精品解析：河北省卓越联盟2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

卓越联盟2024-2025学年高二第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在称答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册6.1至7.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法为. 故选：B 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由排列数公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以或（舍去）． 故选：B. 3. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义，将代入即可得答案. 【详解】因为，所以，所以． 所以函数的图象在点处的切线的斜率为. 故选：C. 4. 若随机变量的分布列为 0 1 2 P 0.3 0.2 0.5 则（ ） A. 1.2 B. 1.44 C. 0.92 D. 0.76 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列利用期望、方差公式计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D. 5. 已知函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为方程有两个不同的根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数有极值，可得方程有两个不同的根， 由，解得，所以实数的取值范围为． 故选：A. 6. 某一时期某影院对影片M排片的概率为，对影片N排片的概率为，同时对两部影片排片的概率为，则该影院在没有对影片N排片的条件下，对影片M排片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再结合条件概率公式求解即可. 【详解】设该影院对影片M排片为事件，对影片N排片为事件， 则，，，， 又， 所以， 所以． 故选：D. 7. 在清明小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班，每天需要2个人值班，同一人不连续值班，则不同的安排方法种数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可. 【详解】第1天有种排法，第2天有种排法，第3天有种排法， 所以不同的安排方法有种． 故选：B. 8. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式和二项分布概率公式来分析求解，最后由二项分布公式可求出期望值即可. 【详解】小球从最上层3个缝隙中落下的概率都相等，往后每一层左、右两边落下的概率相同， 当小球从最上层左边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有2步向右，其它3步向左，共有种可能性； 当小球从最上层中间缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有1步向右，其它4步向左，共有种可能性； 当小球从最上层右边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中5步都向左，共有种可能性； 所以小球落入③号槽的概率． 因为30个小球落入③号槽的个数， 所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若只有最大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，得到，可判定A错误；分别令和，可得判定B、C正确，再由，可判定D正确. 【详解】因为只有最大，根据二项展开式的性质，可得，所以A错误； 则 令，可得，所以B正确； 令，可得， 因为，所以，所以C正确； 因为，所以D正确． 故选：BCD. 10. 已知函数有两个零点，则的取值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解最值，根据最小值即可求解. 【详解】因为有两个零点，所以关于的方程有两个不同的根，且函数的定义域为． ， 当故在上单调递减，在上单调递增． 因此的最小值为，且当时，，当时，，所以，，即的取值范围为．因为，所以．故可取3,4,5, 故选：BCD 11. 甲、乙两人竞争某公司同一个岗位，公司设计了一个面试方案：公司准备了4个问题，先从这4个问题中随机选取3个问题让甲、乙分别作答，回答正确个数多的一方获胜，若回答正确的个数相同，则甲、乙对剩下1个问题进行抢答，抢到问题并回答正确的一方获胜，否则对方获胜．已知甲在4个问题中有3个问题能回答正确，乙每个问题回答正确的概率都是，抢答环节两人抢到问题是等可能的，且两人每个问题（ ） A. 只回答完前3个问题，甲获胜的概率为 B. 只回答完前3个问题，乙获胜的概率为 C. 进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为 D. 进入抢答环节且甲获胜的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】记前3个问题甲、乙回答正确的个数分别为X，Y，甲抢到问题为事件，甲回答正确为事件，乙抢到问题为事件，乙回答正确为事件，分别求出，，，，，求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【详解】记前3个问题甲、乙回答正确的个数分别为X，Y，甲抢到问题为事件，甲回答正确为事件，乙抢到问题为事件，乙回答正确为事件， 则，，，，． 对于A，只回答完前3个问题，甲获胜的概率为，A正确； 对于B，只回答完前3个问题，乙获胜的概率为，B错误； 对于C，进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为，C正确； 对于， ， ， 所以进入抢答环节且甲获胜的概率为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件A，B满足，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，求得，结合，即可求解. 【详解】由条件概率的计算公式，可得， 所以． 故答案为：. 13. 定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据题意，得到，得到在上单调递减，把转化为，结合函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为，可得，所以在上单调递减， 不等式等价于，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故答案为：． 14. 某互联网公司开发了一个新的在线游戏，玩家每通过一道关卡后，有概率获得一件稀有装备．已知玩家每次通过关卡独立获得稀有装备的概率为，玩家甲计划挑战30道关卡，设玩家甲获得稀有装备的件数为，则当取得最大值时，的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意知，，则，利用独立重复性实验的概率的求法计算出对应的概率代入解不等式即可. 【详解】易知，则 所以，解得， 因为，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 【答案】（1）720 （2）36 （3）630 【解析】 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）（3）根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【小问1详解】 将3个女生看作一个整体与另外4名男生全排列，则有种方法， 【小问2详解】 第一步：从4名男生中选2个人双打有，第二步：从3名女生中选择2个人双打有，第三步：从剩下的2男中选择1个与剩下的1名女生组成混双有种，故总的方法有， 【小问3详解】 若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，则总的安排方法有 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响． （1）求四局比赛结束的概率； （2）记比赛结束时甲胜的局数为X，求X的分布列与期望； （3）在第一局甲负的条件下，试判断乙赢得比赛的概率是否超过 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 期望为 （3）不超过 【解析】 【分析】（1）四局比赛结束分为两类：一类是甲第四局胜，前三局中两胜一负，另一类是乙第四局胜，前三局中两胜一负，分别求解计算即可. （2）依题意知所有的可能取值为0，1，2，3，分别求出各自对应的概率可得分布列及期望. （3）依题意知，第一局乙胜，则乙赢得比赛分为三类：第一类是第二局、第三局乙胜；第二类是第四局乙胜，第二、三局中一胜一负；第三类是第五局乙胜，第二、三、四局中一胜两负，分别求解计算即可. 【小问1详解】 四局比赛结束，甲胜的概率， 乙胜的概率， 所以四局比赛结束的概率为． 【小问2详解】 所有的可能取值为0，1，2，3． ；； ； ． 的分布列为 0 1 2 3 故． 【小问3详解】 在第一局甲负的条件下，乙胜的概率，所以在第一局甲负的条件下，乙赢得比赛的概率不超过． 17. 某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项． （1）已知家长甲决定选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙决定选择排球，其余四天任选两项．求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率． （2）若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 ；期望为【解析】 【分析】（1）利用古典概型公式分别计算两个独立事件概率和对立事件概率，然后再用乘法原理即可； （2）先利用古典概型求出每位家长选中跳绳的概率，再利用二项分布概率公式来求分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 设事件表示“家长甲选轮滑”，事件表示“家长乙选轮滑”， 则，． 因为事件，B相互独立， 所以家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率为． 【小问2详解】 每人选择跳绳的概率． 所有的可能取值为 ；； ；； ． 的分布列为 0 1 2 3 4 因为，所以． 18. 若存在和，使得，且，则称是函数． （1）已知函数，判断是否为函数． （2）已知函数，且关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围； ②证明：是函数． 【答案】（1）是函数 （2）① ； ②证明如下： 设，且，则，解得（，否则方程不成立）， 则要证是函数，即证，即证，化简得， 令，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 又因为，所以，所以，得证，即是函数． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得出的单调性，先判断只有一个实数解，结合，，由零点的存在性定理，得到，进而得到，即可得到结论； （2）（ⅰ）由，得到，令，求得，当时，得到在上递减，不符合题意；当时，求得单调性，要使有两个零点，满足，即可求解； （ⅱ）设且，求得，令，求得，得到的单调性，得出，进而得到，即可得到证. 【小问1详解】 由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又由时，，所以只有一个实数解，记为， 因为，，所以， 所以，故是函数． 【小问2详解】 ①由函数，因为，可得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 此时至多有一个零点，不符合题意，舍去． 当时，令，可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当时，，当时，， 故要使有两个零点，则需要， 解得，所以的取值范围为． ②略 19. 某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 （1）顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． （2）顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． （3）若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 【答案】（1） 选择方案一，设一次抽奖的中奖金额为，． 选择方案二，设一次抽奖的中奖金额为，． 故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方案一运用超几何分布，方案二运用概率乘法公式，分别写出各自概率并计算其期望比较即可. （2）运用期望公式计算即可. （3）设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，即前个顾客每次都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，此时将黑球替换该红球放回后，小盒里是5个黑球1个红球，此时又个顾客都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，至此红球取完.计算第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和即可. 【小问1详解】 选择方案一，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 选择方案二，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 故． 【小问2详解】 因为顾客甲消费了1500元，所以他有3次抽奖机会． 因为他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为， 所以他抽奖获得的奖金总额的期望为． 【小问3详解】 设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，则， 则第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和， 即， 利用等比数列求和公式可得 所以第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越联盟2024-2025学年高二第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在称答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册6.1至7.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量的分布列为 0 1 2 P 0.3 0.2 0.5 则（ ） A. 1.2 B. 1.44 C. 0.92 D. 0.76 5. 已知函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某一时期某影院对影片M排片的概率为，对影片N排片的概率为，同时对两部影片排片的概率为，则该影院在没有对影片N排片的条件下，对影片M排片的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在清明小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班，每天需要2个人值班，同一人不连续值班，则不同的安排方法种数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 8. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若只有最大，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个零点，则的取值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 甲、乙两人竞争某公司同一个岗位，公司设计了一个面试方案：公司准备了4个问题，先从这4个问题中随机选取3个问题让甲、乙分别作答，回答正确个数多的一方获胜，若回答正确的个数相同，则甲、乙对剩下1个问题进行抢答，抢到问题并回答正确的一方获胜，否则对方获胜．已知甲在4个问题中有3个问题能回答正确，乙每个问题回答正确的概率都是，抢答环节两人抢到问题是等可能的，且两人每个问题（ ） A. 只回答完前3个问题，甲获胜的概率为 B. 只回答完前3个问题，乙获胜的概率为 C. 进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为 D. 进入抢答环节且甲获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件A，B满足，，则__________ 13. 定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为__________． 14. 某互联网公司开发了一个新的在线游戏，玩家每通过一道关卡后，有概率获得一件稀有装备．已知玩家每次通过关卡独立获得稀有装备的概率为，玩家甲计划挑战30道关卡，设玩家甲获得稀有装备的件数为，则当取得最大值时，的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响． （1）求四局比赛结束的概率； （2）记比赛结束时甲胜的局数为X，求X的分布列与期望； （3）在第一局甲负的条件下，试判断乙赢得比赛的概率是否超过 17. 某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项． （1）已知家长甲决定选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙决定选择排球，其余四天任选两项．求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率． （2）若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的分布列和数学期望． 18. 若存在和，使得，且，则称是函数． （1）已知函数，判断是否为函数． （2）已知函数，且关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围； ②证明：是函数． 19. 某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 （1）顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． （2）顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． （3）若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $