辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

建平县实验中学2024~2025学年度高二下学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 的 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章5.1~5.3.1。 如 参考公式：线性回归方程：少=bx十a,其中b= 2(x-x)(y- -a=y-bI, 中 2x- 相关系数r 长 √-√- X= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d其中n=a+b+c+d. a=P(x≥k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 闻 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.数列号，号·名号…的一个通项公式可以是 A.d,= n-1 2n Ba,-2 Ca.=2-1 2 D.a,-2m+1 2 2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有 A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 3.在等比数列{an}中，a2a8=16,则as= A.2 B.4 C.±4 D.±8 4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,y)(n≥2，x,x2,,xm互不相等)的散点图中， 若所有样本点(xy)(i=1,2,,m)都在直线y=子x一5上，则这组样本数据的样本相关系 数为 A.1 B.-1 c 【高二下学期期中考试数学卷 第1页（共4页）】 5432B 扫描全能王创建 5.抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为p,令 随机变量X= 1,“花面朝上·则D(2X)= 0,“字”面朝上， A.4p(p-1) B.4(1-p) C.2p(p-1) D.2p(1-p) 6.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法 中，用am表示解下n(n≤9，n∈N·)个圆环所需要移动的最少次数，数列{an}满足a1=1,且 2an一1，n为奇数， a= 2an十2，n为偶数， 则a4= A.1 B.4 C.7 D.16 7.甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球 场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有 A.30种 B.36种 C.42种 D.56种 8.斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那 契数列{an}满足a1=a2=1,an+2=a+1十an(n∈N),设1十a3十as十a,十ag十…十a223=a4 则k= A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若(2x十1)0=ao十a1x十a2x2+…十a1ox0,x∈R,则 A.ao=1 B.ao-a1十a-a3十…十ao=3 C.ao十a1十a2十…十ao=30 D.a2十a4十…十ao=31o-1 10.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育 成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是 (附：若X~N(,a),则P(-g≤X≤μ十a)≈0.683，P(u-2a≤X≤+2a)≈0.954) A.该校学生体育成绩的方差为10 B.该校学生体育成绩的期望为70 C.该校学生体有成绩的及格率不到85% D.该校学生体有成绩的优秀率超过4% 11数列a,中，a1=2a41+=1,∈N,则 A.d2 on B.a1+十a2+ag+…+a222=1011 C.aazasa2=-2 D.aa2十aza3十a3a4十…十a222a23=-1011 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{am}中，a4=一8，a2十a3=2,则公比q= 13.已知递减等差数列{an},a1,a2a:是方程x2一2025x十2024=0两个实根，当am=0时，n= 14.盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同 色球d个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是黑球的概率是 【高二下学期期中考试数学卷第2页（共4页）】 5432B 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越 来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机 构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的 APP,得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 2a+4b 200 a 对短视频剪接成长视频的APP无需求 atb 150 46 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400. (1)求a,b的值： (2)是否有99%的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有 差异？ 16.(本小题满分15分) 如图所示，AE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形，BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB= 2BC=4 (1)求证：CF∥平面ADE: (2)求平面CDF与平面AEFB所成角的正弦值， 17.