精品解析：河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ） A. 点G在AC上 B. C. D. 直线EB，GD交于点B 3. 已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体有6个面是正方形 B. 该几何体有8个面是正三角形 C. 该几何体恰有26条棱 D. 该几何体的表面积比原正方体的表面积小 7. 一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线与NM是异面直线 B. C. 平面 D. 直线CP，，AM相交于一点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C. D. 若，则的最大值为3 10. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 内切圆的半径为 B. 被挖掉的圆柱的侧面积为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 11. 奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 13. 若某圆锥的侧面积为，母线长是底面圆半径的倍，则该圆锥的体积是_________． 14. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 16. 已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． （1）当时，设，求的值； （2）若点与点为同一点，求的取值范围． 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，求的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． （1）求这两个球的半径之和． （2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 2. 如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ） A. 点G在AC上 B. C. D. 直线EB，GD交于点B 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 3. 已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】在方向上的投影向量是． 故选：B 4. 在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量数量积的运算律可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取AB的中点Q，， 因为，所以AB边上的高为，所以，从而． 故选：A 5. 如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体有6个面是正方形 B. 该几何体有8个面是正三角形 C. 该几何体恰有26条棱 D. 该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【答案】C 【解析】 【分析】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误， 【详解】对于A，B，因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形， 原来的六个表面还是正方形，所以A，B正确． 对于C，因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确． 对于D，不妨取正方体的棱长为2，截去的每个正三棱锥的侧面面积为， 而它的底面积是边长为的正三角形，其面积为， 即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确． 故选：C 7. 一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作正四棱台的中截面，即可得到各边长，然后结合棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长， 则． 因为，所以， 所以枯水时节的水量为． 故选：B 8. 如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线与NM是异面直线 B. C. 平面 D. 直线CP，，AM相交于一点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由异面直线判定定理可判断，对于B，由平行传递性可判断，对于C，由CM与不平行，可判断，对于D，连接，由，，可判断. 【详解】连接， 点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确． 连接，因为，所以，B正确． 平面，平面平面， 因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误． 连接，由，知共面，且平面平面， 如图1，因为，所以. 如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C. D. 若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【详解】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 10. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 内切圆的半径为 B. 被挖掉的圆柱的侧面积为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，正三角形，其内切圆半径可根据边长通过特定关系求得；对于B，圆柱的侧面积、体积有相应的计算公式；对于C，组合体的表面积是正三棱柱表面积减去两个圆面积再加上圆柱侧面积，对于D，体积是正三棱柱体积减去圆柱体积.分别计算各选项中涉及的量，然后判断选项的正确性. 【详解】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误. 对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确. 对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误. 对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确. 故选：BD. 11. 奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】把正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，利用两点间线段最短求得答案. 【详解】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，连接，如图， 四边形是矩形，且， 所以． 故答案为：5 13. 若某圆锥的侧面积为，母线长是底面圆半径的倍，则该圆锥的体积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式求出母线与底面圆的半径，再求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积. 【详解】设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，由，得， 又，所以， 则该圆锥的体积为． 故答案为：. 14. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，结合正弦定理代入计算可得，再由正弦定理的边角互化可得，由正弦型函数的值域即可得到结果. 【详解】由，得，解得． 因为，所以，所以． ， 所以． 因为，所以， 则，从而． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标表示以及平行关系和模长公式计算可得结果， （2）利用垂直关系的数量积表示计算解方程可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，又，， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 解得． 16. 已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． （1）当时，设，求的值； （2）若点与点为同一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出和的值，再代入的表达式算出，最后根据模的算法求. （2）从已知方程组消去得到关于和的式子.令，用表示，进而得到关于的二次函数.确定的取值范围，根据二次函数性质求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，. 可得. ，其中，可得： . 则. 可得. 【小问2详解】 因为点与点为同一点，所以. 化简可得，即. 将代入，可得. 令，根据辅助角公式可得，所以. 将两边平方可得，即. 则. 将看作关于的二次函数，其对称轴为，开口向上. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）化简结合余弦定理求解即可 （2）根据面积与正弦定理可得，结合可得，再根据三角关系可得，进而可得取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以. 又，所以，则. 又因为所以， 所以， 故，即的取值范围是. 18. 如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 如图1，连接． 因为分别是线段的中点， 所以． 又， 所以， 所以， 所以四点共面． （2）证明如下： 由（1）得． 因为平面，平面， 所以平面． （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明； （2）利用线面平行的判定定理即可证明； （3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，在线段上取一点，使得， 作，交于点，连接． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 因为，，所以， 因为，所以． 故在棱上存在一点，使得平面，且． 19. 如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． （1）求这两个球的半径之和． （2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）作出对角面及两球的截面，利用两球半径表示即可得解； （2）由面积公式及基本不等式的变形即可求出最值. 【小问1详解】 由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面，如图， 则． 设球的半径分别为r，R， 则． 由，解得． 【小问2详解】 设这两个球的表面积之和为S，则， 所以． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $