精品解析：山西省部分学校2024-2025学年高三4月巩固提升卷数学试题

2024～2025学年高三4月巩固提升卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得. 【详解】由，得． 故选：A． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 或 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】，故，解得. 故选：D 4. 若双曲线的一个焦点为，则实数为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为双曲线的一个焦点为， 所以，解得． 故选：B． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数图象可得，结合即可得答案. 【详解】同一坐标系内画出函数和的图象，如图， 由图可知， 即， 又因为， 所以． 故选：D． 6. 已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合分析可知，再结合奇函数的对称性分析求解即可. 【详解】因为，可知， 又因为为奇函数，且连续不断，则，则， 且，可知， 由奇函数对称性可知：时，， 且，， 所以在定义域的值域为. 故选：B. 7. 一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，求出满足“有缘数”的数字个数，结合排列组合公式计算可得. 【详解】从这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为24； 从这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为， 所以全部“有缘数”的个数为． 故选：C． 8. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设这10个样本数据分别为，且．由题意得这组数据的分位数为，设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，由平均值为10得到，再利用方差公式结合基本不等式求得的最大值即可. 【详解】设这10个样本数据分别为，且． 因为，所以这10个数据的分位数为． 设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为， 由题意知，则； ， 所以，整理得，解得， 所以， 当且仅当时等号成立， 即，时，取到最大值13. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的图象关于原点对称 C. 若，则 D. ，都有成立 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，结合相位的取值范围来研究正弦型函数的单调性，对称性和值域，从而来判断各选项即可. 【详解】对于A，若，则， 所以，或， 即，或，故A错误； 对于B，又， 由于，所以不可能是奇函数， 则的图象不可能关于原点对称，故B错误； 对于C，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以， 又，即， 所以，都有成立，故D正确． 故选：CD． 11. 设函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 可能为单调递增函数 【答案】AD 【解析】 【分析】通过赋值得到即可判断A，BCD则通过举例的方法说明. 【详解】因为，又，所以，即，故A正确； 取满足题意，故B､C均错误； 取函数满足题意，且为上的增函数，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】16 【解析】 【分析】由等差数列求和公式列出方程，求得首项、公差即可求解. 【详解】由，， 可得：，解得：， 所以， 故答案为：16 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得，进而得到，即可求解. 【详解】由，得， 解得，所以， 又因为，且，所以，，所以， 则， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】设并与联立，写出韦达定理，求导得出直线的斜率，继而写出直线的方程，与联立，求出，设直线与交于点，求出，继而求得，表示出的面积，最后借助于基本不等式即可求得. 【详解】 由题意知抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在， 故设直线的方程为，，， 联立消去，得，， 所以，， 因为，所以，则直线的斜率为， 因，故直线的方程为，即， 也即，联立，消去，得， 所以，即， 设直线与交于点，则， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最小值为36． 故答案为：36. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用三角形的性质及正弦的和角公式，即可求解； （2）根据条件，利用面积公式得，利用余弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由，由正弦定理得． 因为，所以， 即，得到， 又，则，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 又的面积为，所以，得到， 在中，由余弦定理，得， 所以，又，所以， 因为，所以． 16. 已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． （1）求的解析式； （2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题设，由韦达定理可得，然后由导数运算法则可得答案； （2）由（1）可得有2根，设，随后由极大值等于0，极小值小于0或极大值大于0，极小值等于0可得答案. 【小问1详解】 由题设，则. 由题意，得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意． 综上，． 【小问2详解】 直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根， 即关于的方程仅有两个实根． 设，则． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，． 根据题意，得或， 解得或． 17. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． （1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 600 1200 1800 ，.【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. （2）求出的可能值，借助独立重复试验的概率求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”， 事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”， 则，，，，，， 所以 ． 【小问2详解】 的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 600 1200 1800 数学期望． 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】（1）由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式 设， 所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标， 即中点的坐标为. 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆，的方程求椭圆，的长轴长和短轴长，结合椭圆相似的定义列方程求，由此可得结论； （2）（i）设直线的方程为，联立与椭圆求线段的中点坐标，联立与椭圆求线段的中点坐标，由此证明结论； （ii）连接，取的中点，证明，联立方程组结合弦长公式求，，由此可得的面积解析式，再结合基本不等式求其最值. 【小问1详解】 由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，， 所以的面积. 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由 得，设，所 以， 所以 同理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年高三4月巩固提升卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 或 B. C. 2 D. 4 4. 若双曲线的一个焦点为，则实数为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 8. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的图象关于原点对称 C. 若，则 D. ，都有成立 11. 设函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 可能为单调递增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，若，，则______. 13. 已知，则______． 14. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 16. 已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． （1）求的解析式； （2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 17. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． （1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $