精品解析：2025年安徽省宿州市5月三模数学试题

2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数比0小的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数大小的比较是关键． 根据正数大于0，0大于负数即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴实数比0小的是， 故选：A ． 2. 有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键． 根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，左上有一条横向的实线． ∴俯视图是：， 故选：C． 3. 据国家统计局统计表明，2024年全年粮食再获丰收，首次迈上1.4万亿斤新台阶，达到14130亿斤．数据14130亿可以表示为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：14130亿， 所以的值为12， 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式幂的运算，根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，结合平行线性质即可求解． 【详解】解：， ，， ． ， ， 即， 故选：B． 6. 在一个不透明的袋子中，装着大小、质地都相同的黑白小球若干个，从袋中任意摸出一球是白球的概率为；若向袋子中再放2个同样的白球，摇匀后，从袋中摸出一球是白球的概率为，则袋子中黑球的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设原袋子中白球有个，则总球数有个．根据概率公式得出，求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设原袋子中白球有个， ∵从袋中任意摸出一球是白球的概率为， ∴总球数有个． 由题意得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 袋子中有个黑球， 故选：C． 7. 如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，中点坐标公式，设，根据题意表示出点的坐标，再利用三角形面积公式即可解答，正确表示出点的坐标是解题关键． 【详解】如图，作于点， 设点，则， 点是的中点， 点的坐标为， ， 轴， 点的坐标为，即 ， 的面积是3， ， ． 故选：C． 8. 如图，的直径，半径，点为上一点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. 50 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由推出， 利用是直径得 ，结合得 ， 根据两角对应相等证明 ，得出对应边成比例，变形得到 ，代入、的值计算出结果． 【详解】解;， ． 为的直径， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，点是线段上的动点，点在上，，作交于点，设，四边形的面积为，则与之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数在几何图形中的应用，解题的关键是通过相似三角形求出相关线段的长度，进而表示出四边形的面积，得到函数关系式，再根据函数性质判断图象． 先求出的长度，再通过以及三角函数正切，得到， ，，分别求出、和的面积表达式，用的面积减去和的面积得到四边形的面积表达式，分析其函数图象． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ，，， ，， ，，， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ，其中， 与之间的函数关系的大致图象为A． 故选A． 10. 在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（ ） A. 点到直线距离的最小值为2 B. 长度的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，解直角三角形，三角形边长关系，相似三角形的判定和性质，运用上述性质逐一判断即可，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大， 的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式． 先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知，为正整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，负整数指数幂，解题的关键是正确估出； 先估算出的值，即可得到n的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 13. 睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为________． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 14. 如图，，，，点在线段上，连接交于． （1）________， （2）已知，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得出，，进而可得，即可得出； （2）设，，证明，可得，，进而证明，得，根据垂直平分线的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作于点，交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，，． ，，，，， ，． ， ， ， ； 故答案为：． （2）设，， ， ，，， ， ，， ． ，， ， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并将解集在数轴上表示． 【答案】； 其解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点为，，． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出（，，分别是，，的对应点），写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，写出点的坐标； （3）若点为内一点，按（1）中的方式平移后的对应点为，点关于轴对称的点为点，写出点的坐标． 【答案】（1） 如下图，就是所画的图形，点的坐标为； （2） 如图，就是所画的图形，点的坐标为； （3）点的坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，解题的关键是作出对应点平移、轴对称的对应点． （1）根据平移的性质作图即可，再写出的坐标即可． （2）根据轴对称的性质作图即可，再写出的坐标即可． （3）先根据平移的性质写出的坐标，再根据关于x轴对称的点的特点写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵点和点关于x轴对称 ∴点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一大楼的高，数学兴趣小组为了测量大楼的顶部广告牌的高的长，在与点在同一水平线上的点处测量得楼上点的仰角，广告牌顶端的仰角，．求广告牌的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 在中，，，， ， ， 即广告牌的高度约为． 18. 在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 【答案】8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程得应用，准确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键； 根据 “购买一台节能家电的实际费用 =（商场的实际售价 - 旧家电的折合价）×(1 - 20%)”，可得出实际费用为元．又已知实际费用比按标价出售便宜了，那么实际费用也可表示为元．根据上述两种方式表示的实际费用相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这台电视机的标价为元，由题意得， ， 解得． 答：这台电视机的标价是8000元． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 项目式学习：探究图式之间的内在联系 【项目任务】观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 【项目探究过程】下列是三位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． （1）明明同学将这些点分为两类，一类是实心点构造了正方形点阵，一类是空心点构造了正方形点阵，这样图1的点总数可表示为，图2的点总数可表示为，图3的点总数可表示为，图4的点总数可表示为，…，图的点总数可表示为________； （2）欣欣同学用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…，欣欣思考这种连接方式下，图中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：________，由此获得从1开始，连续个奇数的和，即________； （3）慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形，结合明明同学的探究，由图1得，由图2得，由图3得，…，由图得________． 【答案】（1） （2）；； （3） 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据题干抽象概括出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给出的表示方法，作答即可； （2）观察可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7个点，进而得到图中最长虚线上共有个点，结合（1）中的规律，得到图建立的等式，再根据等式求出的值即可； （3）根据已有等式，得到相应的规律即可． 【小问1详解】 由图可知：图的点总数可表示为； 故答案为：； 【小问2详解】 由图可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7个点， 故图中最长虚线上共有个点； 由（1）可知：； ∴； 【小问3详解】 由图1得，由图2得，由图3得，…， ∴由图得． 20. 如图，以为直径的交于点，，为上一点，连接，，，． （1）求证：为的切线； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径， ， ∴， ， ， ，， ， ，即， 为的半径， 为的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得出结论； （2）根据解直角三角形得到，则，，证明，得到，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，． ，， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践创新实验中学学生视力相关调查 【调查问卷】 调查目的 为了解创新实验中学学生的视力情况，随机选取了部分学生进行了视力检查，包括戴镜类型调查和裸眼视力检查． 调查项目 （一）你佩戴近视眼镜的类型是（单选） A．框架眼镜 B．隐形眼镜 C．角膜塑形镜 D．不戴 （二）你裸眼视力是 A．正常视力 B．轻度视力不良 C．中度视力不良 D．重度视力不良 E．严重异常视力 注：表示视力值． （三）你戴镜视力检查的结果是 E．正常（5．0及5．0以上） F．异常（5．0以下） 将问卷调查表发放后让调查者填好及时收集起来． 【数据收集与整理】 数据的收集：将学生的裸眼视力从弱到好依次排序，部分数据如下： “4.2，4.3，…，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，…，5.1，5.2”数据的整理：1．将学生的戴镜类型情况进行整理，绘制出以下不完整的统计表和统计图： 学生戴镜类型调查统计表 戴镜类型 频数 频率 ．框架眼镜 6人 0.12 ．隐形眼镜 人 0.20 ．角膜塑形镜 18人 ．不戴镜 人 被调查同学裸眼视力直方图 【数据分析与运用】 （1）本次调查了________人，________； （2）被调查同学视力的中位数是________，补全学生裸眼视力频数直方图； （3）该校共有1200名学生，求该校轻度视力不良及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）50；16 （2）4.65， 补全学生裸眼视力频数直方图如图： （3）504人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是数形结合． （1）用“框架眼镜”中的频数除以频率，求出本次调查人数，再求出m的值，即可求出n； （2）根据偶数的中位数是中间两个数的平均数，即可解答； （3）求出被调查的同学轻度视力不良及以上的所占比，即可解答； 【小问1详解】 解：（人）， （人）， （人）． 故答案为50，16； 【小问2详解】 由学生的裸眼视力数据可知B轻度视力不良有9人， （人）， 被调查同学视力的中位数是 ； 故答案为：4.65； 【小问3详解】 （人）， 答：该校轻度视力不良及以上的学生共504人． 七、（本题满分12分） 22. 已知，，，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点，，在同一条直线上，是的中点，． ①求的值； ②点，分别是，的中点，，的延长线相交于点，连接，，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， ． ，， ， ． （2）①； ②连接， 由①知，． 点，分别是，的中点， ，， ，， ， ，． ， ． ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，求正切，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据（1）中可得，进而证明，根据等腰三角形的性质以及中位线的性质得出进而得出，根据等腰直角三角形的性质可得，同理可证，，．进而得出，然后根据正切的定义，即可求解； ②连接，由①知，，根据垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的意思三角形的内角和定理证明，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，①取的中点，连接， 由（1）可知，， ． ， ， ． ，， ． ， ， ， ． 同理可证，，． ，，， ， ， ， 在中，； ②略 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，点是抛物线上的任意一点，则点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． ①已知，，求的值； ②已知，求的最大值． 【答案】（1） （2）①5；②12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出的解析式，平移求出抛物线的解析式即可； （2）①根据点在抛物线上，得到，，把代入，求解即可；②将代入，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ，解得， 抛物线； 由题意知，抛物线是由抛物线向右平移3个单位长度得到的， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 点在抛物线上， ，即． 点在抛物线上， ， ，化简得， ． ①， ， ， ， ， ． ， ， ． ②， ． ， 的最大值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数比0小的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据国家统计局统计表明，2024年全年粮食再获丰收，首次迈上1.4万亿斤新台阶，达到14130亿斤．数据14130亿可以表示为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 13 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中，装着大小、质地都相同的黑白小球若干个，从袋中任意摸出一球是白球的概率为；若向袋子中再放2个同样的白球，摇匀后，从袋中摸出一球是白球的概率为，则袋子中黑球的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 0 7. 如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 8. 如图，的直径，半径，点为上一点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. 50 B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点是线段上的动点，点在上，，作交于点，设，四边形的面积为，则与之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（ ） A. 点到直线距离的最小值为2 B. 长度的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：________． 12. 已知，为正整数，则________． 13. 睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为________． 14. 如图，，，，点在线段上，连接交于． （1）________， （2）已知，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并将解集在数轴上表示． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点为，，． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出（，，分别是，，的对应点），写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，写出点的坐标； （3）若点为内一点，按（1）中的方式平移后的对应点为，点关于轴对称的点为点，写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一大楼的高，数学兴趣小组为了测量大楼的顶部广告牌的高的长，在与点在同一水平线上的点处测量得楼上点的仰角，广告牌顶端的仰角，．求广告牌的高度． （参考数据：，，，，，） 18. 在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 项目式学习：探究图式之间的内在联系 【项目任务】观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 【项目探究过程】下列是三位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． （1）明明同学将这些点分为两类，一类是实心点构造了正方形点阵，一类是空心点构造了正方形点阵，这样图1的点总数可表示为，图2的点总数可表示为，图3的点总数可表示为，图4的点总数可表示为，…，图的点总数可表示为________； （2）欣欣同学用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…，欣欣思考这种连接方式下，图中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：________，由此获得从1开始，连续个奇数的和，即________； （3）慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形，结合明明同学的探究，由图1得，由图2得，由图3得，…，由图得________． 20. 如图，以为直径的交于点，，为上一点，连接，，，． （1）求证：为的切线； （2）已知，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践创新实验中学学生视力相关调查 【调查问卷】 调查目的 为了解创新实验中学学生的视力情况，随机选取了部分学生进行了视力检查，包括戴镜类型调查和裸眼视力检查． 调查项目 （一）你佩戴近视眼镜的类型是（单选） A．框架眼镜 B．隐形眼镜 C．角膜塑形镜 D．不戴 （二）你裸眼视力是 A．正常视力 B．轻度视力不良 C．中度视力不良 D．重度视力不良 E．严重异常视力 注：表示视力值． （三）你戴镜视力检查的结果是 E．正常（5．0及5．0以上） F．异常（5．0以下） 将问卷调查表发放后让调查者填好及时收集起来． 【数据收集与整理】 数据的收集：将学生的裸眼视力从弱到好依次排序，部分数据如下： “4.2，4.3，…，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，…，5.1，5.2”数据的整理：1．将学生的戴镜类型情况进行整理，绘制出以下不完整的统计表和统计图： 学生戴镜类型调查统计表 戴镜类型 频数 频率 ．框架眼镜 6人 0.12 ．隐形眼镜 人 0.20 ．角膜塑形镜 18人 ．不戴镜 人 被调查同学裸眼视力直方图 【数据分析与运用】 （1）本次调查了________人，________； （2）被调查同学视力的中位数是________，补全学生裸眼视力频数直方图； （3）该校共有1200名学生，求该校轻度视力不良及以上的学生共有多少人． 七、（本题满分12分） 22. 已知，，，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点，，在同一条直线上，是的中点，． ①求的值； ②点，分别是，的中点，，的延长线相交于点，连接，，求证：是等腰直角三角形． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，点是抛物线上的任意一点，则点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． ①已知，，求的值； ②已知，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $