精品解析：广西壮族自治区北海市海城区北京市第八中学北海实验学校2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

绝密★启用前 2025年春季学期高一4月质量检测卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第二章． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 2. 设平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，其面积为，则的外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列各式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 13. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 17. 在中，已知，且. （1）求角B的度数. （2）若，求面积. （3）若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 18. 已知函数的部分图象大致如图所示． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025年春季学期高一4月质量检测卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第二章． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得出，再由余弦函数的性质即可求解. 【详解】， 因为关于y轴对称， 所以关于y轴对称. 故选：A 2. 设平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解. 【详解】由，，得，所以. 故选：B 3. 已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：C 5. 已知向量满足且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量和的夹角为，由，结合，列出方程，求得，即可求解. 【详解】设向量和的夹角为，其中， 因为且，可得， 所以，可得. 故选：B. 6. 的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，其面积为，则的外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径. 【详解】，， 又，可得. 设的外接圆半径为，则. 故选：D. 7. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 8. 已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由确定，根据正弦函数的零点列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 由于函数在上有且只有一个零点， 故，解得， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列各式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得.对于ABC：结合诱导公式分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，，可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如，则，符合题意， 但，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题设得到，再应用周期性及解析式得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值. 【详解】由题设，则， 所以，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）由诱导公式化简计算即可. 【小问1详解】 由题知， 所以，，. 【小问2详解】 . 16. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设弓形面积为．由题知． ． 【小问3详解】 由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 17. 在中，已知，且. （1）求角B的度数. （2）若，求面积. （3）若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出角； （2）利用正弦定理求出 和 ，从而可得的面积； （3）利用向量的性质以及正弦定理，求出的度数. 【小问1详解】 由余弦定理得 ， 又因为 ，所以 . 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 而，所以 ， 所以面积. 【小问3详解】 因为，由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 所以为等边三角形， 因为，所以是 的中点，可得， 用角表示为. 18. 已知函数的部分图象大致如图所示． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解； （2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解； ②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为，存在实数使得，即， 所以，可得，解得． 【小问2详解】 ①当时，，，， 所以， ， ， 所以． ②因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意． 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $