精品解析：2025年四川省绵阳市江油市中考二模数学试题

四川江油市2024-2025学年度九年级中考第二次模拟检测 （九年级数学） （考试时间：120分钟满分：150分） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2的算术平方根是（　　） A. B. C. 4 D. 2. 下列图标中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 4. 随着中国“一带一路”朋友圈的不断扩大，对外贸易持续快速增加，截至2024年底中欧班列（成渝）累计开行超36000列，将36000用科学记数法表示应是（　　） A B. C. D. 5. 以下说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到抛物线所对应的解析式应是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 8. 如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 13 9. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 11. 二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ②④ 12. 如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解x3－9x=__________． 14. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为___________． 15. 一个不透明的袋中共有6个小球，分别为3个红球和3个黄球，它们除颜色外无其他差别．随机摸出两个小球，摸出两个颜色均为红色小球的概率为___________． 16. 如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造___________ 17. 已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是___________． 18. 如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则长为___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 20. “低碳生活，绿色出行”的理念逐渐深入人心，更多居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题： （1）本次接受问卷调查的共有___________人；在扇形图中，“A”选项所占的百分比为___________． （2）扇形图中，“B”选项所对应扇形圆心角的度数为___________． （3）请补全条形图． （4）若该小区共有1200名居民使用共享单车，请你估计这1200名居民使用共享单车的时间在“D”选项的有多少人． 21. 随着汽车拥有量持续增加，城市交通堵塞情况日益严重，为优化交管措施，相关部门对一城市主干道交通情况进行了调研．通常情况下，当主干道上的车流密度达到200辆时，造成堵塞，此时车流平均速度为；当车流密度不高于50辆时，车流平均速度为．研究表明：当时，车流平均速度v（单位：）是车流密度x（单位：辆）的一次函数． （1）当时，求v关于x的函数解析式； （2）已知车流量车流密度车流速度（车流量为单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆），设车流量为y，请写出y关于车流密度x的函数解析式，并求出当车流密度x为多少时车流量y可以达到最大，求出最大值（精确到1辆）． 22. 如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标． 23. 如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，， （1）求证：与相切． （2）求的值． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； （3）如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 25. 如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，． （1）求证：． （2）如图①，当时，求的长． （3）如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川江油市2024-2025学年度九年级中考第二次模拟检测 （九年级数学） （考试时间：120分钟满分：150分） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2的算术平方根是（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：2的算术平方根是． 故选：A 2. 下列图标中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 3. 下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，掌握主视图所看的位置是解题的关键． 根据主视图是从找到从正面看所得到的图形，据此即可解答． 【详解】解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误； B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误． 故选：C． 4. 随着中国“一带一路”朋友圈的不断扩大，对外贸易持续快速增加，截至2024年底中欧班列（成渝）累计开行超36000列，将36000用科学记数法表示应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：36000用科学记数法表示应是； 故选：C． 5. 以下说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，符合题意； B、当时，，原说法错误，不符合题意； C、若，，则，原说法错误，不符合题意； D、若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，以及通过顶点式或变量替换法求平移后的解析式．把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，根据平移规律∶上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】解：二次函数变顶点式为． 顶点坐标为． 由题意得平移后顶点坐标为，即． 新顶点坐标为． 新顶点式为． 新解析式展开为． 故选：C． 7. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得，故原方程有实数根，符合题意； 当时，当，即时，原方程有两个实数根， 综上，满足条件的k的取值范围为， 故选：B． 8. 如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，设的半径为，则，，然后根据垂径定理求得，利用勾股定理，解得即可得到直径． 【详解】解：连接，如图所示， 设的半径为，则， ， ， 是的一条弦，直径于点，， ， ，即， 解得， 的直径为， 故选：D． 9. 如图，在小山东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．作于D，根据速度和时间先求得的长．在中，求得的度数，再求得的长度，然后根据求出的长． 【详解】解：如图，作于D， 在中，，， ∴， 在中，∵， ∴． 故选：A． 10. 如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．先利用全等三角形的性质得到，，，，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ，，，， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵D为中边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的各项系数与对称轴的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，得到，，于是可对①②进行判断；由于时，，则得到，则可对③进行判断；通过点离对称轴要比点离对称轴要远对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴直线， ∴，则， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，， 所以①②正确； ∵对称轴是直线，且该图象过点． ∴抛物线过点 ∴时，， ∴，所以③错误； ∵点离对称轴要比点离对称轴要远， ∴，所以④正确． 综上可知，①②④正确， 故选：B． 12. 如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长交于点E，连接，交于点M，此时周长最小．设，，证明得到，由正切定义和勾股定理求得，，根据切线性质得，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M， ∵，， ∴垂直平分，则， ∴，此时周长最小． 设，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 设于相切于点F，连接， 则，又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、轴对称求最短路线、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等问题，解题的关键在于正确找到M点位置． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 14. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为___________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据对顶角相等求得，再根据两直线平行，同位角相等得到，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一个不透明的袋中共有6个小球，分别为3个红球和3个黄球，它们除颜色外无其他差别．随机摸出两个小球，摸出两个颜色均为红色小球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表或画树状图求概率．