精品解析：2025年湖北省武汉市学业水平考试数学试题

2025年武汉市初中毕业生学业水平适应性考试 数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 袋子中装有3个白球，1个红球．从中一次性取出2个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 两个球都是白球 B. 两个球都是红球 C. 两个球中至少有一个白球 D. 两个球中至少有一个红球 3. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 4. 截至2024年12月底，国家铁路局最新数据显示，我国铁路运营里程约．将数据162000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 某校课后服务期间开展足球、篮球、排球、羽毛球四项球类活动，小美和小好两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间 （单位： ）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中， ，，，是的内切圆，连接 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 小美在学习完《多边形内角和》后，做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去．若最后得到8张纸片，其中有4张三角形纸片，2张四边形纸片，1张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作________． 12. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位： ）与电阻（单位：）的函数关系是．若电阻为时，电流为，则蓄电池的电压是________． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的 处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部 的仰角为 ，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 15. 如图，在 中，，，， ， 分别在和上，将 沿 折叠，点的对应点 恰好落在 上．若 与相似，则 的长是________． 16. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： … … … … 下列五个结论： 点在该函数图象上； 该函数图象在 轴上方； 该函数图象有最高点； 若和是该函数图象上两点，则； 若将该函数图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 18. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，， ． 若________，则 ． 请从① ；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 19. 近年来“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数是________；扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是________； （2）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的人数； （3）根据上述调查情况，写出你对“青少年视力健康”的想法（字数不超过30字）． （4）根据上述调查数据，简要谈谈你关于“青少年视力健康”的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条预防近视的建议．（字数不超过30个字） 20. 如图， ， 是的两条直径，过点作 的平行线分别交 的延长线和于 ， 两点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点A， 是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在上画点 ，使；再在上画点 ，使 ． （2）在图（2）中，先在上画点 ，使；再画的高 ． 22. 【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积 （单位：亩）的关系为：； 种植成本 （单位：万元）与种植面积 （单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 （1）求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； （2）求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； （3）该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积 的范围． 23. 如图，在 和中，，， ．点 在 上， 是的中点，连接， ． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出， 两点间的距离最小值． 24. 如图（1），抛物线交 轴于， 两点（点在左边），交轴于点． （1）直接写出， ，三点的坐标； （2） 是抛物线第四象限上的一点，连接 分别交， 于 ， 两点，若，求直线 的解析式； （3）平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使顶点，分别在 轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年武汉市初中毕业生学业水平适应性考试 数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 袋子中装有3个白球，1个红球．从中一次性取出2个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 两个球都是白球 B. 两个球都是红球 C. 两个球中至少有一个白球 D. 两个球中至少有一个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的2个球的颜色进行分析即可．本题考查了确定事件及随机事件，解题的关键是熟练掌握事件的分类，事件分为随机事件和确定事件，而确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：∵袋子中装有3个白球，1个红球， ∴从中一次性取出2个球，两个球都是白球是随机事件，故A选项不符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球都是红球是不可能事件，故B选项不符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球中至少有一个白球是必然事件，故C选项符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球中至少有一个红球是随机事件，故D选项不符合题意， 故选：C． 3. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图均为长方形，俯视图是一个圆． 故选：A． 4. 截至2024年12月底，国家铁路局最新数据显示，我国铁路运营里程约．将数据162000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某校课后服务期间开展足球、篮球、排球、羽毛球四项球类活动，小美和小好两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设足球、篮球、排球、羽毛球四项球类活动分别用表示，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，他们选择同一项活动的结果数为 种， ∴他们选择同一项活动的概率是， 故选： ． 8. 小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间 （单位： ）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与行程问题，理解函数图象，行程数量关系是关键． 根据题意得到行驶速度，由此得到路程． 【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为， ∴从文具店到小美家的路程是， 故选：B ． 9. 如图，在 中， ，，，是的内切圆，连接 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理可得 的长，设与的切点分别为D，E，F，连接，则，设的半径为r，可证明四边形是正方形，可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到 ，，从而得到，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：在 中， ，，， ∴， 如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，则， 设的半径为r， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，分别平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C 10. 小美在学习完《多边形内角和》后，做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去．若最后得到8张纸片，其中有4张三角形纸片，2张四边形纸片，1张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加 ，8张纸片，则剪了7次，其中4张三角形纸片，2张四边形纸片，有1张五边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为 ， 解得． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 12. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位： ）与电阻（单位：）的函数关系是．若电阻为时，电流为，则蓄电池的电压是________． 【答案】36 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把相关数据代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵电阻为时，电流为， ∴（V）， 故答案为：36． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算；根据分母不变，分子相加减，最后能约分的要约分，化为最简分式． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，建筑物 上有一旗杆，从与 相距的 处观测旗杆顶部 的仰角为，观测旗杆底部 的仰角为 ，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中求出的长，在 中，求出 的长，利用求出 的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在 中，， ∴； 答：旗杆 的高度为． 故答案为：． 15. 如图，在 中，，，， ， 分别在和 上，将 沿 折叠，点的对应点 恰好落在 上．若 与相似，则 的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，连接 交 于点 ，根据折叠得到点与点 关于 对称，，，则 垂直平分 ，则，分类讨论：，根据相似三角形的性质可解；，根据折叠，直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，结合解直角三角形的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 交 于点 ， 将 沿 折叠，点的对应点 恰好落在 上， ∴点与点 关于 对称，，， ∴ 垂直平分 ，则， 如图所示，， ∴， ∴，则， ∴，即， 又， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，且 是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述， 的长是或 ， 故答案为：或  ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，直线三角形斜边中线等于斜边一半，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 16. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： … … … … 下列五个结论： 点在该函数图象上； 该函数图象在 轴上方； 该函数图象有最高点； 若和是该函数图象上两点，则； 若将该函数图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解： 当 时，， ∴点在该函数图象上，原结论正确； ∵， ∴该函数图象在 轴上方，原结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴该函数图象有最高点，原结论正确； 由图象可得， 图象关于 对称，且当时，取最大值， ∵， ∴，原结论错误； 若将该函数图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，原结论正确； ∴正确的结论是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为：． 18. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，， ． 若________，则 ． 请从① ；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】 选择① ； ∵， ， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴，即 ； 选择②； 无法证明， 无法得出 ； 选择③； ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴，即 ； 故答案为：①或③（答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出 ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】略 19. 近年来“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数是________；扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是________； （2）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的人数； （3）根据上述调查情况，写出你对“青少年视力健康”的想法（字数不超过30字）． （4）根据上述调查数据，简要谈谈你关于“青少年视力健康”的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条预防近视的建议．（字数不超过30个字） 【答案】（1）200人， （2）1100人 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用“轻度近视”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数，再求出“中度近视”的人数，进而求出“高度近视”的人数，由此求出“高度近视”的人数对应的扇形的圆心角的大小； （2）用2000乘以样本中“视力不正常”的人数占比即可得到答案； （3）言之有理即可； （4）言之有理即可． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为（名），中度近视的学生人数为（名）， 高度近视的学生人数为（名）， 则扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是 ， 故答案为：200人，； 【小问2详解】 解：估计该校学生中视力不正常的人数为（人）； 【小问3详解】 解：保持良好的用眼习惯，连续阅读时间不宜过长，坐姿端正，距离适中；少看电视、少用电脑；睡眠充足，注意用眼卫生等（答案不唯一，合理即可）． 【小问4详解】 解：建议：减少电子产品的使用，坚持做眼保健操． 20. 如图， ， 是的两条直径，过点作 的平行线分别交 的延长线和于 ， 两点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线分线段成比例，得到 为 中点，得到，进而得到 ，即可得证； （2）连接，圆周角定理结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 ∵ ， 是的两条直径， ∴， ∵， ∴， ∴ 为 中点 ∴， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形； 【小问2详解】 连接，由（1）可知：， ∵ 为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中：， 在 中：， 由（1）知： 为 中点， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点A， 是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在上画点 ，使；再在 上画点 ，使 ． （2）在图（2）中，先在 上画点 ，使；再画的高 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、解直角三角形等知识点，理解题意、正确作出图形是解题的关键． （1）如图：取格点D，连接 即可，取格点R，连接交 于点E，点D，点E即为所求； （2）取格点W，连接，取的中点J，连接交于点F，线段 ，点F即为所求；取 的中点O，连接并延长到 ，使得，此时点 在 右边第一根竖线上，连接并延长交 于 ，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，点D、点E即为所求． 证明：不妨设，每个小正方形的边长为1， 由作图可知：， ∴， 由作图可知：， ∴ ， ∴点D、点E即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，点F、线段 即为所求． 证明：由作图可知：将 绕着点B顺时针旋转 得到线段， 即， 再由作图可知：， ∴， 根据平行线截线段成比例可知：，， 即：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点F、线段 即为所求. 22. 【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积 （单位：亩）的关系为：； 种植成本 （单位：万元）与种植面积 （单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 （1）求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； （2）求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； （3）该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积 的范围． 【答案】（1）12亩 （2）时（万元） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意列方程求解即可； （2）设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为 万元，得到，得出则时（万元） （3）根据题意得到，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∴， 解得：， ∴种植面积为12亩； 【小问2详解】 解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为 万元， ， ∴， 则时（万元）． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：． 23. 如图，在 和中，，， ．点 在 上， 是 的中点，连接， ． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出， 两点间的距离最小值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ； （2） 证明：如图1，过点作，交 的延长线于点 ，连接，延长交于点 ， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义即可解答； （2）如图1，过点作，交 的延长线于点 ，连接，延长交于点 ，先证明，得，再证明，最后由直角三角形斜边中线的性质即可得结论； （3）如图 2 ，设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，则，根据垂线段最短可得：当时，， 两点间的距离最小，如图 2 ，过点作，交射线 于点 ，连接交 于点 ，根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，设 ，则 ， ， ， （负值已舍去） ， 由（2）可知：点 在射线 上， ∴当时，两点间的距离最小，如图 2 ， 过点作，交射线 于点 ，连接交 于点 ， 由（2）知：， ， 垂直平分， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 即两点间的距离最小值是． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确作辅助线构建全等三角形解决问题． 24. 如图（1），抛物线交 轴于 ， 两点（点 在左边），交轴于点． （1）直接写出 ， ，三点的坐标； （2） 是抛物线第四象限上的一点，连接 分别交 ， 于 ， 两点，若，求直线 的解析式； （3）平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使顶点 ，分别在 轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）令为0，解方程即可得 和 的坐标，令 ，即可得的坐标； （2）作交抛物线于点 ，交 于点 ，利用平行导角证明，求出 的表达式，设，进而由勾股定理表达出，从而可解得 点坐标，得到，由平行关系 可得，最终可求直线 的表达式； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出 点的横坐标为作轴于点 ，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当点运动时，上式中 的值与点的位置无关，从而，即 ，故得点的坐标． 【小问1详解】 解：令中为0， 则，解得或 ， ，， 当 时，， ； 【小问2详解】 解：作交抛物线于点 ，交 于点 ，如图所示， ， ， ， ． ， 设直线 的表达式为 ， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线 的表达式为， 设，则， 即， 解得或0， 故， 故． ， ， 设直线 的表达式为， 把代入可得， 解得， 直线 的表达式为； 【小问3详解】 解： 平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为 ， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令 ，得， 解得． 作轴于点 ，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当点运动时，上式中 的值与点的位置无关， ，即 ， 故点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $