第10章整式乘法与除法复习课2024--2025学年青岛版数学七年级下册

青岛版数学七年级下册 10.整式乘法与除法复习 幂的运算 整式的乘法和除法　　 知识梳理 am·an=am+n (am)n=am·n (a·b)n=an·bn am÷an=am-n 整式的乘除 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 同底数幂相除 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 零指数幂与负整数指数幂 原有的正整数指数幂的运算性质扩大到全体整数指数。 绝对值小于1的非零小数的科学记数法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 平方差公式 完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2 1.同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 am · an = am + n 2.积的乘方法则: (ab)n =an·bn 积的乘方等于积中每个因数乘方的积 anbn =(ab)n (n是正整数) 3.幂的乘方的法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (am)n=amn amn=(am)n=(an)m (m，n为正整数)成立。 4.同底数幂除法的法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am ÷ an =am-n am-n =am÷an (a≠0，m，n是正整数). am + n=am · an (m,n都是正整数) 考点一 幂的运算 基础知识填空： 1.（-x3）÷(-x)2·(-x4)= . 2.3m2n·(-mn3)= . 3.(-2x2)3= . 4.41023×（-0.5）2025 = . 5.2-2×2-3= . 6.-0.000823= (用科学记数法表示) x5 -3m3n4 -8x6 -8.23×10-4 考点一 幂的运算 -2 4 考点一 幂的运算 思路导引 对于同底数幂的乘法,当底数互为相反数时,底数经过转化才能运用同底数幂的的运算性质，底数变化时注意符号的变化。 例1计算: (a-b)³·(b-a)² 解：(a-b)³·(b-a)² =(a-b)³·(a-b)² =(a-b)5 跟踪练习1. 考点一 幂的运算 (1)y3·(-y)·(-y)5·(-y)2; (2)(m-n)2·(n-m)3·(m-n)6。 (3)(2x-3y)n·(3y-2x)²n+1。 =y11 =-(m-n)11 或=(n-m)11 =(2x-3y)3n+1 例2计算: (1)-(-x²)³·(-x³)²; (2)已知 2x =a,3x =b,求 6x; 考点一 幂的运算 思路导引 积的乘方与幂的乘方的运算性质运用时，要时刻牢记乘方的意义. 解：(1)-(-x²)³·(-x³)² =-(-x6)·x6 =x12 (2)∵ 2x =a,3x =b, ∴ 6x=2x ·3x =ab 运用积的乘方的运算性质时,底数的系数也要乘方,且注意符号,逆用积的乘方的运算性质也是解决问题的一种有效方法 已知:2x+3y-4=0,求 4x · 8y 的值。 解：∵2x+3y-4=0 ∴2x+3y=4 ∴4x · 8y=(22)x ·(23)y =22x·23y=22x+3y=24=16 跟踪练习2. 考点一 幂的运算 1.零指数幂的法则： 任何不等于零的数的零次幂都等于1. 2.负整数指数幂的性质： 任何不等于零的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数. 考点二 零指数幂与负整数指数幂的运算 例3.计算： (1)(ab-2c-3)-3; (2)a5·a²÷a-6; (3)(-3a2b-2) -3.(-2a-3b4)-2; (4)-1-2025+(2024-π)0- +(-2)³。 解: (1)(ab-2c-3)-3 =a-3b6c9 (2)a5·a²÷a-6 =a7÷a-6 =a13 考点二 零指数幂与负整数指数幂的运算 (3)(-3a2b-2) -3.(-2a-3b4)-2 =（-3）-3（a-6b6) .(-2）-2（a6b-8) =-a-6b6 .a6b-8 =-a0b-2 =- (4)-1-2025+(2024-π)0- （- ）-2 +(-2)³ =-1+1--8 =-10 考点二 零指数幂与负整数指数幂的运算 1.单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.单项式乘以多项式的法则： 单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项， 再把所得的积相加。 3.多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 考点三 整式乘法与除法 考点三 整式乘法与除法 例3.（1）(-2a2)3 ·(-3a3)2 先做乘方，再做单项式乘法。还要注意符号 （2）先化简,再求值:(2a-3)(3a+1)-6a(a-4), 其中a=1 解: (2a-3)(3a+1)-6a(a-4) =6a2+2a-9a-3-6a2+24a =17a-3 当a=1时 原式=17×1=17 考点三 整式乘法与除法 考点三 整式乘法与除法 (1)至少需要多少平方米的木地板? (2)如果去年地砖的价格是m元/m2， 今年地砖的价格每平方米上涨了5元钱,那么李叔叔至少需要花多少钱买地砖? 例4.李叔叔刚购置一套新房，其结构如图,他打算将厨房和卫生间铺地砖，其余部分铺木地板,请你帮他解决下面的问题: (2)(3a²+7ab+2a+2b)(m+5) 考点三 整式乘法与除法 解: (1)（a+b)(a+2+2a)+ab+2b(2a+2) =（a+b)(3a+2)+ab+4ab+4b =3ab+2a+3ab+2b+ab+4ab+4b =(3a²+7ab+2a+2b)m2; =(abm+5ab+4bm+20b)元 答：需要(3a²+7ab+2a+2b)m2的木地板. 答：需要花(abm+5ab+4bm+20b)元买地砖。 1.平方差公式： 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. (a+b)(a−b)=a2−b2 相同的项为a，异号的项为b. 2.完全平方公式： 两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的二倍。 (a + b)2=a2+2ab+b2 (a－ b)2= a2-2ab+b2 考点四 乘法公式 考点四 乘法公式 例4计算: (1)2(3-5a)²-5(-7+3a)(3a+7); (2)2 024²-2 022×2 026; (3)(x-2y-1)²; (4)(a-b+c)(a+b-c)。 解: (1)2(3-5a)²-5(-7+3a)(3a+7) =2(9-30a+25a²）-5(25a²-49) =18-60a+50a²-125a²+245 =-60a-75a²+263 (2)2 024²-2 022×2 026 =2 024²-（2 024+2）×（2 024-2） =2 024²-（2 0242-4） =4 (3)(x-2y-1)² =(x-2y）2-2(x-2y）+1² =x2-4xy+4y2-2x+4y+1 考点四 乘法公式 (4)(a-b+c)(a+b-c) =﹝a-（b-c)﹞﹝(a+（b-c)﹞ =a2-（b-c）2 =a2-b2+2bc+2 考点四 乘法公式 跟踪练习 4.运用乘法公式计算: (1)(x+y)²-(x-y)2; (2)(x+y-2)(x-y+2); (3)79.8×80.2; (4)19.92。 考点四 乘法公式 例5 已知(x+y)2=18,(x-y)²=6，分别求下列代数式的值: (1)x2+y2; (2)x2+3xy+y2; （3）x4+y4 考点四 乘法公式 (3)x4+y4 解: ∵(x+y)2=18,(x-y)²=6 ∴x2+y2+2xy=18,x2+y2-2xy=6, ∴x2+y2=12,xy=3, (1）x2+y2=12 (2)x2+3xy+y2=12+3×3=21; =(x2+y2)2-2x2y2=122-2×32=126。 例6.若(x2-px+8)与(x2+3x+q)乘积中x3项的系数为2,常数项为 -16,求这两个多项式乘积的一次项系数。 因此，一次项系数为 -(pq-24)= -(1×-2-24)= 26。 解：将两个多项式相乘，得到: (x² - px + 8)(x² + 3x + q) = x4 +(3 -p)x³+(q - 3p+ 8)x²- (pq- 24)x + 8q 根据题意，x3项系数为2，即3-p=2，解得 p=1。 常数项为-16，即8q=-16，解得 q= -2。 考点五 整式乘法的混合 例7.先化简,再求值: 4(x+ y)2-7(x-y)(x+y)+3(x-y)2,其中 x=-2，y=1. 考点五 整式乘法的混合 解：4(x+ y)2-7(x-y)(x+y)+3(x-y)2 =4（x2+y2+2xy）-7（x2-y2）+3（x2+y2-2xy） =4x2+4y2+8xy-7x2+7y2+3x2+3y2-6xy =14y2+2xy 当x=-2，y=1时 原式=14×12+2×（-2)×1=10 课堂小结 你有什么收获？ $$