2025年湖南省长沙市立信中学中考一模数学试卷

1 2024－2025 学年度第二学期初三第一次模拟考试试卷（数学） 命题人：肖维 牛中山 审题人：奈候波 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列互为倒数的是（ ） A．3 和 1 3 B． 2− 和 2 C．3 和 1 3 − D． 2− 和 1 2 2．《哪吒之魔童闹海》在 2025 年春节期间在各大影院上映，广受大家恵爱，成为中国史上票房最高 的国产电影，哪吒的蓬花宝座可以抽象视为一个＂正六边形＂，下列选项中俯视图为正六边形的是 （ ） A． B． C． D． 3．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片 分别代表＂芒种＂，＂白露＂，＂立夏＂，＂大雪＂，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． 22 3a a a+ = B． ( ) 4 2 8xy xy= C．3( 8) 3 8x x+ = + D． 2 5 7x x x = 5．若 2m y x + = 是反比例函数，则m 必须满足（ ） A． 0m  B． 2m = − C． 2m = D． 2m  − 6．如图， AB 是⊙O的直径，D ，C 是⊙O上的点， 115ADC  = ， 则 ABC 的度数是（ ） A． 25 B．30 C．35 D． 40 7．如图，在 Rt△ ABC中， 90ACB  = ，以△ ABC的各边为边在△ ABC外作 三个正方形， 1S ， 2S ， 3S 分别表示这三个正方形的面积，若 1 5S = ， 2 15S = ， O D C BA 2 则 3S 的值是（ ） A．5 B．8 C．10 D．20 8．关于 x 的一元二次方程 2( 2) 4 2 0m x x− + + = 有两个实数根， 则m 的取值范围是（ ） A． 4m  B． 4m  C． 4m  − 且 2m D． 4m  且 2m 9．某市开展＂悦读书，与心共鸣＂读书活动，甲，乙两位同学分别从距离活动地点 1400m 和 900m 的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前 7min 到达活动地 点．若设乙同学的速度是  m / minx ，则下列方程正确的是（ ） A． 1400 900 7 1.1x x − = B． 900 1400 7 1.1x x − = C． 900 1400 7 1.1x x − = D． 1400 900 7 1.1x x − = 10．直线 y ax b= + 与抛物线 2y ax bx b= + + 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．地球上的海洋面积约为 2361000000km ，将数据 36100 0000 用科学记数法表示为 ． 12．分解因式： 24 4x − = ． 13．一个扇形的弧长是 6 cm 5  ，半径是 6cm，则此扇形的圆心角是 度． 14．某篮球队五名队员的年龄分别为 17，15，17，16，15，则这五名队员年 龄的中位数是 ． 15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图 象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（坚直放置） AB 经小孔O在屏幕（坚直 放置）上成像 ' 'A B ．设 36cmAB = ， ' ' 24cmA B = ．小孔O到 AB 的距离为 30cm，则小孔O到 ' 'A B 的距离为 cm． 16．小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了 6 次石头，1 次剪刀，3 次布：② 小强出了 4 次石头，3 次剪刀，3 次布；③10 次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这 十次对决中小志赢了 次． x y O O y x x y O x y O S3 S2 S1 C B A O B' A' B A 3 三．解答题（本大题共 9 个小题，第 17，18，19 题每小题 6 分，第 20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 9 分，第 24，25 题每题 10 分，共 72 分） 17．计算： 1 0 1(1 ) 2cos30 | 3 | 4  −   − − + − −     ． 18．先化简，再求值： 24 2 1 1 3 2 6 x x x x + +  +   − −  ，其中 2 1x = − ． 19．游艇在湖面上向正东方向航行，在 O 处，看到灯塔 A 在游艇北偏东60方向上，航行 1 小时到达 B 处，此时看到灯塔 A在游艇北偏西30方向上，且 A 与 B 之间距离 6 千米． （1）由题意知： AOC = 度， ABD = 度； （2）求灯塔 A 到航线OB 的距离（答案保留根号）． 20．某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行 调查，要求被调查的学生从 A，B，C，D 四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结 果，编制了如下两幅不完整的统计图， 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有 人， 研学活动地点 A所在扇形的圆心角的度 数为 ； （2）若该年级共有 800 名学生，请估计最喜欢去C 地研学的学生人数； DC O B A 40 15 20 25% 15% A B C D 50 40 30 20 10 0 DCBA 4 （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会， A 小组有两名男同学和 两名女同学，从 A小组中随机选取 2 人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同 学为一男一女的概率． 21．如图，△ ABC中， AD BC⊥ ，垂足为 D ， BE AC⊥ ，垂足为 E ， AD 与 BE 相交于点 F ， BF AC= ． （1）求证：△ ADC≌△ BDF ； （2）若 2DF = ， 3AF = ，求 BC的长. 22．端午节前夕，某商铺用 620 元购进 50 个肉粽和 30 个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单 价多 6 元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共 300 个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的 2 倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为 14 元，蜜枣粽的销售单价为 6 元，试问 第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少 元？ F E D CB A 5 23．如图，△ ABC， BD平分 ABC ，分别以点 B ， D 为圆心，以大于 1 2 BD的长为半径在 BD两侧作 圆弧，交于点 E ，点 F ．作直线 EF ，分别交 AB ， BC于点G ， H ，连结DG ， DH ． （1）请判断四边形BCDH 的形状，并说明理由； （2）设△ ADG 的面积为 1S ，四边形BCDG的面积为 2S ，若 2 3 CH HD = ，求 1 2 S S 的值. 24．我们约定：若点 A为 ( , )a b ，点 B 为 ( , )a a b+ ，我们称点 B 是点 A 的＂ L点＂；我们发现：若点 A 在拋物线 1C 上，点 B 始终在抛物线 2C 上，那么我们称拋物线 2C 是抛物线 1C 的＂X抛物线＂. （1）点 ( 2,3)A − 的＂ L点＂是 ：拋物线 2 2 3ly x x= − − 的＂ X 抛物线＂是 ； （2）已知抛物线 2 3y x bx= + + 经过点 (1, 3)M − ，若点 ( )1,p p q 与点 ( )21,Q p q+ 在其＂ X 拋物线＂上， 且 1 2q q ，求 p 的取值范围． （3）已知点 ( , )A x y 在拋物线 1C ： 2y x bx c= + + 图像上，点 A 的＂ L点＂为点 ( 1,1)B − ．若该拋物线 1C 的顶点为 ( , )r s ，该抛物线的＂ X 拋物线＂ 2C 的顶点为 ( , )m n ． ①当0 5c  时，求 n的取值范围； ②当 c 取不同的值时， 1C 所有顶点 ( , )r s 组成新的抛物线 3C ，记 3C 的顶点为H 且与 x 轴交于G ， K 两 点，拋物线 2C 所有顶点 ( , )m n 组成新的拋物线 4C ，记 4C 的项点为 F 且与 x 轴交于 R ，T 两点，若线段 ( t HF )，GK ， RT 构成直角三角形时，求 t 的值 G F E D C B A 6 25．在 Rt△ ABC中， 90C  = ， 3 tan 4 B = ， 10AB = ，O为线段 AB 上的动点，圆O的半径为OB ，与 射线 BC交于点M ，圆 A 的半径为OB ，与射线 AC 交于点 N ． （1）如图 1，当 10 3 OB = 时，判断圆O与圆 A 的位置关系： （2）如图 2，当圆O与圆 A 存在公共弦 PQ时， PQ与 AB 交于点H ． ①设OB x= ， PQ y= ，求 y 关于 x 的关系式，并写出 x 的取值范围； ②若 3 cos 2 POH = ，求两圆重合部分的周长 l ． ③设圆 A与边 AB 交于点 F ，连接OM ，MF ，当△OMF 是以OM 为腰的等腰三角形时，求圆O的半 径． O C B A H Q P B O AC