(本小题满分15分) 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人 员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的惠感冒学生人数，如下是2024年4月、 5月中的5组数据： 日期 4月8日 4月18日 4月28日 5月8日 5月18日 昼夜温差（℃） 8 11 6 15 5 就诊人数y 13 17 12 19 9 (1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上 5组数据求就诊人数关于昼夜温差的经验同归方程y=x十a(系数精确到0.01)： 【高二下学期期中考试数学卷第3页（共4页）】 5432B 扫描全能王创建 (2)一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6.若该 寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感， 求X的分布列和期望 参考数据：之(x-z)(y-)=63,2(x-)2=66, 18.(本小题满分17分) 已知各项均为正数的数列{a.}、{bn}满足a1=4,b=2,且b.,a,b+1成等差数列，房+ =an·am+1: (1)求a2,b:的值； (2)证明：数列{√an为等差数列： (3③)记←，=公，求数列c)的前n项和S 19.(本小题满分17分) 已知F是椭圆C:若+芳-=1(a>6>0)的右焦点，0为坐标原点，M为椭圆上任意一点， MF的最大值为2+3，当OM=OF时，△MOF的面积为2 (1)求椭圆C的方程： (2)A、B为椭圆的左，右顶点，点P满足A户=3P戌，当M与A,B不重合时，射线MP交椭 圆C于点N,直线AM,BN交于点T,求∠ATB的最大值 【高二下学期期中考试数学卷第4页（共4页）】 5432B 扫描全能王创建建平具实验中学2024~2025学年度高二下学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 2 答案 C D A B B 二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的 得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 ) 10 题号 11 AC BC 答案 ABD 1.B 分母2,4,6,8是序号n的2倍,分母加1是分子,故选B. 2.D 3.Ca:as-a^{-16,a=士4. 4.A 直线y-x-5上的斜率→o0.因为所有样本点(x.y)(i1,2..,n)都在直线y-x-5上,所以 这组样本数据的样本相关系数为1. 5.B 由题知,X服从两点分布,且P(1)=,P(0)=1一.所以D(X)=(1-),D(2X)=4D(X)=4(1 ,),故选B. 6.C a=2a-1-1,a-2a+2-4.a:-2a:-1-7.故选C. 7.A 总分配方案种数为C{A}-36.甲、乙在同一足球场的分配方案种数为CA-6.则甲、乙不在同一个足球 场的分配方案种数为36-6一30,故选A. 8.B 由裴波那契数列的定义及递推公式可得:1+as+a:+a:十a。+...+a:n2a=a2十a。+...+a:o23-a:+as十 ...+a:o2a=a.+a: o2-..-a: o2.-a,即-2024.故选B. 9.AC 取x=o,可得a。-1;取x-1,可得a+a+a+.+ao-3l,取x--1,a-a+a-a+.+a= 1,即a:+a:+-+a。1+310 2 10.BC 11. ABD 由题意得:a--1-1-,a-1-1--1-a.-1-1-2-a-1-1-1 d { '.数列a.是以3为周期的周期数列. 对于C.a:aa..ao:-(aaa)"aozaa:o.-1.C错误; 对于D,由递推关系式知:aa:=a.-1.'aa+aas+aa+.+anzan-(a-1)+(a-1)+..十 (-1)-a+a+a+...+a-2022-1011-2022--1011,D正确.故选ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 13.2025 方程-2025.x+2024-0的两个根是1和2024,又等差数列(a.)递减,则a-2024,a.-1,数 列的公差为d-2---1,所以asoes-a2o2a+d-1-1-0,故n-2025. 2024-1 设事件A一“第一次取出的是红球”,事件B一“第一次取出的是黑球”,事件C一“第一次取出的是 白球”,事件D一“第二次取出的是黑球” 由全概率公式知P(D)=P(A)P(D A)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC). 十c十,P(B)-- 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案 第1页(共3页)】 5432B 建平县实验中学2024~2025学年度高二下学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D C A B C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BC ABD 1.B分母2,4,6,8是序号的2倍，分母加1是分子.故选B 2.D 3.Ca2a8=ai=16,as=±4. .A直线y一子x一5上的斜率号>0，因为所有样本点(y):=1.2,…,m都在直线y=号t一5上，所以 这组样本数据的样本相关系数为1： 5.B由题知，X服从两点分布，且P(1)=p,P(0)=1-p,所以D(X)=p(1-p),D(2X)=4D(X)=4p(1一 ),故选B 6.Ca2=2a1-1=1,a=2a2十2=4，a=2a1-1=7.故选C 7.A总分配方案种数为C置A=36,甲，乙在同一足球场的分配方案种数为CA是=6，则甲、乙不在同一个足球 场的分配方案种数为36一6=30，故选A 8.B由斐波那契数列的定义及递推公式可得：1十a十a十a:十a,十…十a2s=a2十a:十…十a:os=a4十a5十 …十ago2a=a6+…十a3=…=ago24=a4,即k=2024.故选B. 9.AC取x=0,可得au=1;取x=1,可得aw十a十a2十…十ao=3°.取x=一1，au一a十a2一as十…十a0= 1.即a十a4十…十an=1+3” 1=30-1 2 2 10.PC 1LAD由题意得：1-子a=1-d-=-1a-1-d-2a=1-d-子 a 2，…, .数列{a.}是以3为周期的周期数列. 对于A0=0ee=a:=合，A正确： 对于B.a十a十a十…十a@=674(a十a十a)=674×号=101，B正确： 对于C,d1a2aa…a2g,=(1a2aa)时ago3a224=1.C错误； 对于D,由递推关系式知：ama-1=am一1，.a1a十a2a+asa十…+a22a2a=(a1一1)十(a2一1)+…十 (a:g一1)=a十a2+aa十…+a2z-2022=1011-2022=-1011,D正确.故选ABD. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12一2设等比数列a.的公比为g,由a,=-一8，a十a=2,得，+，8-2，解得q=-2 13.2025方程x2-2025.x十2024=0的两个根是1和2024，又等差数列{m递减，则a1=2024,a224=1,数 列的公差为d=受02号=-1，所以as=4:十d=1-1=0,故n=2025。 b 14.a+b+c 设事件A=“第一次取出的是红球”，事件B=“第一次取出的是黑球”，事件C-“第一次取出的是 白球”，事件D=“第二次取出的是黑球” 由全概率公式IP(D)=P(A)P(DIA)+P(B)P(DIB)+P(C)P(D1C). b bd 由题意P(A)=a+i+,P(DlA)=a+b十c+aP(B=a+b+cP(DB)=a+b++adP(C) a+b+c' 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案第1页（共3页）】 5432B P(DC)_) ab十b(b十d)+bc (a十b十c)(a十btc十d)-a十b十c 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解:(1)由已知得, ((2a十4b)十(a+b)-400. a十4/-250. 解得...................分. (2)由已知得,如下2×2列联表; 青年人 中老年人 合计 300 250 对短视频剪接成长视频的APP有需求 550 100 350 对短视频剪接成长视频的APP无需求 450 合计 400 600 1000 400X600X450×550 故有99%的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求,青年人与中老年人有差异..........13分 16.(1)证明:·四边形ABEF为矩形..'.BF/AE. 又BFC平面ADE,AEC平面ADE,.'.BF/平面ADE. ...............分 又BC//AD.同理可得BC/平面ADE. ......................... 又BFOBC-B,BF,BCC平面BCF,.'.平面BCF//平面ADE. ......5分. 又CFC一.... BC..'../..平.........................分 (2)解;如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A一xy,则 C(2.2.0).D(0,4,0).F(2,0,4). .AD-(o.4.0).CD-(-2.2.0).CF-(0.-2,4). ...................分 设n-(x,y,z)是平面CDF的一个法向量,则 1 {n.C-o. -2-0. _-1. 又AD是平面AEFB的一个法向量: ........分 .|cos(n.AD)nAD 2 n·AD ........................................................................ .4分 ......................... 17.解:.......数.........1.......................................1分 (x-)(y-) ._ (-)} 6 。 63 .---14- ×9~5.41. 66 ...................5分. '就诊人.数数.于昼夜温差.的经验回归方程为.y.0..5.-.5.5.41.............6分 (2)X的可能取值为0.1.2.3. ..X~B(3.0.6). *P(X-0)-C×0.6×0.4-0.064. P(X-1)-C×0.6X0.4-0.288. P(X-2)-C×0.6*×0.4-0.432. P(X-3.......6. ............................................... 1.分 .X的分布列为: 0 2 叫 D 0.064 0.288 0.432 0.216 期望......6................................................1.5分 18.(1)解..为.为..成.差.数列,,所.所以... ... ...................1分 当n= 1.... .,.即..x4.说.,所...6.............................. 3分 第2页(共3页)】 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案 5432B abb(b+d)+bc P(DIC)-aP(D)-(ab(atbedatbe 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 1区解：已知得，《的点a+分=0： …4分 解得a=b=50.…6分 (2)由已知得，如下2×2列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 计算得X=1000X300X350-100×2502 400×600×450×550 ≈107.744>6.635，………12分 故有99%的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异.…13分 16.(1)证明：，四边形ABEF为矩形..BF∥AE 又BF丈平面ADE,AEC平面ADE,.BF∥平面ADE.…2分 又BC∥AD,同理可得BC∥平面ADE.…3分 又BF∩BC=B,BF,BCC平面BCF,∴.平面BCF∥平面ADE.·5分 又CFC平面BCF,.CF∥平面ADE.…6分 (2)解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A一xy,则 C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4), .AD=(0,4,0),CD=(-2,20).CF=(0,-2,4).