根据题意可计算出红球的个数，画树状图把所有可能的结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：列表表示所有可能的结果如下表所示， （黄球用m表示，红球用n表示）． m m m n n n m m，m m，m m，n m，n m，n m m，m m，m m，n m，n m，n m m，m m，m m，n m，n m，n n n，m n，m n，m n，n n，n n n，m n，m n，m n，n n，n n n，m n，m n，m n，n n，n 所有等可能的结果有30种，两个都是红球的结果有6种， ∴恰好都是红球的概率为． 故答案为：． 16. 如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造___________ 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即该羊圈最大面积可以建造， 故答案为：48． 17. 已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，过点作，交的延长线于点，则，根据含角的直角三角形得出，根据勾股定理求出，，证明，求出，证明，，证明，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算以及分式的化简求值，掌握运算法则是关键． （1）根据二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂的运算法则，特殊三角函数值先化简，再计算； （2）先化简分式，再将代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式 20. “低碳生活，绿色出行”的理念逐渐深入人心，更多居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题： （1）本次接受问卷调查的共有___________人；在扇形图中，“A”选项所占的百分比为___________． （2）扇形图中，“B”选项所对应的扇形圆心角的度数为___________． （3）请补全条形图． （4）若该小区共有1200名居民使用共享单车，请你估计这1200名居民使用共享单车的时间在“D”选项的有多少人． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，样本估计总体，扇形统计图中扇形的圆心角；熟练掌握基本概念是解题的关键． （1）根据组的百分比和人数即可求出总人数，再由组的人数除以总人数即可求出组所占百分比； （2）根据圆心角=百分比计算即可； （3）求出组人数，画出条形图即可； （4）用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 解：（人）．． 本次接受问卷调查的共有人，在扇形图中，“”选项所占的百分比为%． 【小问2详解】 扇形图中，“”选项所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 “”选项的人数为，补全条形图如图所示 【小问4详解】 （人）． 答：估计这名居民使用共享单车的时间在“”选项的有人． 21. 随着汽车拥有量的持续增加，城市交通堵塞情况日益严重，为优化交管措施，相关部门对一城市主干道交通情况进行了调研．通常情况下，当主干道上的车流密度达到200辆时，造成堵塞，此时车流平均速度为；当车流密度不高于50辆时，车流平均速度为．研究表明：当时，车流平均速度v（单位：）是车流密度x（单位：辆）的一次函数． （1）当时，求v关于x的函数解析式； （2）已知车流量车流密度车流速度（车流量为单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆），设车流量为y，请写出y关于车流密度x的函数解析式，并求出当车流密度x为多少时车流量y可以达到最大，求出最大值（精确到1辆）． 【答案】（1） （2）当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是得出解析式． （1）当时，设，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意得出车流量y关于车流密度x的函数解析式，分为①当时；②当时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：由题意，得当时， 设． 当时，；当时，． ∴， 解得． ∴v关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，得． ①当时，，当时，y取得最大值为． ②当时，． 当时，y有最大值，最大值为． 综上所述，当时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333． 22. 如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数的解析式，解直角三角形，利用等边三角形的性质求出点的坐标是解题关键． （1）过点B作轴，垂足为H，可求出，再用待定系数法解答，即可求解； （2）过点D作轴，垂足为K．设，可得，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：如图①，过点B作轴，垂足为H， ∵点A的坐标为是等边三角形． ∴是线段的垂直平分线．． ∴． 在中，， ∴，即． ∵点B在反比例函数的图象上， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图②，过点D作轴，垂足为K． ∵是等边三角形， ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴设． 在中，，，， ∴， ∴， 整理得， 解得，． ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 23. 如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，， （1）求证：与相切． （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，推出，直径得到，进而得到，推出，即可； （2）连接，过点作，垂足为，证明，得到，进而得到，根据，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，同法求出的长，证明，列出比例式，设，求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图①，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即． ∵为的直径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：如图②，连接，过点作，垂足为． 为的直径， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ， ， ． 在中，，， ，解得． ，则． 又，， ， ， ． ， ， ， ． 设，则， ，解得，即． 在中，，，，， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； （3）如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数综合题，平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到．设直线的解析式为，则，则直线的解析式为．证明，则，，得到．利用待定系数法即可求出答案； （3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．求出，得到，则，根据得到，整理可得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， ． 将代入， 得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 如图③，过点作，垂足为． 由（1）可得抛物线的解析式为， ， 是等腰直角三角形， ． 设直线的解析式为，则， 直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ． 点在直线上，把代入中， 得，解得， 直线的解析式为 【小问3详解】 如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K． ∵， ∴， ∴， ∴，则． ，则， 由直线EF的解析式为，得． ∵，， ∴直线BN的解析式为， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， 整理可得， 解得． ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， 即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为． 25. 如图，在四边形中，，点M在上，点N在上，且，，，． （1）求证：． （2）如图①，当时，求的长． （3）如图②，点E在线段上，且，过点E作，交于点F，在的延长线上有一点P，射线上有一点Q，且．若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点C作于点H，过点B作于点G．先求得，，推出，又，得到，据此求解即可； （2）连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接．令，，设．求得，∴，推出，证明，推出，，在中，解直角三角形，得到，，，在等腰三角形中，列式，计算即可求解； （3）在延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R．求得，在中，解直角三角形得，推出，，．再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图③，连接，过点C作于点H，过点B作于点G． ∵，， ∴． ∴，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图④，连接，过点C作于点T，在上取点K，使，连接． 令，， 设．由（1）可得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，即， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴，，． 在等腰三角形中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得， 即当时，的长为； 【小问3详解】 解：如图⑤，在的延长线取点W，且，过点C作于点J．设与的交点为R． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在中，由（2）可得． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$