精品解析：广东省江门市新会区陈经纶中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

广东省江门市新会区陈经纶中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知非零平面向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列命题中正确的命题为（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 函数的最大值为2；； C. 在区间上是单调递增； D. 将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合． 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 11. 设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆半径为； B. 面积的最大值为； C. 最大值为； D. 的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，则___________．（用的形式表示，） 13. 在中，，，的角平分线，则________. 14. 设为两个非零向量，的夹角，且，已知对任意实数，的最小值为1，则______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2），求函数的值域； 17. 已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用、表示向量、； （2）若向量与共线，求的值. 18. 在四边形中，，. （1）若，求； （2）若，求. 19. 如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． （1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ （2）若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市新会区陈经纶中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 2. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：. 由余弦定理可得：. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以 . 故选：C 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用正切的和差公式，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：B. 5. 已知非零平面向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方后展开结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】因为平面向量的夹角为，且， 所以 ， 即，解得或（舍） 故选：A. 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用、表示向量，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】， ，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7. 奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 8. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【详解】已知, 则 故选:. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列命题中正确的命题为（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 函数的最大值为2；； C. 在区间上是单调递增； D. 将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合． 【答案】AB 【解析】 【分析】先把函数化成的形式，再对其图象和性质进行分析，逐项判断即可. 【详解】因为. 所以函数的周期：，故A正确； 函数的最大值为：2（当即，时取“”），故B正确； 当时，，又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位可得的图象，故D错误. 故选：AB 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据投影向量的定义判断C，根据且不同向判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确． 对于D：当与夹角为锐角时，则，解得，此时向量不同向， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为，故D正确； 故选：ACD． 11. 设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆半径为； B. 面积的最大值为； C. 最大值为； D. 的最小值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，结合已知条件利用正弦定理可求得结果，对于B，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出三角形面积的最大值，对于C，利用正弦定理可得，而，代入化简变形可求得其最大值，对于D，利用余弦定理结合基本不等式进行判断. 【详解】在的内角的对边分别为，若， 对于A中，由正弦定理得，可得外接圆半径为， 所以A正确； 对于B中，由余弦定理得，即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为，所以B正确； 对于C中，因为，可得，可得， 则 又由正弦定理，可得 ，（其中且）， 当时，取得最大值，最大值为，所以C正确； 对于D中，由余弦定理得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8，所以D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，则___________．（用的形式表示，） 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】因为，，，， 所以 . 故答案为： 13. 在中，，，的角平分线，则________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以． 考点：正余弦定理． 【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围． 14. 设为两个非零向量，的夹角，且，已知对任意实数，的最小值为1，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】计算，它是关于的二次函数，利用二次函数的性质求该函数的最小值，从而求出的值． 【详解】解：由题意，， ，， 的最小值为， 即，解得， 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】(1)由纯虚数的定义建立方程，求解即可； (2)由第四象限的点的特征建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 ∵复数为纯虚数，∴解得， ∴的值为0． 【小问2详解】 ∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴解得， 故的取值范围为． 16. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2），求函数的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象先确定与函数的周期，进而确定的值，在利用函数的最值点求，可得函数的解析式. （2）结合正弦函数的图象和性质，求所给函数在指定区间上的值域. 【小问1详解】 由图象易得：，，所以，所以. 又函数图象过点，所以，. 又，所以，， 所以. 【小问2详解】 当时，，所以，所以. 即所求函数的值域为： 17. 已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用、表示向量、； （2）若向量与共线，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：因为，结合图形可知为的中点， 所以，， 因为，则， 所以，. 【小问2详解】 解：因为， 因为向量与共线，则存在，使得， 即，所以，，解得. 18. 在四边形中，，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由，在三角形BCD中，由余弦定理即可得出答案； （2）设，三角形ABD和三角形BCD中，由余弦定理可得，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 在三角形ABD中，根据余弦定理可得，， 由题得：，所以， 在三角形BCD中，根据余弦定理可得， ， 所以，. 【小问2详解】 设，在三角形ABD中，根据余弦定理可得， ， 在三角形BCD中，根据余弦定理可得，， 所以，得：或（舍）， 则. 19. 如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． （1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ （2）若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定游客的高度与时间的关系，再把代入求函数值即可. （2）先求弧所对圆心角的大小，再解三角形求弦长即可. 【小问1详解】 设游客高度为，所用时间为，依题意：（,,）. 由；由. 由；由，所以. 所以. 当时，. 所以游客自最低点处登上摩天轮，5min后他距离地面的高度是. 【小问2详解】 因为之间间隔15个座舱，所以. 在中，. 所以A，B两个座舱的直线距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $