专题11 轴对称及其性质的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题11 轴对称及其性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 1 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、台球桌面上的对称轴问题 9 类型四、轴对称中的光线反射问题 11 类型五、轴对称中的折叠问题 14 压轴能力测评（16题） 21 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 2．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接交于，根据轴对称的性质得出，，，即可判断A，从而得出垂直平分，即可判断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，   ，和关于直线对称， ，，，故A正确，不符合题意； 垂直平分，故B正确，不符合题意； 点为直线上一点， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中： ①； ②； ③l垂直平分； ④直线和的交点不一定在l上， 正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】对于①，由轴对称的性质可知，关于某条直线对称的两个图形全等，即可判断正误;对于②，由轴对称的性质可知，对应角，据此不难判断正误；根据对应点、对应线段与对称轴的关系，对③④的正误进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 即，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴l垂直平分，故③正确； ④应为：直线和的交点不一定在l上，故本小题错误， 综上所述，结论正确的是①②③共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据和关于直线对称，确定对称三角形，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据和关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴． 又∵， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解轴对称的含义是解本题的关键； （1）根据四边形与四边形关于直线对称，可得对应边相等，从而可得答案； （2）先求解，再根据轴对称的性质可得答案； （3）根据对称轴垂直平分对称点的连线，可得答案； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形关于直线对称．， ∴； （2）解：∵， ∴， 由轴对称的性质可得： ； （3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线垂直平分． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 【详解】（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 类型三、台球桌面上的对称轴问题 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 类型四、轴对称中的光线反射问题 例题：（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关键． 如图所示，过点作，作，可得，，根据反射原理，可得，根据垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：A． 3．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 类型五、轴对称中的折叠问题 例题：（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：30； （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关系是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】（）利用折叠的性质即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； （）由平角定义及折叠性质可得，进而即可求解； 此题考查了翻折变换的性质，平角的定义，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将对折，点落在直线上的点处，折痕为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵将对折，点落在直线上的点处，得到折痕， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）如图将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠． (1)如图①，若交于点， ①当，求的度数； ②过点作，交线段于点，判断是否平分，并说明理由； (2)如图②，将长方形纸带沿折叠，再沿折叠成图②，使和边重合，若，则图②中 （直接写出答案）． 【答案】(1)①；②是，见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】（1）①依据题意，由折叠，，又，从而，进而的解；②依据题意，由，可得，，再根据，得，再由折叠的性质得到，进而可以判断得解． （2）由折叠性质得到，由平角的定义得出，再由平行线的性质即可得解． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义． 【详解】（1） ① ∵， ∴ ∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴ ∴ ∵， ∴． ②∵， ∴，， ∵ ∴ ∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴ ∴， ∴平分． （2）∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、折叠问题 【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键． 【详解】解：和关于直线l对称，直线l与相交于点O， ，，． ，，， ，，． 五边形的周长为：． 故选：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键． 根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选C． 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、折叠问题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和图形折叠的性质，关键是熟练掌握轴对称的性质和图形折叠的性质． 根据折叠的性质可得，，可得，得到，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，平分， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 【答案】3 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．利用轴对称画出图形即可求解． 【详解】解：球的运动路线如图所示： ∴一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是次； 故答案为： 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，根据轴对称的性质可得，，推出的长等于的周长．解题的关键是掌握轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵点、分别是点关于，的对称点， ∴，， ∴， ∵的周长是，即， ∴，即的长是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图3中最厚的部分有 层纸，图1中的的度数是 ． 【答案】 3 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，根据平行线的性质，结合折痕是角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴图3阴影部分最厚，为3层纸； ∵， ∴设， 图2中，， 图3中，． 解得． 即， 故答案为：3，． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，．交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为． （1）若，则 ． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 ． 【答案】 或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图： 由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 【答案】(1)答案见解析 (2)与，与 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质； （1）根据轴对称的性质确定相等的线段与相等的角即可； （2）由轴对称的性质可得：与，与，也都关于直线成轴对称． 【详解】（1）解： 相等的线段为：，，，，， ，，，，，，，，； （2）解：与，与，也都关于直线成轴对称． 12．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图图形即可； （2）连接交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，点P即为所求． 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可； （2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可； ②过点作，过点作，利用折叠的性质先证，再根据平行线的判定和性质证，最后根据邻补角的性质即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ． （2）①解：沿折叠三角形，得到三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ②证明：过点作，过点作， ∴， ∴，，， ∵沿折叠三角形，得到三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ． 15．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】两点之间线段最短、利用平移的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、折叠问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 轴对称及其性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 1 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 4 类型三、台球桌面上的对称轴问题 9 类型四、轴对称中的光线反射问题 11 类型五、轴对称中的折叠问题 14 压轴能力测评（16题） 21 解题知识必备 1.轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 压轴题型讲练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中： ①； ②； ③l垂直平分； ④直线和的交点不一定在l上， 正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 类型二、根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 类型三、台球桌面上的对称轴问题 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 类型四、轴对称中的光线反射问题 例题：（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 类型五、轴对称中的折叠问题 例题：（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）如图将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠． (1)如图①，若交于点， ①当，求的度数； ②过点作，交线段于点，判断是否平分，并说明理由； (2)如图②，将长方形纸带沿折叠，再沿折叠成图②，使和边重合，若，则图②中 （直接写出答案）． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 3．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 9．（24-25七年级下·北京·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图3中最厚的部分有 层纸，图1中的的度数是 ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，．交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为． （1）若，则 ． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，，的交点M在直线l上． (1)写出图中相等的线段和角． (2)图中还有对称的三角形吗？写出来． 12．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 15．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$