专题15 用三种方式表示变量之间的关系的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题15 用三种方式表示变量之间的关系的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、用表格表示的变量间关系 2 类型二、用关系式表示变量之间的关系 4 类型三、用图象表示变量之间的关系 7 压轴能力测评（15题） 10 解题知识必备 1. 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 2. 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2. 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 压轴题型讲练 类型一、用表格表示的变量间关系 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【答案】(1)时间，水位，时间，水位 (2) (3)， 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键． （1）根据表格即可直接得出答案； （2）根据表格即可直接得出答案； （3）根据表格找出水位上升最快的时段即可． 【详解】（1）解：由表可知： 上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位， 故答案为：时间，水位，时间，水位； （2）解：由表可以看出： 时，水位是， 故答案为：； （3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，至水位上升最快， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则，解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】(1)反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系 (2)当提出概念所用时间为时，学生的接受能力最强 (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中时，y的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据即可求解． 【详解】（1）解：反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系． （2）解：当时，y的值最大是59.9， 答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （3）解：由表中数据可知：当时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 类型二、用关系式表示变量之间的关系 例题：（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … (1)当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； (2)当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； (3)研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【答案】(1)成正比例关系， (2)成反比例关系， (3)此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查正、反比例关系及变量之间的关系．易错点是根据表格中的数据判断出在自变量相应的取值范围内y与x成什么比例关系． （1）当时，y随x的增大而均匀增大可得y与x成正比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得k的值，即可得到y与x的关系式； （2）当时，y与x的积是一定的，那么y与x成反比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得a的值，即可得到y与x的关系式； （3）取代入（1），（2）得到的关系式，求得x的值，可得此次消毒的有效时间范围． 【详解】（1）解：当时，y与x成正比例，设， ∵当时， ∴， 解得：， ∴y和x的关系式为：； （2）解：当时，y与x成反比例关系，设， ∵当时， ∴， ∴y和x的关系式为：； （3）解：当时，， 解得：； ， 解得：． 答：此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 2．（24-25八年级上·广东河源·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 类型三、用图象表示变量之间的关系 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 【答案】(1)、、 (2)3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低 (3)时间和温度 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量与常量、用图象表示变量之间的关系，解题的关键是： （1）根据图象即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）根据图象即可解答． 【详解】（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、； （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）解：变量是时间和温度． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______； (2)琳琳邮寄物品用了______； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 【答案】(1)2.5 (2)10 (3) 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中准确获取信息是解答的关键． （1）直接从图象中获取答案即可； （2）直接从图象中获取答案即可； （3）直接从图象结合路程、时间、速度关系计算可得答案． 【详解】（1）解：由所给图象可知，超市离琳琳家． 故答案为：． （2）解：由题意，， 琳琳在邮局停留了，即琳琳邮寄物品用了． 故答案为：． （3）解：由图象可得，邮局离琳琳家距离为，琳琳走的时间为：，， 答：琳琳从邮局走回家的速度是． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（单位：m）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图②所示． 根据图中的信息，回答下列问题： (1)根据图②补全表格； 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 5 5 … (2)根据图象，求出摩天轮的直径． 【答案】(1)70，54 (2) 【知识点】用表格表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象和表格表示两个变量的关系，理解题意，从图象中准确获取信息是解答的关键． （1）从图象中得到当时，，当时，，进而补全表格即可； （2）直接从图象中得到最高和最低高度，即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，当时，，当时，， 故补全表格为： 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 70 5 54 5 … 故答案为：70  54； （2）解：由图可知，摩天轮最高，最低， ∴摩天轮的直径为． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了变量，常量， 根据半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变，即可得出答案． 【详解】解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变， 所以R,C是变量，2，是常量． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，掌握长方形的周长计算公式是解题的关键． 根据长方形的周长公式得到x与y的数量关系式，再把y用含x的代数式表示出来即可． 【详解】解：根据长方形的周长公式，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． E． 【答案】B 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 二、填空题 5．（2025七年级下·全国·专题练习）节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 每立方米水的价格 每月的用水量，支付的水费 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查常量和变量，熟记常量和变量的定义是解题的关键．根据常量和变量的定义，即可作答． 【详解】解：常量：每立方米水的价格， 变量：每月的用水量、支付的水费． 故答案为：每立方米水的价格；每月的用水量、支付的水费． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某地用电量与应缴电费之间的关系如下表所示，若应缴电费为2.75元，则用电量为 度． 用电量/度 1 2 3 4 … 应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 … 【答案】5 【知识点】列代数式、用表格表示变量间的关系、数字类规律探索 【分析】本题考查了数据的观察与分析能力，正确的识别规律建立方程是解答本题的关键．观察表格数据，找出用电量与应缴电费之间的规律：通过观察发现用电量每增加1度，电费增加了0.55元，这意味着电费和用电量之间存在一定变化规律，根据这规律列出方程，再把应缴电费为2.75元代入求解即可． 【详解】解：设用电量为x度，应缴电费为y元，根据题意， ， 把代入上式， 解这个方程得，， 故答案为：5． 7．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧6厘米，燃烧时剩下的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）的关系式可以表示为 ． 【答案】/ 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，用燃烧前蜡烛的长减去燃烧的蜡烛长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 三、解答题 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 【答案】(1)海拔高度h，气温t (2) (3)气温是 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中进行计算、解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t． 故答案为：海拔高度h，气温t； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：， 故答案为：； （3）解：由题意得，当时， ， 答：气温是； 10．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 【答案】(1)时间，速度 (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； (3)估计经过，飞机的速度变为． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】此题考查了自变量和因变量、用表格表示变量间的关系、一元一次方程的应用． （1）根据题意得到一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化，即可得到答案； （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，即可得到答案； （3）设估计经过x，飞机的速度变为，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，据此列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化， ∴在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度； 故答案为：时间，速度 （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； （3）设估计经过x，飞机的速度变为， 则， 解得， 即估计经过，飞机的速度变为 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系、函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【答案】(1)， (2)千米/小时 (3)小时或小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象的应用，熟练掌握两人单线型行程问题的图象中的各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． （1）先得出两地相距千米，根据时的实际意义可得普通列车共需时间，由速度路程时间可得答案； （3）设动车的速度为千米/小时，根据“动车小时行驶的路程普通列车小时行驶的路程”列方程求解可得； （4）分两种情况：①相遇前；②相遇后进行讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由时，， 则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时）， 故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时， 根据题意，得：， 解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时）， ∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米， 由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距， 即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时）， ∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 13．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温 (2) (3)1372m 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)，； 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了观察表格从中获取信息，用描点法画函数图象，从函数图象中获取信息等知识点，弄懂题意，理解纵轴和横轴表示的意义，并能用数形结合的方法从中得到所需信息是解题的关键． （1）不使用营养素，即时，的值； （2）描点，连线即可； （3）看的最高点对应的的值即为该种幼苗生长速度最快时所需要的营养素用量的毫克数，看此时的值即为温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快多少毫米天；看、同时时，所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：由表格可知： 当不使用营养素，即时，对应的值为， 即此时该种幼苗的生长速度为毫米天， 故答案为：； （2）解：描点，用平滑的曲线连接，得到的函数图象如下： （3）解：在温度下，直线与的交点为的最高点，此时该种幼苗生长速度最快，其所对应的营养素用量约为毫克；此时，直线与的交点比直线与的交点高约，表明温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快毫米天， 故答案为：，； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，图象为直线及直线以上的部分，此时对应的自变量的取值范围为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、行程问题(一次函数的实际应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 用三种方式表示变量之间的关系的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、用表格表示的变量间关系 2 类型二、用关系式表示变量之间的关系 4 类型三、用图象表示变量之间的关系 7 压轴能力测评（15题） 10 解题知识必备 1. 用表格表示的变量间关系 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示 变量之间关系的方法叫做表格法． 观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。 2. 用关系式表示变量之间的关系 表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2. 用图象表示变量之间的关系 图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 压轴题型讲练 类型一、用表格表示的变量间关系 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； (2)时，水位是_____________m； (3)_____________h至_____________h水位上升最快． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 类型二、用关系式表示变量之间的关系 例题：（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … (1)当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； (2)当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； (3)研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 2．（24-25八年级上·广东河源·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 类型三、用图象表示变量之间的关系 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______； (2)琳琳邮寄物品用了______； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（单位：m）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图②所示． 根据图中的信息，回答下列问题： (1)根据图②补全表格； 旋转时间x/ 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 5 5 … (2)根据图象，求出摩天轮的直径． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北沧州·期中）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． E． 二、填空题 5．（2025七年级下·全国·专题练习）节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 ，变量是 ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某地用电量与应缴电费之间的关系如下表所示，若应缴电费为2.75元，则用电量为 度． 用电量/度 1 2 3 4 … 应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 … 7．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧6厘米，燃烧时剩下的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）的关系式可以表示为 ． 8．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 三、解答题 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 10．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 13．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 15．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$