精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期期中考试数学试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 2. 已知球的体积为cm3，则球的表面积为__________ cm2． 【答案】 【解析】 【分析】利用球的体积公式计算半径，再利用表面积公式计算. 【详解】设球的半径为， 则由题意知，得， 则球的表面积为cm2． 故答案为： 3. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2. 4. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________. 【答案】90 【解析】 【分析】根据第60百分位数的计算方法求解即可. 【详解】将该组数据从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121， 由8×0.6=4.8，故该组数据的第60百分位数为第5个数，即90. 故答案为：90. 5. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 【答案】36 【解析】 【分析】先从4名老师中选2名作为一组 ，将这三组对应三个学生家进行全排列，根据分步乘法计数原理，安排方式共有种. 【详解】某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1，1，2；不同的安排方式有：（种）． 故答案为：36 6. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合为纯虚数，得到，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 因为复数为纯虚数，所以且不等于零，可得． 故答案为：. 7. 甲乙两个样本的茎叶图如图所示，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前提高，则这个数据可以是______．（填写满足要求的一个数据） 【答案】76##77##78 【解析】 【分析】计算出数据调整前甲组和乙组的数据之和以及平均数，设甲中的一个数据调入乙的数据为，根据已知条件可得出关于的不等式组，求出的取值范围即可得解. 【详解】数据调整前，甲组的数据之和为，平均数为， 乙组的数据之和为，平均数为. 设甲中的一个数据调入乙的数据为，由已知条件可得，解得. 故答案为：76（或77，78均可）. 8. 在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 10. 如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 11. 在平面中，非零向量满足，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，即可得到点在以、为焦点的双曲线上（一支），且为边长为6的等边三角形，以所在的轴为轴，以的垂直平分线为轴建立如图所示平画直角坐标系，求出双曲线方程，再由向量模的坐标公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】设，， 因为，， 则，， 所以点在以、为焦点的双曲线上（一支），且为边长为6的等边三角形， 以所在的轴为轴，以的垂直平分线为轴建立如图所示平画直角坐标系， 则， 设双曲线方程为， 所以， 所以点的轨迹方程为， 所以 ， 当时，取到最小值． 故答案为： 12. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为__________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，由，可得，求得，，进而得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 即为， 可得的导数为， 则， 由，可得， ， ， 则 ，当且仅当时，取得等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】因为该题未被攻克的概率为，所以该题被攻克的概率为. 故选：B 14. 已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：代入，得到方程组，求出，得到，求出所在象限； 方法二：求出的解，从而得到，求出，得到，求出所在象限. 【详解】方法一：依题意，， 故，解得， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限； 方法二：易知方程的解为，则， 即，解得， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 15. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解； 【详解】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 16. 无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为严格减数列 B. 任意正整数，使得 C. 数列中存在某一项为最大项 D. 存在正整数，使得 【答案】D 【解析】 【分析】由条件变形得出，再构造函数，，通过导函数研究其单调性即可得出，可判断A选项；C由数列的增减性可判断；利用的单调性可得，可判断BD选项. 【详解】因为，则，， 则， 设函数， 则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 因为，所以 以此类推，， 则，故，因此， 则数列严格递增，故A错误； 因数列严格递增，因此无最大值，故C错误； 因，且在单调递增， 则， ， 所以存在正整数，使得，且，故D正确，B错误. 故选：D． 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接. ∵且，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴，， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用平行四边形和矩形的性质可得，根据线线平行可得线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴， ∵四边形是矩形，∴， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴，，. 设平面一个法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面夹角的正弦值为. 18. 已知平面向量，函数. （1）求的单调增区间； （2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积运算和三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性可求得答案； （2）由（1）求得，再由正弦定理进行边角互换，表示三角形的周长，由正弦函数的性质可求得范围. 【小问1详解】 解： ， 令，得：， ∴的单调递增区间为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，那么，可得：， ∵，根据正弦定理得， 那么的周长 ， ∵是锐角三角形，∴，则， 则， 那么周长， 19. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】（1）x=15cm （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可； （2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可． 设包装盒的高为，底面边长为 由已知得 （1）∵ ∴当时，取得最大值 （2）根据题意有 ∴． 由得，(舍)或． ∴当时；当时 ∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为 即包装盒的高与底面边长的比值为． 考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质． 20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； （3）求椭圆的内接菱形边长的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：设，， 联立直线与椭圆方程 整理得， ， 解得：， ，，则，所以． 显然点在直线上，得证． （3） 【解析】 【分析】(1)由椭圆的基础知识即可求出，，的值可写出椭圆的标准方程. (2)先设出，两点坐标，再把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元，写出根与系数的关系然后写出的坐标即可证明在定直线上. (3)先分析出菱形中心在坐标原点再用斜截式设出菱形一条边所在直线方程，联立方程组，消元写出根与系数的关系继续根据菱形的对角线相互垂直写出两参数的关系式，继续用两参数写出弦长公式结合基本不等式求出最值. 【小问1详解】 因为焦距为，所以，所以，又因为所以 所以，又因为所以 又因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，菱形的中心在坐标原点，且有， 菱形不论怎样运动，直线和总有一条斜率存在，不妨设直线的斜率存在且直线方程为，，， 联立得，，， ， 由于，于是， 即，， 化简整理得：， 从而，． 即， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上，，因此，菱形边长的最大值为． 21. 已知函数． （1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式； （2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； （3）当时，方程在区间上恰有1个解，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，由不等式，转化为得 恒成立，即，得到恒成立，求得数对组成的集合； （3）根据题意，仅考虑的情形，设，由0是函数的一个零点，可分，，和，四种情况讨论，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由， 可得，即， 又因为，所以， 所以，即， 整理得恒成立，所以，解， 所以符合要求的数对组成的集合为． 【小问3详解】 解：若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形， 设，显然，0是函数的一个零点， 若，不符合题意，舍去； 若，则由，且， 因此在中另有一根，矛盾； 若，则由， 因此在中另有一根，矛盾； 从而，以下证明，对任意符合题意， 当时，由图象在连接两点的线段的上方， 可得，即， 当时，，即， 当时，，则， 因此有且仅有一个解， 即在满足题意， 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期期中考试数学试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，则__________. 2. 已知球的体积为cm3，则球的表面积为__________ cm2． 3. 已知，则__________. 4. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________. 5. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 6. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________． 7. 甲乙两个样本的茎叶图如图所示，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前提高，则这个数据可以是______．（填写满足要求的一个数据） 8. 在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 10. 如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 11. 在平面中，非零向量满足，，则的最小值为__________． 12. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为__________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度） A. B. C. D. 16. 无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为严格减数列 B. 任意正整数，使得 C. 数列中存在某一项为最大项 D. 存在正整数，使得 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知六面体的底面是矩形，，，且. （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值. 18. 已知平面向量，函数. （1）求的单调增区间； （2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，求周长的取值范围. 19. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； （3）求椭圆的内接菱形边长的最大值． 21. 已知函数． （1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式； （2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； （3）当时，方程在区间上恰有1个解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $