山西省部分学校2024-2025学年高一下学期期中测评考试数学试题

高一数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在中，、分别是内角、的对边，若，则（    ）

A. 15° B. 135° C. 45° D. 45°或135°

3. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ）

A. 不等边三角形 B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰钝角三角形

5. 若复数满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ）

A. 12 B. 24 C. 32 D. 48

7. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 13

8. 如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ）

A.

B. 的虚部为

C.

D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环

10. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，两个圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．下列说法正确的是（    ）

A. 沙漏中的细沙体积为

B. 沙漏的体积是

C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度为

D. 该沙漏的一个沙时大约是900秒

11. 已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是（    ）

A. 若且，则

B. 若单位向量，则

C. 若点在直线上，且，则点的坐标为

D. 若，则四边形为平行四边形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量，与方向相同的单位向量为，向量与的夹角为，向量在向量上的投影向量，则______．

13. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______．

14. 在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知复数．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．