精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年上海市进才中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. ，，则______． 2. 若函数在上是偶函数，则实数_____ 3. 已知，则___________. 4. 已知向量，若，则实数__________. 5. 若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为__________. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______． 7. 函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为___________. 8. 抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是__________． 9. 若函数在上严格增，那么a的取值范围是______． 10. 已知函数，则不等式的解集为__________. 11. 设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_________. 12. 设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 15. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 16. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 20. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市进才中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. ，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 若函数在上是偶函数，则实数_____ 【答案】0 【解析】 【分析】由偶函数的性质求解即可； 【详解】由题意可得， 即，解得， 故答案为：0. 3. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 4. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为向量，， 则，即. 故答案为：. 5. 若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】解： . 故答案为：8 6. 如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等体积法求得到平面的距离. 【详解】，为边长为的等边三角形， 设到平面的距离为，根据， 则， 解得. 故答案为：. 7. 函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像判断出函数的单调区间，从而求得的解集. 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 8. 抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 9. 若函数在上严格增，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数严格增可知导数不小于0恒成立，分离参数后求最值即可得解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 而在上严格减， 所以， 故. 故答案为： 10. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 11. 设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案. 【详解】如图，设，则，. 又由椭圆定义可得. 则在中，由余弦定理可得: . 则， 则在由余弦定理可得： . 又. 故答案为： 12. 设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值. 【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以， 又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或， 当时，，此时， 这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾， 所以，类似地，必有，，，， 由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合， 要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小， 则，， 同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件. 由对称性得最后6项为，， 则的最小值. 【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则， 当时，，，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 15. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合余弦型函数的性质，求得函数的单调区间，结合选项，即可求解. 【详解】由函数， 令，解得， 令，解得， 所以函数的递增区间为，递减区间为 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为， 结合选项，可得选项B正确. 故选：B. 16. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可 【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为 故选：D 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：直三棱柱的体积为：， 则，四边形为正方形， 法一：在直棱柱中，面，， 又平面，则， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以， 在正方形中，有， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 法二：直棱柱，平面，又， 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可； （2）法一：过作于，连接，由已知得出为二面角的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设，在中，过作于，连接， 因为，，平面，且， 所以平面，又平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，得， 又在中，，得， ， 所以二面角的余弦值为． 法二： ，，，，， ，，设平面的法向量：， 则，取，得， ，，设面的法向量， 则，取，得， 设二面角的大小为，则： ， 因为为锐角，所以二面角余弦值为． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案; （2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 根据正弦定理及， 得. ∵， ∴. ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， ∵， ∴，即， 当且仅当时取等号. ∴. ∴的最大值为. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【小问1详解】 的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 20. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 ，所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $