ∴ DG·AE=DE2 , ∴ 2x= 22 +(x-1. 5) 2 ,即 x2 -5x+6. 25 = 0, 解得 x= 2. 5,∴ AE= 2. 5, ∵ AD= 1 2 AC= 1 2 AB2 +BC2 = 2. 5, ∴ AE=AD, ∴ △ADE 是等腰三角形; (4)线段 DN 的长为5(x -1. 5) 2 +20 4x 或 45+20(x-5) 2 12(7-x) . 【解法提示】①如解图③,当点 E 在线段 AB 上时,过 点 E 作 EH⊥ AC 于点 H,过点 D 作 DG⊥ AB 于点 G,DQ⊥FN 于点 Q,易得四边形 DQFE 是正方形,则 DQ=DE,DE2 =DG2 +EG2 = 22 +(x-1. 5) 2 ,EH = 4 5 AE = 4 5 x, ∵ DE ∥FN, ∴ ∠HDE = ∠DNQ, ∵ ∠DHE = ∠NQD=90°,∴ △DHE∽△NQD,∴ DN DE =DQ EH ,∴ DN= DE2 EH = 2 2+(x-1. 5)2 4x 5 = 5(x-1. 5) 2+20 4x ;②如解图④,当点 E 在线段 BC 上时,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,DQ⊥FN 交 FN 的延长线于点 Q,易 得 DQ = DE,DE2 = DG2 +EG2 = 1. 52 + ( 5 - x) 2 ,EH = 3 5 CE= 3 5 ( 7 - x), ∵ DE∥FN, ∴ ∠DNQ = ∠EDH, ∵ ∠DHE= ∠NQD = 90°, ∴ △DHE ∽ △NQD, ∴ DN DE = DQ EH ,∴ DN = DE 2 EH = 1. 5 2+(5-x)2 3 5 (7-x) = 45+20(x-5) 2 12(7-x) . 综上所 述,线段 DN 的长为5(x -1. 5)2+20 4x 或 45+20(x-5)2 12(7-x) . 图③ 　 　 图④ 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 2024 年唐山市中考数学一模试卷改编 1. B　 2. A　 3. D　 4. B　 5. D　 6. C　 7. B　 8. C　 9. C　 10. D 11. D　 【解析】如解图,连接 AD,CD,AC,DG,AG. ∵ AD 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ACD = 90°, 在 Rt △ACD 中, AD = 2r,易得∠DAC = 30°,∴ AC = 3 r,则 DG =AG =AC = 3 r, OD = OA, ∴ OG ⊥ AD, ∴ ∠GOA = 90°, ∴ OG = AG2 -AO2 = 3r2 -r2 = 2 r. 第 11 题解图 12. A　 13. 10 000　 14. 81　 15. -4(答案不唯一) 16. (1)(6,6);(2)(4,2) 　 【解析】 (1) ∵ 旋转后点 B 与 点 C 重合,且∠BMC= 90°,∴ 线段 CD 可由 AB 绕点 M 逆时针旋转 90°得到,如解图①所示,∴ 点 D 的坐标为 (6,6); ( 2) 当点 B 与点 D 对应,点 A 与点 C 对应 时,根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转 中心,如解图②所示,点 E 的坐标为(4,2),即这个旋 转中心的坐标为(4,2) . 图① 图② 第 16 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71