…8分 设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量，则 :CD0即红0令y=2,解得{2：n=2,21.…11分 n.C市-0.即{y-2x=0,1 又AD是平面AEFB的一个法向量，…12分 cosn,AD1=n·AD=2 ln·AD 314分 :平面CDF与平面AEFB所成角的正弦值为√1-（号：-写 3 …15分 17.解：(1)由表格中数据可得，.x=9,y=14,…。 …1分 2(x-x)(y-》 ∴= 63 ≈0.95. 66 ……3分 红- a=一b=14需×96A41. …5分 .就诊人数y关于昼夜温差x的经验回归方程为y=0.95.x十5.41.…6分 (2)X的可能取值为0,1,2,3， ……7分 X-B(3,0.6) .P(X=0)=C8×0.6"×0.4=0.064, P(X=1)=C×0.6×0.4=0.288, P(X=2)=C×0.6×0.4=0.432, P(X=3)=C月X0.6X0.4°=0.216.… …10分 ∴.X的分布列为： X 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 期里E(X)=3X0.6=1.8.…15分 18.(1)解：因为b。,a,b+成等差数列，所以2am=bn十b+1· …1分 当n=1时，2a1=b+十bm,即2×4=2+加，所以=6， …3分 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案第2页（共3页）】 5432B 因为,-a·a ,当n-1时,-a·a,即6×6-4a,所以a=9. ..................................分 (2)证明:由条件可得2a.-b。+b1,且:-a。·a-1; 又................................................................7分 代人2a=b+b中,得n2,nN时. 有2v-... . .-. . ...-. v.. ................分 (3)解:由(1)(2)知数列.)为等差数列且a-2.a-3,所以数列{a。)是首项为2,公差为1的 等差数列, 得V三...................................1.分 故品二 -..-..-(. .).(..2).即...-.I............ 13分 所以n2nN时,.-(+1),且2也符合上式,故.--.(n1), ............ 14分 则一 6nGn十1)nn1 数列( )的前n项和$。-(1-)+(一)+(-).(-)- ......17分 19.解:(1)因为|MF-a+c-2+3①. 又ME +MF|=2a,所以|ME+MF}+2 MEl |MF|=4$^,所以2 ME| MF =4^4c-4 因为S一,所以s r=1,所以-1②,又a*}-十^③, ..........................................分 (2)因为点P满足AP-3PB,所以P(1,0),设直线MN的方程为x=my+1, r-ny1 设M(xi,y),N(xo,w),易得△0,则y十=- 2t n#=-3 n{}十4' 联立得(12)(+12-). +2(+2)(ny+1+2)y+3) 所以动点T的轨迹方程为x-4(v去0). ................................ 由圆的对称性不妨设T(4.7),70,直线TA.TB的倾斜角分别为a,3. 443 2 {3 当且仅当(-2、3时,等号成立,此时T(4.2/3),乙ATB-哥,所以乙ATB的最大值为吾. ......7分 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案 第3页(共3页)】 5432B 因为房+1=aw·aw+1,当n=1时，房=a1·a2,即6X6=4a2,所以a2=9.…5分 (2)证明：由条件可得2a.=b,十b-1,且+1=am·a+1, 又n>0,bn>0,故bn+1=√an…4十，…7分 代人2am=h.十b+1中，得n≥2，n∈N”时， 有2an=√an-1·an十√an"a+i,即2V@n=a。-1十√an+1,…9分 所以数列{√石}为等差数列。…10分 (3)解：由(1)(2)知数列{√am}为等差数列且a=2,√a2=3,所以数列{√a。}是首项为2，公差为1的 等差数列， 得Qn=2十一1=n十1，即an=(n十1)2，…12分 故房+1=aw·ag+1=(n十1)2(n十2)2，即b-1=(n十1)(n十2)，…13分 所以n≥2，n∈N°时，bn=n(n十1)，且=2也符合上式，故b,=n(n十1)，…14分 则6=名D 11 …15分 数列6)的前u项和5，=(1-吉)+（位专）+（合-士）十+（分）升 …17分 19.解：(1)因为MF==a十c=2+3①， 设椭圆的左焦点为E,因为OM=OF=之EF,所以∠EMF=90.即ME+MF=EF=42, 又|ME+|MF|=2a,所以ME+1MF+21 ME MF|=4a,所以2 ME MF=4a2-42=4, 所以MEMF=2F,所以S△=7 ME MF=B, 因为SawF=7,所以Sag=1,所以G=1②，又a=6+③， 由①②③，解得公=4.2=3，所以椭圆C的方程为十=L.…7分 (2)因为点P满足A户=3PB,所以P(1,0),设直线MN的方程为x=my十1， r=my+1 联立 4 +y=1得(m+0y2+2my-3=0. 设M(x1y),N(x,),易得△>0，则y十= 2m 3 m2十4'4为= 2十4' 直线AM的方程为y=斗2十2》.直线BN的方程为y一产 -2x-2, 联立得=号-（二2-当(my2十1-2=my2二立 x+2(+2)2(my1+1+2)my12+3 3 3 因为m=受（十为)所以一名- 3 y十)-y 2斯+2为 x+23 十为)+3 +2 3 3,解得x=4, 所以动点T的轨迹方程为江=4(y≠0)。…13分 由椭圆的对称性不妨设T(4,t),>0,直线TA.TB的倾斜角分别为a,3, 因为∠ATB=B-a,所以tan∠ATB=tan(Ba)=tan B tana 1+tan Btan a 因为ana=k=合，tan月=km=专，所以an∠ATB=2，言 4 4<4③ 3 26 当且仅当1=23时，等号成立，此时T4,23),∠ATB=否，所以∠ATB的最大值为晋 …17分 【高二下学期期中考试·数学卷参考答案第3页（共3页）】 54321B