精品解析：2025年山西省吕梁市柳林县九年级学业水平监测（二）数学试卷

山西省2024—2025学年九年级学业水平质量监测（二） 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握正有理数0负有理数，两个负有理数绝对值大的反而小成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法求解即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得： ， ∴最小的数是． 故选A． 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 中国新能源车企在近几年发展非常迅速，下面四个新能源车企的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 4. 2025年3月15日，《古树名木保护条例》开始施行．最新数据显示，全国普查范围内的古树名木共计万株．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据用科学记数法表示较大的数时，中的范围是，是正整数，与原数的整数部分的位数的关系是，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：C． 5. 如图，在中，对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】解：在中，对角线，相交于点， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 6. 将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、对顶角相等、平行线的性质等知识点，掌握三角形内角和定理定理成为解题的关键． 如图：由三角内角和定理以及对顶角相等可得，同理可得，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：当时，， 随x的增大而减小， 则，解得． 故选：D ． 【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号． 8. 关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法，先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： 故选：C． 9. 如图，小明珍藏了四枚由中国邮政发行的《数学之美》特种邮票，邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮从中随机抽取两枚，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“欧拉公式”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来，由概率公式求解即可． 【详解】解：设“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”的图案分别为、、、，小亮抽到的邮票的所以情况见下表： 共有种结果，抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“欧拉公式”的结果有2种，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“欧拉公式”的概率是． 故选：B． 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的边为直径画，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形基本性质，扇形的面积，求不规则图形的面积，能够正确做出辅助线是解题关键； 如图，连接，过点作于点，先算出扇形，的面积，再用的面积减去即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形，以的边为直径画， ∴，，，, ， ∴都是边长为1的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得-x≥0，再解不等式即可． 解答 【详解】由题意得：-x⩾0， 解得：， 故答案为. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 12. 如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为，则魁星楼的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据县衙和城隍庙的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则魁星楼的坐标为， 故答案为：． 13. 2025年春节档中国电影市场创下历史新高，某热门影片首日票房达3亿元．由于口碑持续发酵，后续每日票房按相同增长率攀升，上映三天后累计票房达到10亿元．若把增长率记作，则可列方程：________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键．求出第二天和第三天的票房，根据三天后累计票房达到10亿元列方程即可． 【详解】解：某地第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为x， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 依题意得： 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识．利用勾股定理求得菱形的边长，再利用菱形的面积公式：，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：作延长线于G，易得，则；设，则，根据勾股定理可得，即、；根据等角对等边可得；设，则，再根据勾股定理可得，即；由，即，设，则，，证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，即；然后再根据正弦的定义求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：作延长线于G， ∵是边上的高，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∵，即，解得：（舍弃负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即，解得：（经检验不是增根）， ∴， ∵在中，， ∴在中，，即，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简绝对值、立方根、零指数幂，再算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入可求得a值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式． （2）先求出点，然后根据解答即可． 【小问1详解】 将点代入， 得， 点． 将点代入， 得， 该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 点， ， ． 18. 某市出租车公司积极响应节能减排号召，决定采购国内著名车企的两款新能源电动汽车．已知每辆A款新能源电动汽车的进价为18万元，每辆B款新能源电动汽车的进价为10万元，该公司决定用不多于1600万元购进A，B两款新能源电动汽车共120辆，最多可以购买多少辆A款新能源电动汽车？ 【答案】最多可以购买辆A款新能源电动汽车． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出一元一次不等式．设购进辆A款新能源电动汽车，则购进辆A款新能源电动汽车，公司决定用不多于1600万元购进A，B两款新能源电动汽车共120辆，据此列不等式并解不等式即可． 【详解】解：设购进辆A款新能源电动汽车，则购进辆A款新能源电动汽车， 由题意得：， 解得：， 答：最多可以购买辆A款新能源电动汽车． 19. 2024年11月20日，教育部印发《教育部办公厅关于加强中小学人工智能教育的通知》，通知要求通过构建系统化的课程体系，让中小学生感知和体验人工智能技术，要在日常教学中持续融入人工智能教育元素．某校为了解八年级学生对人工智能技术的掌握情况，从八年级500名学生中随机抽取部分学生进行人工智能技术的应用测试．依据评价标准给出相应的成绩，并将他们所取得的成绩分组（满分：100分，：；：；：；：；：）、整理，部分等级信息如下． 在：这一组的成绩是70，70，70，71，71，72，73，74，74，75，77，78，79，79． 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图．（图形上标上数字） （2）本次调查数据的中位数为______． （3）通过这次测试后的成绩分析，认为80分以上（包含80分）的学生为优秀，请你通过计算估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下． （2）70.5 （3）140人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图恶化扇形统计图综合，中位数，以及用样本估计总体． （1）先根据B的人数和B的百分比求出样本容量，再求出C的人数，然后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用500乘以A，B两组人数所占的比例即可． 【小问1详解】 人， 由题意可知，C组有14人， E组有：人； 【小问2详解】 ∵从大到小排序，排在第25和第26位的是71和70， ∴中位数为． 故答案为：70.5； 【小问3详解】 （人）． 答：估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有140人． 20. 为提升商户服务品质，优化顾客休闲体验，如图1，这是某咖啡馆于店外露天区域修建的遮阳休憩区．图2是其侧面示意图．遮阳棚的长为6米，从点A看到棚顶顶点B的仰角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，，过点A作于H，于G，则四边形是矩形，可得，解，可求出的长，进而可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，于G，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴． 答：凉荫处的长为． 21. 阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： （1）填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． （3）如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【答案】（1）=，= （2） 解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）如图：即为所求； 【解析】 【分析】1）根据测量结果以及四边形的内角和解答即可； （2）图4：点C在圆的内部时，如图：连接，然后三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合四边形内角和为即可解答；图5：点C在圆的外部时，同理可解； （3）如图：连接，作、的垂直平分线，其交点O为圆心，然后画出圆即可完成作图；先说明，再说明A、B、C、D四点在上，再根据同圆中等弧所对的圆周角相等即可解答． 【小问1详解】 解：经测量：； ∵， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A，B，D三点在上， ∴A，B，C、D四点在上， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、圆的内接四边形、三角形外角的性质、圆周角定理、外接圆的作法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 22. 综合与实践 如图1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线．如图2，这是以水平地面为轴，以安装主喷头的竖直水管为轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面米的点处．当水的压力最大时，某一水流抛物线经过点，点距安装主喷头的水管的水平距离是米，距水平地面2米． （1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式． （2）在离此水流落地点1米外的点处，以点为圆心，的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长．（结果保留π） （3）在（2）的条件下，为了美观，在高为米的安全围栏上的点处安装射灯，射灯射出的光线EF与地面成角，直接写出光线与此抛物线水流之间的最小距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，此水流抛物线经过点，，然后利用待定系数法即可求得答案； （2）根据（1）中所求函数表达式，令可求得点坐标，进而得到的长度，即可计算圆的周长； （3）作直线的平行线，使其与抛物线相切，交轴于点，设直线的解析式为，根据直线与抛物线相切，利用求得值得到直线的解析式，然后求得点的坐标，由（2）可知，点与点重合，作于点，则，最后根据解直角三角形即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，此水流抛物线经过点，， ， ，， 此水流轨迹的抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知， 当时，， 解得，（不合题意，舍去） 点的坐标为，即（米）， 此水流落地点C1米外的点D处， （米）, 点为圆心，的长为半径做一个圆形安全围栏， 该圆形安全围栏的周长为（米） 【小问3详解】 解：作直线的平行线，使其与抛物线相切，交轴于点，如图所示， 光线EF与地面成角，， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 该方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， , 由（2）可知，， 点与点重合， 作于点，如上图所示，则， 光线EF与地面成角， ， ， ， 即光线与此抛物线水流之间的最小距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法二次函数解析式和一次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 【答案】（1）①是等边三角形，理由如下： ∵矩形，，，沿折叠，点C的对应点为H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②，理由如下： 由①得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示： 由①得是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 由①得，， 同理得：， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】题目主要考查矩形与折叠，解三角形，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据矩形及折叠的性质得出，再由各边长及三角函数得出，确定，得出，再由等边三角形的判定即可证明； ②由①得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，确定，连接，再利用菱形的判定和性质得出四边形为菱形，，结合等边三角形的判定和性质证明即可； （2）过点H作，根据折叠的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）过点H作，如图所示： ∵矩形，，，折叠， ∴， ∴， 根据题意得四边形为矩形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年九年级学业水平质量监测（二） 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国新能源车企在近几年发展非常迅速，下面四个新能源车企的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年3月15日，《古树名木保护条例》开始施行．最新数据显示，全国普查范围内的古树名木共计万株．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明珍藏了四枚由中国邮政发行的《数学之美》特种邮票，邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮从中随机抽取两枚，则小亮抽到的两枚邮票恰好是“圆周率”和“欧拉公式”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的边为直径画，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为，则魁星楼的坐标为________． 13. 2025年春节档中国电影市场创下历史新高，某热门影片首日票房达3亿元．由于口碑持续发酵，后续每日票房按相同增长率攀升，上映三天后累计票房达到10亿元．若把增长率记作，则可列方程：________________． 14. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是________． 15. 如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． 18. 某市出租车公司积极响应节能减排号召，决定采购国内著名车企的两款新能源电动汽车．已知每辆A款新能源电动汽车的进价为18万元，每辆B款新能源电动汽车的进价为10万元，该公司决定用不多于1600万元购进A，B两款新能源电动汽车共120辆，最多可以购买多少辆A款新能源电动汽车？ 19. 2024年11月20日，教育部印发《教育部办公厅关于加强中小学人工智能教育的通知》，通知要求通过构建系统化的课程体系，让中小学生感知和体验人工智能技术，要在日常教学中持续融入人工智能教育元素．某校为了解八年级学生对人工智能技术的掌握情况，从八年级500名学生中随机抽取部分学生进行人工智能技术的应用测试．依据评价标准给出相应的成绩，并将他们所取得的成绩分组（满分：100分，：；：；：；：；：）、整理，部分等级信息如下． 在：这一组的成绩是70，70，70，71，71，72，73，74，74，75，77，78，79，79． 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图．（图形上标上数字） （2）本次调查数据的中位数为______． （3）通过这次测试后的成绩分析，认为80分以上（包含80分）的学生为优秀，请你通过计算估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有多少人？ 20. 为提升商户服务品质，优化顾客休闲体验，如图1，这是某咖啡馆于店外露天区域修建的遮阳休憩区．图2是其侧面示意图．遮阳棚的长为6米，从点A看到棚顶顶点B的仰角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 21. 阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： （1）填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． （3）如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 22. 综合与实践 如图1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线．如图2，这是以水平地面为轴，以安装主喷头的竖直水管为轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面米的点处．当水的压力最大时，某一水流抛物线经过点，点距安装主喷头的水管的水平距离是米，距水平地面2米． （1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式． （2）在离此水流落地点1米外的点处，以点为圆心，的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长．（结果保留π） （3）在（2）的条件下，为了美观，在高为米的安全围栏上的点处安装射灯，射灯射出的光线EF与地面成角，直接写出光线与此抛物线水流之间的最小距离． 23. 综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $