精品解析：广东省东莞市济川中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

东莞市济川中学2024-2025学年下学期期中考试题 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知曲线在处的切线方程是，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量的分布列如表：则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015 B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525 C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和. 则下列命题中正确的是（ ） A. 第行所有数之和为： B. 第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 C. D. 由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 2025的正因数有________个． 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：木大题共5小题，共77分、 15. （1）计算； （2）已知， 求①的值. ② 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 17. 现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球．（结果用数字作答） （1）将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排法？ （2）将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排法？ （3）若从8个球中任取4个球，且各种颜色的球都被取到，有多少种取法？ 18. （1）化简：. （2）①用二项式定理证明能被100整除； ②求被100除所得的余数. 19. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市济川中学2024-2025学年下学期期中考试题 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】， 所以. 故选：. 2. 已知曲线在处的切线方程是，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案. 【详解】切点在上，故， 由导数几何意义得到，所以. 故选：D 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】由条件概率公式得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题. 4. 随机变量的分布列如表：则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中的概率和为可直接求得结果. 【详解】由分布列性质知：，解得：. 故选：A. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与函数的单调性的关系及导数的几何意义结合图象即得. 【详解】因为，所以在为增函数， 令，且， 当时，，为增函数，图象上切线的斜率逐渐增大； 当时，，为减函数，图象上切线的斜率逐渐减小. 故选：D． 6. 是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，然后对其求导，根据题意，判断其单调性，即可得出结果. 【详解】令，则，因为恒成立， 所以恒成立，所以函数在R上单调递增； 因为，所以即. 故选B 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，先构造函数，再由导数的方法对函数求导，判断出其单调性，即可得出结果，属于常考题型. 7. 已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当曲线在点处的切线与已知直线平行时点到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】联立得，则， 所以直线与曲线不相交， 因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小. 因为，直线的斜率，所以，解得，则， 所以到直线的距离最小，最小值为. 故选：C 8. 已知函数，有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数，画出大致图象，从而求得的取值范围. 【详解】由， 所以在时，在单调递减， 在时，在单调递增， 所以当时，取得极小值也即是最小值， 当时，，且时，，又，由此画出的大致图象如下图所示， 由图可知，的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】ABD选项，利用导数四则运算法则求解；C选项，利用复合函数求导公式进行求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015 B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525 C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误. 【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确； B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确； C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确； D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误. 故选：ABC 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和. 则下列命题中正确的是（ ） A. 第行所有数之和为： B. 第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 C. D. 由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为： 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质判断A；计算判断BC；由“杨辉三角”判断D. 【详解】对于A，由二项式系数的性质，得第行所有数之和，A正确； 对于B，第7行中从左到右第5个数与第6个数的比，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，由“杨辉三角”知，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案． 【详解】展开式的通项为，， ①令，则； ②令，则； 综上可得：展开式中项的系数为． 故答案为：． 13. 2025的正因数有________个． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，即可求出2025的正因数个数. 【详解】因为， 所以2025的正因数有：个， 故答案为：. 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，研究其单调性，求的最大值即可. 【详解】，则在上恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，故， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：木大题共5小题，共77分、 15. （1）计算； （2）已知， 求①的值. ② 【答案】（1）59；（2）①16；②1 【解析】 【分析】（1）根据组合数和排列数计算公式得到答案； （2）①令，得到的值；②令，得到. 【详解】（1）； （2）①中，令得 ，故； ②中，令得， 故. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值为0，极大值为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）求出导函数，研究函数的单调性，然后根据极值的定义求解即可. 【小问1详解】 由得，所以， 又，因此曲线在点处的切线的斜率为1， 切线方程为，即； 【小问2详解】 令，解得：或2. 当或时，，当时，， 所以在，内是减函数，在内是增函数． 因此函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且； 综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，， 极小值为0，极大值为. 17. 现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球．（结果用数字作答） （1）将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排法？ （2）将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排法？ （3）若从8个球中任取4个球，且各种颜色的球都被取到，有多少种取法？ 【答案】（1）432 （2）2880 （3）45 【解析】 【分析】（1）先把相同颜色的球看成一个整体，排3种不同的颜色球，再各自排红色、白色、黑色的球； （2）先把除黑球外的5只球，结合插空法即可求解； （3）满足要求的事件为必有一种颜色的球取2个球，其余颜色的球各取1个，结合组合数计算即可求解. 【小问1详解】 把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色球有种排法． 2个不同标号的红球的位置可以变换，有种排法；同理，3个不同标号的白球之间有种排法，3个不同标号的黑球之间有种排法． 故不同的排法的种数为． 【小问2详解】 先把除黑球外的5个球全排列，共有种排法， 再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空当，有种排法， 故共有种排法． 【小问3详解】 从8个球中任取4个球，且各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色的球取2个球，其余颜色的球各取1个， 故不同的取法总数为 18. （1）化简：. （2）①用二项式定理证明能被100整除； ②求被100除所得的余数. 【答案】18. ； 19. ①证明如下： ， 显然能被100整除； ②81. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理的合并得，即可化简； （2）①，利用二项式定理展开即可证明； ②，利用二项式定理展开即可求解； 【18题详解】 . 【19题详解】 ①略 ② ， 所以被100除所得的余数为81. 19. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $