2025年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷01

2025年7月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟卷01 （考试时间：80分钟；满分：100分） 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，其中为虚数单位.则（     ） A．10 B．5 C． D． 3．已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（   ） A．2 B． C． D．1 4．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知a，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 10．在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 11．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 12．对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分） 13．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（    ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 14．设函数，则（    ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．当，时，函数有最小值为4 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 15．如图，已知直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1，2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（     ） A． B．当时， C．面积的最小值是1 D． 三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 16．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 17．有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为 ． 18．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 19．在中，,点是线段上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时, . 四、解答题（本大题共3小题，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（11分）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 21．（11分）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若是锐角，且，求的值. 22．（12分）如图，在三棱锥中，底面，平面平面. (1)求证：； (2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年7月浙江省普通高中学业水平考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] ) 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） ( 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] ) ( 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） ) ( 16 ． ______________ _________ 17 ． ______________ _________ 18 ． ______________ _________ 19 ． ______________ _________ 四 、解答题（本题共 3 小题，共 34 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 0 . （ 1 1 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 1 2 分） ) ( （ 续 2 0 题 ） 2 1 ． （ 11 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟卷 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D B D B A D C C A B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选的得0分） 题号 13 14 15 答案 BD CD ABD 三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 16、2 17、24 18、 19、 ； 四、解答题（本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 20. 【答案】(1)，不低于分；(2). 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 21. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解； （2）应用正弦函数值域计算求解； （3）应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】（1）由题意可得 . 令，， 解得，， 则的单调递减区间是. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. （3）因为，所以，所以. 因为是锐角，所以. 因为，所以，所以， 则 22. 【答案】(1)证明见解析；(2)①②. 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求； ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可. 【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在中，， 在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，、平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 设，，且，则，所以，， 所以，，， 因为平面，平面，所以，， 因为为的中点，则，所以，， 所以，， 所以，， 在直角中，，其中， 因为二次函数在上单调递增， 当时，，即，     因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，即为的中点，所以，， ，故二面角的正切值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟卷 （考试时间：80分钟；满分：100分） 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性计算指数不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】指数函数在上的单调递增，而，则，故，又， 故 故选：B. 2．若复数满足，其中为虚数单位.则（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求. 【详解】由，可得， 所以， 则. 故选：C. 3．已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：D 4．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台的高后可求圆台的体积. 【详解】因为圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为， 故圆台的高为， 故圆台的体积为， 故选：B. 5．已知a，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的值，结合两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】由题意可得，解得， 因此. 故选：B. 7．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 8．已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令得，或或时，不是函数零点，当且且时，，同一坐标系内，画出与在上的图象，数形结合得到答案. 【详解】令得，， 当或或时，，但，故不是函数零点， 当且且时，， 同一坐标系内画出与在上的图象，如下： 可以看出上，与在上共有3个交点， 故零点个数为3个，分别为.故选：D 9．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 10．在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用正弦定理边化角求得，再利用，可得到，利用余弦定理求得答案. 【详解】因为， 由正弦定理得，则， 所以， 因为，所以 且，所以． 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 在中，. 故选：C. 11．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四面体补形成长方体中，为空间内一点，且五点在同一个球面上，则的轨迹为一个圆，画出轴截面求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 依题意，可知，， 则，，， 解得，， 四面体的外接球半径为，球心为， 由，点的轨迹为一个圆，中点为， 设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面， ∴，解得，， ∴的轨迹长度为. 故选：A. 12．对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由余弦函数的性质求解集合，再根据题意得，则，再讨论的情况即可． 【详解】由得，，故， 因为，所以， 所以， 因为集合补集中一段区间的长为， 所以当时，一定成立， 当时，时，有， 解得，所以满足的范围是， 综上所述，， 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分） 13．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（    ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 14．设函数，则（    ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．当，时，函数有最小值为4 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 【答案】CD 【详解】函数的定义域为．对于选项A，当时，在区间上，函数和都单调递增，故在区间上单调递增，此时函数没有最小值，选项A错误．对于选项B，定义域为，取，即，则，，所以，所以函数在定义域上不是单调递增的，选项B错误．对于选项C，，，则，当且仅当时，等号成立，函数有最小值为4，选项C正确．对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；当时，设，，由得，，，所以，成立，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增，选项D正确． 15．如图，已知直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1，2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（     ） A． B．当时， C．面积的最小值是1 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据向量减法运算可判断；对于B：设，用角表示相应长度，结合题意运算求解即可；对于C：用角表示面积，结合二倍角正弦公式判断；对于D：利用向量数量积的运算律以及基本不等式判断. 【详解】对于选项A：因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：过点作，交直线于点，交直线于点，    因为点到、的距离分别为1、2，则， 设， 因为，则， 可得， 若，则，可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值是2，故C错误； 对于选项D：因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 16．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 17．有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为 ． 【答案】24 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】由题意，得新数据的平均数为， 设其方差为．因为， 所以．所以． 故答案为：24 18．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 【答案】 【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数. 【详解】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜， 因为甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局的概率为， 甲获胜的概率为，所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的， 所以元. 故答案为：. 19．在中，,点是线段上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时, . 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，确定两点坐标，设设，用坐标法求得数量积，结合函数性质得最小值，并由数量积的坐标表示求得，然后由平方关系得正弦值． 【详解】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 又中，，从而， 所以，即， 设， 则， 所以时，取得最小值， 此时，则， ，又， 所以， 故答案为：； 四、解答题（本大题共3小题，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（11分）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【答案】(1)，不低于分；(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 21．（11分）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若是锐角，且，求的值. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解； （2）应用正弦函数值域计算求解； （3）应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】（1）由题意可得 . 令，， 解得，， 则的单调递减区间是. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. （3）因为，所以，所以. 因为是锐角，所以. 因为，所以，所以， 则. 22．（12分）如图，在三棱锥中，底面，平面平面. (1)求证：； (2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求； ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可. 【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在中，， 在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，、平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 设，，且，则，所以，， 所以，，， 因为平面，平面，所以，， 因为为的中点，则，所以，， 所以，， 所以，， 在直角中，，其中， 因为二次函数在上单调递增， 当时，，即，     因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，即为的中点，所以，， ，故二面角的正切值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$