考前易错重温——圆锥曲线专项训练-2025届高三数学三轮复习

考前易错重温----圆锥曲线 一、单选题 1．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 3．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 5．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（    ） A． B． C． D．4 6．下列说法正确的是（    ） A．若直线与直线互相垂直，则 B．已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 7．已知实数满足，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知直线，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 11．在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 12．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线l与圆C相切 B．若直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4 C．当时，圆C上存在4个点到直线l的距离为 D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C的交点 13．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系.例如，与直线平行的直线系可表示为：.设直线系：，则（   ） A．点到中任意一条直线的距离为定值 B．存在定点不在中任意一条直线上 C．点到中所有直线距离的最大值为5 D．对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 14．过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（   ） A． B． C． D． 15．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 三、填空题 16．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为 ． 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为 ． 18．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为 . 四、解答题 19．已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线. (1)说明是什么曲线，并求的方程； (2)设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前易错重温----圆锥曲线参考答案 1．B【详解】解：由题知：，由得；由得，.因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.故选：B. 2．D【详解】集合 表示平面内一条直线，但不包含点； 由，得，不论取何值，直线恒过， 对于的每一个取值，集合 都表示平面内过定点的一条直线.当时，集合表示的直线的方程为，此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意； 当时，直线与直线不重合，相交于点， 又，即，满足题意.故选：D. 3．D【详解】因为抛物线的标准方程为，∴抛物线的焦点为， 故在双曲线中，，，，故， ∴双曲线的离心率．故选：D． 4．A【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为，由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，；当时，. 综上所述，，故.故选：A. 5．B【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形， ∴正方形的边长等于直线、的距离，则， 若圆的半径为r，，即，则， 由正方形的性质知：，∴，即有. 故选：B. 6．B【详解】解：对于A，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以A错误； 对于B，因为，，所以，分别以点，为圆心，2，4为半径作圆，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线的条数是2，所以B正确； 对于C，当且时，过，两点的直线方程为，所以C错误； 对于D，当截距为零时，设直线方程为，则，所以直线为，当截距不为零时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，综上，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误 故选：B 7．A【详解】由可得， 可以看作直线上的动点与的距离的平方， 又因为点与的最小距离为到直线的距离， 为，故的最小值为.故选：A. 8．B【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，， 又因为，，所以，， 所以，，则， 设点，则，且， 所以，， 所以，，故，故选：B. 9．B【详解】解：因为，， ∴， 又，∴．设，则，， ∴，∴，则， ∴．∴，则， 设，则， ∴在上单调递增，∴， ∴，∴，∴，∴， 故选：B． 10．CD【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确； 当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确； 当时，直线，而直线，显然，即，C正确； 当时，有，解得，即直线， 因此直线之间的距离，D正确. 故选：CD 11．BCD【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 12．BCD【详解】，圆心且半径为， 因为直线过定点，且点在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即，故A不正确； 当直线l经过圆心时，取最大值即圆的直径，故B正确； 当时，直线，因为圆心C到直线l的距离，所以， 所以圆C上有4个点到直线的距离为，故C正确； 当时，直线，曲线， 即一定过直线与圆的交点，故D正确． 故选：BCD． 13．ABD【详解】对于A，直线系：即：， 点到中任意一条直线的距离为，为定值，A正确； 对于B，由于点到中任意一条直线的距离为1， 可知直线系L表示的圆的所有切线， 故存在定点P，例如圆内的点，不在直线中任意一条直线上，B正确； 对于C，由于直线系L表示的圆的所有切线，其圆心为，半径为1， 而，则，故点到中所有直线距离的最大值为，C错误； 对于D，例如，圆是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆的切线，而直线系L表示圆的所有切线， 故该正三角形的三边均在中的直线上，D正确，故选：ABD. 14．ABD【详解】A选项：，，均为钝角， 因为，则，故，A选项正确. B选项：同上述分析可知，所以. 因为，所以，，B选项正确. C选项：取中点，则 ，C选项错误. D选项：因为，所以. 由B选项的分析可知，， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 15．AC【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 16．或【详解】当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，解得，所以该双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为实轴长为， 由题意得，解得，则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故答案为：或 17．【详解】, ， 由余弦定理得，所以， 即，又，所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则，所以， 当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为， 所以的最大值为，故答案为：． 18．【详解】作点关于原点的对称点，连接、、，易知点、，由椭圆的对称性可知点也在椭圆上， 因为为、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为，故、、三点共线，则， 所以，. 因为点、为椭圆上位于轴上方的两点，则直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， 所以，.故答案为：. 19．【详解】（1）由得 直线是抛物线的一条切线．所以 ，所以椭圆 （2）   当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为 当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为 所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点． 证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点 当直线与轴不垂直时，可设直线为： 由得，设，则 则 所以，即以为直径的圆过点 所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点． 20.【详解】（1）根据题意可知圆可化为， 所以可知圆心，半径， 易知和两点关于原点对称，且， 所以由椭圆定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 即，可得； 因此曲线的方程为. （2）不妨设，，且，； 则易知； 易知直线的斜率都存在，如下图所示： 所以直线的斜率为，其方程为， 可得直线交轴于点 直线的斜率为，其方程为， 可得直线交轴于点 所以， 可得； 由，可得，，； 所以； 因此为定值，. 学科网（北京）股份有限公司 $$