精品解析：山西省部分学校2024-2025学年高一下学期期中测评考试数学试题

高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，、分别是内角、的对边，若，则（ ） A. 15° B. 135° C. 45° D. 45°或135° 3. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（ ） A. 不等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰钝角三角形 5. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 32 D. 48 7. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 8. 如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 10. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，两个圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．下列说法正确的是（ ） A. 沙漏中的细沙体积为 B. 沙漏的体积是 C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度为 D. 该沙漏的一个沙时大约是900秒 11. 已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若单位向量，则 C. 若点在直线上，且，则点的坐标为 D. 若，则四边形为平行四边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，与方向相同的单位向量为，向量与的夹角为，向量在向量上的投影向量，则______． 13. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 14. 在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 在不等边三角形中，内角所对的边分别为，点是外接圆上位于劣弧上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 17. 在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高． （1）求正四棱台的表面积和体积； （2）在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值． 18. 如图，在中，，设， （1）试用表示向量； （2）设线段靠近的三等分点为，试证明三点共线； （3）设，求的余弦值． 19. 在中，内角所对的边分别为是边上的动点（不与端点重合），记．某同学发现当为的中点时，．他推测，如果改变的位置，仍然与存在一定关系．于是他进行了更多探索并发现：当时，；当时，．由此，他猜想，若记，则必存在函数，使得． （1）猜想函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）证明（1）中的结论； （3）在中，为的中点，是线段上的动点（异于端点），当取最小值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念即可求解. 【详解】由共轭复数的定义可得复数的共轭复数为． 故选：A 2. 在中，、分别是内角、的对边，若，则（ ） A. 15° B. 135° C. 45° D. 45°或135° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，因为且， 所以或． 故选：D 3. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【详解】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A 4. 在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（ ） A. 不等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，进而利用余弦定理可得，可得，可得结论. 【详解】由正弦定理得，所以，又，所以． 由，得，可化为， 所以，所以，所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：C. 5. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算求解即可. 【详解】因为， 故． 故选：C 6. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：D 7. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】建系，由向量模长的坐标表示即可求解 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系． 则， ， 当且仅当时取等号． 故选：A 8. 如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【详解】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，可求得的虚部和，可判断ABC；利用模的几何意义可判断D. 【详解】由题意得的虚部为，故AC正确，B错误； 由复数满足， 所以点的集合是以原点为圆心，分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，故D正确． 故选：ACD. 10. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，两个圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．下列说法正确的是（ ） A. 沙漏中的细沙体积为 B. 沙漏的体积是 C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度为 D. 该沙漏的一个沙时大约是900秒 【答案】AD 【解析】 【分析】A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时. 【详解】对于A，由圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径，体积，故A正确； 对于B，沙漏的体积，故B错误； 对于C，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可得，即，故C错误； 对于D，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为秒，故D正确． 故选：AD 11. 已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若单位向量，则 C. 若点在直线上，且，则点的坐标为 D. 若，则四边形为平行四边形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用单位向量的定义、向量共线的判定及性质，计算可判断各选项的正误. 【详解】由题得， 对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，设，则，解得或， 所以或，故B错误； 对于C，设点坐标为， 当在线段上时，， 所以， 所以，解得，所以点坐标为． 当在线段延长线上时，， 所以， 所以解得所以点坐标为． 综上点坐标为或，故C错误； 对于D，因为，所以四边形为平行四边形，故D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，与方向相同的单位向量为，向量与的夹角为，向量在向量上的投影向量，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由投影向量计算公式即可求解. 【详解】由，得， 因为， 故． 故答案为：5 13. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用斜二测画法的原理还原出原三角形的高和底边长，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，过点作轴，且交轴于点． 过点作轴，且交轴于点， 则，又， 所以，所以原三角形的高，底边长为2， 所以，则原的面积为． 故答案为：. 14. 在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由正弦定理，所以， 即，可得． 因为，所以． 由余弦定理， 得，可化为， 由基本不等式可得， 解得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是4． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数定义列式求参； （2）根据复数相等列式，结合三角函数值域求范围即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以解得． 【小问2详解】 由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 16. 在不等边三角形中，内角所对的边分别为，点是外接圆上位于劣弧上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以，由正弦定理和余弦定理可得， 所以，所以 因为是不等边三角形，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，再由正弦定理角化边及余弦定理化简即可； （2）由（1）得到是直角三角形，在中，由余弦定理得，再由三角形面积公式及求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得，解得． 所以．可得，所以是直角三角形． 因为，所以． 在中，由余弦定理得， 即， 解得． ． 所以. 17. 在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高． （1）求正四棱台的表面积和体积； （2）在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积； （2）把该四棱台沿侧棱展开在同一平面，可得彩带的路径必须沿路径，计算的长度，可得最短彩带的长度. 【小问1详解】 由题可知正四棱台的体积， 记分别为棱台上、下底面的中心，分别取中点，连接， ，在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，所以， 所以， 所以正四棱台的表面积． 【小问2详解】 把该四棱台沿侧棱展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如图所示的路径．在等腰梯形中，设，易知． 在中，， 又， 由余弦定理得， 所以彩带最少需要． 18. 如图，在中，，设， （1）试用表示向量； （2）设线段靠近的三等分点为，试证明三点共线； （3）设，求的余弦值． 【答案】（1） （2）证明如下： 由题意得，所以，所以， 所以，所以三点共线． （3） 【解析】 【分析】（1）由和三点共线，列出等式求解即可； （2）由（1）结合，得到，即可求证； （3）由，结合向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为三点共线， 所以， 同理，因为三点共线， 所以， 所以解得 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， ， ， ， 由图可知为向量与的夹角， 所以． 所以的余弦值为． 19. 在中，内角所对的边分别为是边上的动点（不与端点重合），记．某同学发现当为的中点时，．他推测，如果改变的位置，仍然与存在一定关系．于是他进行了更多探索并发现：当时，；当时，．由此，他猜想，若记，则必存在函数，使得． （1）猜想函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）证明（1）中的结论； （3）在中，为的中点，是线段上的动点（异于端点），当取最小值时，求的长． 【答案】（1） （2）证明如下： 由，得． 因为，所以． 由余弦定理，得， 可化为：， 所以， 所以， 所以，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）由时，时的结果归纳即可； （2）由，得．由，结合余弦定理即可求证； （3）设，由（2）得到，，进而可求解. 【小问1详解】 由题设，猜想，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由余弦定理得，， 所以．令，则 由（2）可得， ， 所以． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 所以当取最小值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $