5.5 三元一次方程组 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

*5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 三元一次方程(组)及其解的概念 三元一次方程组的解法 列三元一次方程组解决实际问题 知1－讲 感悟新知 知识点 三元一次方程（组）及其解的概念 1 1. 三元一次方程(组)的概念 概念 必备条件 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程 (1)是整式方程； (2)含有三个未知数；(3)一次方程 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 (1)是整式方程； (2)含三个未知数；(3)三个一次方程 感悟新知 知1－讲 特别提醒 易误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一次方程，组成三元一次方程组中的某个方程可以是一元一次方程、二元一次方程或三元一次方程.实际上，只需方程组中共有三个未知数即可 . 感悟新知 2.三元一次方程组的解： 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解 . 知1－讲 知1－练 感悟新知 下列方程组中，是三元一次方程组的是 ______ (填序号) ① ②③④ 例1 考向：利用三元一次方程组及其解的定义解决问题 题型1 三元一次方程组的定义在识别中的应用 知1－练 感悟新知 解题秘方：满足三元一次方程组的条件是：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含未知数的项的次数都是1；（3）方程组中共有三个整式方程。 知1－练 感悟新知 解： 答案：① 序号 理由 判断 ① 符合三元一次方程组的定义 是 ② 只有两个方程，且 不是整式方程 否 ③ 含有四个未知数 否 ④ 方程xz=2 中的xz 项的次数是2 否 知1－练 1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. B 变式训练 知1－练 感悟新知 题型2 三元一次方程组的解的定义在判断方程组的解中的应用 知1－练 感悟新知 下列方程组中，解为的方程组是( ) A. B. C. D. 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：三元一次方程组的解的验证方法：把已知的数值代入方程组中的每一个方程，只有同时满足三个方程，才是方程组的解。 知1－练 感悟新知 解：把分别代入四个选项一一验证即可。对于选项A ，x+y+z= 1 + 1 + 2 = 4 ，2x+yz = 2 × 1 + 12 = 1 ，3x+2 y4z=3×1+2×14×2=-3，三个方程均成立。代入其他三个选项中均有不成立的方程。 答案：A 知1－练 2-1. 下三元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. D 变式训练 感悟新知 知2－讲 知识点 三元一次方程组的解法 2 1. 解三元一次方程组的思路：解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化“二元”，再化为“一元”。 感悟新知 知2－讲 2. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两个方程组，分别消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个含有最后一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。 知2－讲 特别提醒 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元. 知2－练 [母题 教材P135例题]解方程组： (1) (2) 例3 不含未知数z 考向：利用解三元一次方程组的一般步骤解三元一次方程组 解题秘方：方程组中的“消元”技巧 (1)当方程组中含某个未知数的项的系数成整数倍关系或相对较简单时，可先消去这个未知数； (2)当某个方程中缺少含某未知数的项时，可以先从另外两个方程中消去这个未知数。 知2－练 解：① ×2＋②，得5x＋8y＝7. ④ 解由③与④组成二元一次方程组解得 把x＝3，y＝－1 代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1. 所以原方程组的解是 (1) 消去未知数z 解关于X， y的方程组 写出方程组的解 知2－练 解：①＋③，得3x＋5y＝11；④ ③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组解得 把x＝2，y＝1 代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1. 所以原方程组的解是 (2) 知2－练 3-1. 解下列方程组：(1) 变式训练 知2－练 知2－练 (2) 知2－练 知3－讲 知识点 列三元一次方程组解决实际问题 3 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系； (3)根据相等关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值； (5)写出答语，包括单位名称. 知3－讲 特别提醒 1. 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组. 2. “设” “答”两步都要写清单位名称，应该注意单位是否统一. 知3－练 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶途中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ 例3 考向：利用三元一次方程组解决问题 知3－练 解题秘方：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间+ 平路时间+ 下坡时间＝2.3 h. 知3－练 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的 长度分别是x km，y km，z km. 由题意，得解得 所以，从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km. 知3－练 感悟新知 4-1.小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件 . 已知毛笔与砚台的价格之和为 118 元，毛笔与笔洗的价格之和为 108 元，砚台与笔洗的价格之和为 96 元 . 求毛笔、砚台、笔洗的单价分别为多少？ 变式训练 知3－练 三元一次方程组 三元一次 方程组 建立三元 一次方程 组的模型 应用 解法 消元 二元一次 方程组 解：①－②×3，得4x＋6z＝9。④ ③和④组成方程组解得 将z＝2代入②，得y＝。 所以原方程组的解是 解：②×2－③，得5x＋27z＝34.④ ①和④组成方程组 解得将代入方程②，得y＝－2. 所以原方程组的解是 解：设毛笔的单价为x元，砚台的单价为y元，笔洗的单价为z元， 则解得 所以，毛笔、砚台、笔洗的单价分别为65元、53元、43元． $$