6.1 平均数与方差 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

6.1 平均数与方差 第六章 数据的分析 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 众数 算术平均数 加权平均数 方差、标准差 组内离差平方和(拓展点) 感悟新知 知1－讲 知识点 众数 1 定义 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数 . 例如：数据 1，3，3，5，6 的众数是 3；数据 1，3，3，5，5 的众数是 3 和 5 感悟新知 众数的内涵 (1)众数是描述一组数据集中趋势的量， 众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的统计数据 . (2)一组数据众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中 确定 方法 先数出这组数据中各数据出现的次数，再找出这组数据中出现次数最多的数据 知1－讲 感悟新知 特别提醒 1. 一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或多个，也可能没有 . 2. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数. 知1－讲 [ 中考·东营] 4 月23 日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动。某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了八年级50 名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示。在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 _________h。 时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5 人数 10 18 12 6 4 例1 考向：利用众数的定义求一组数据的众数 知1－练 解题秘方：直接根据众数的定义解决问题，注意众数的单位与数据的单位相同。 答案：1 解：由统计表可知，每天阅读时间为1 h 的人数最多，为18 人，所以在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是1 h。 知1－练 感悟新知 1-1. [ 中考·河北]某校生物小组的9 名同学各用100 粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 _______。 89 变式训练 知1－练 知2－讲 感悟新知 知识点 算术平均数 2 1. 算术平均数的定义：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。 知2－讲 感悟新知 2. 平均数的计算方法 (1) 定义法：如果有n 个数：x1， x2， x3，…， xn ，那么͞x＝ . (x1＋x2＋ x3 ＋ …＋xn)。 平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系 知2－讲 感悟新知 (2) 新数据法：当所给的数据大部分在某一常数a(通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数)上下波动时，可计算各数据与a 的差：x1－a=x’1，x2－a=x’2，x3－a=x’3 ，… ，xn－a=x’n，则x=a+ (x’1＋x’2＋ x’3 ＋ …＋x’n). 特别提醒 1. 一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关。 2. 平均数的单位与原数据的单位一致。 3. 一组数据的平均数不一定是这组数据中 的数。 知2－讲 知2－练 已知一组数据71，71，69，69，72，72，74，66，66， 65，70，65，73，73，73，73，求这组数据的平均数。 例2 考向：平均数的相关计算 题型1 求一组数据的平均数 解题秘方：可以用定义法和新数据法求平均数。 解：方法一(定义法)：因为该组数据中71，69，72，66，65 均出现2 次，73 出现4 次， 所以x = ×(71×2+69×2+72×2+74+66×2+65×2 +70 +73×4) =70.12 5。 易错：当求某个数据重复出现的次数时，要做到不重不漏 知2－练 方法二(新数据法)：每个数据都减去70，可得： 1，1，－1，－1，2，2，4，－4，－4，－5，0，－5，3，3，3，3，所以x =70+ ×(1+1－1－1+2+2+4－4－4－5+0－5+3+3+3+3) =70+0.125=70.12 5。 知2－练 2-1. [ 中考· 湖州] 某住宅小区6 月1 日～ 6月5 日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( ) A. 25 m3 B. 30 m3 C. 32 m3 D. 35 m3 B 变式训练 知2－练 例3 题型2 已知平均数，求字母的值 一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题秘方：根据平均数的公式列出关于x 的方程，求解即可。 解：根据题意，得＝3，解得x＝2. B 知2－练 3-1. 已知一组数据7，a，8，b，10，c，6 的平均数为4， 则a，b，c的平均数为______. －1 变式训练 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 加权平均数 3 1. 加权平均数的定义：在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”，这时求出的平均数称为加权平均数。 加权平均数中的“权”反映了各个数据在这组数据中的“重要程度”，权越大，数据越重要 感悟新知 2. 加权平均数的计算方法 一般而言，一组数据x1，x2，…，xn，每个数据的重要程度未必相同，如果分别赋予它们的权数为f1，f2，…，f n，那么这组数据的平均数为， 这个平均数称为加权平均数。 知3－讲 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 区别 联系 算术 平均数 算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同 若各个数据的“权”相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例 加权 平均数 加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的“权”不一定相同 知3－讲 拓宽视野 权的表现形式 在实际问题中，权的表现形式通常有三种。 对于一组数据x1，x2，…，xn ， ①将它们按照f1∶f2∶…∶fn的比例计算； ②它们出现的次数分别是f1 次、f2 次、…、fn 次； 知3－讲 ③它们所占的百分比分别为f1，f2，…，f n ( f1，f2，…，f n均为百分数，且f1＋ f2 ＋ … ＋ f n =100%)。 以上三种情况，这组数据的加权平均数均为。 知3－讲 知3－练 [中考·大连] 在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8 名同学捐款的金额如下表所示： 这8名同学捐款的平均金额为( ) A. 3.5 元 B. 6 元 C. 6.5 元 D. 7 元 金额/元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 例4 考向：利用加权平均数的计算方法求加权平均数 题型1 权为数据的个数在求加权平均数中的应用 人数应是“权”. 答案：C 解题秘方：紧扣加权平均数的计算公式进行求解。 解：͞x＝＝6.5(元). 知3－练 感悟新知 4-1.为了解学生参与家务劳动情况，某老师在所任教班级随机调查了10 名学生一周做家务劳动的时间，其统计数据如下表： (     ) A.3.5 h B.3 h C.2.5 h D.2 h D 时间/h 4 3 2 1 0 人数 1 3 3 1 2 变式训练 知3－练 [中考·德阳] 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30％，面试占30％，试讲 占40％进行计算，小徐的三项测 试成绩如图6-1-1 所示，则她的 综合成绩为________分。 例5 题型2 权为数据的百分比在求加权平均数中的应用 知3－练 解：86×30％ +80×30％ +90×40％ =85.8(分)。 因此，她的综合成绩为8 5 .8 分。 解题秘方：紧扣加权平均数的计算公式求解。 答案：85.8 知3－练 5-1.学校广播站要新招1 名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 变式训练 应聘者 项目 口语表达 写作能力 甲 80 分 90 分 乙 90 分 80 分 知3－练 学校规定口语表达按70％，写作能力按30％计入总成绩，根据总成绩择优录取。通过计算，你认为 ________ 同学将被录取。 乙 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 方差、标准差 4 1. 数据的离散程度：在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 感悟新知 知4－讲 2. 离差平方和、方差、标准差 (1)离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即S=。 (2)方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 s2＝[(x1－͞x)2＋(x2－͞x)2＋…＋(xn－͞x)2]。 其中，x 是x1，x2，…，xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。 拓展：方差、平均数的内在联系 样本数据 平均数 方差 x1，x2，…，xn ͞x s2 x1+a， x2+a，…， xn+a ͞x+a s2 kx1，kx2，…，kxn k ͞x k2s2 kx1+a， kx2+a，…， kxn+a k ͞x+a k2s2 知4－讲 特别解读 1. 求方差的步骤：第一步， 先求原始数据的平均数；第二步，求原始数据中各数据与平均数的差；第三步，求所得各个差的平方；第四步， 求所得各平方数的平均数，可概括为“一均， 二差，三方，四均”。 知4－讲 2. 使用科学计算器可以方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差。 3. 标准差的单位与原数据的单位一致；方差的单位是原数据单 位的平方，一般不加单位。 知4－讲 3. 方差、标准差的意义：一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。反映在统计图中，一组数据的波动越小，这组数据的方差或标准差越小。 知4－讲 计算下面这一组数据的方差： 2 022，2 023，2 024，2 025，2 026。 例6 考向： 利用方差或标准差解决问题 题型1 求一组数据的方差或标准差 解题秘方：可以利用公式法计算，也可以利用新数据法计算。 知4－练 解：方法一(公式法)：因为x = ×(2 022+2 023+2 024 + 2 025+2 026)=2 0 24， 所以s2= ×［(2 022－2 024)2+(2 023 － 2 024)2+(2 024 － 2 0 24)2+(2 025 － 2 0 24)2+(2 026 － 2 0 24)2］=2。 知4－练 方法二(新数据法)：选取一个适当的数a=2 024，计算 该组数据与a 的差可得一组新数据－2，－1，0，1，2。 因为x′= ×(－2 －1+0+1+2)= 0，所以s′2= ×[(－2 －0)2 + (－1－0)2+(0 － 0)2+(1 － 0)2+(2－0)2 ]=2， 所以原数据的方差为2。 知4－练 感悟新知 6-1.若样本 x1，x2，…，xn的方差为2，则样本 2x1+5，2x2+5， …，2xn+5 的方差是(     ) A.2 B.4 C.7 D.8 D 变式训练 知4－练 6-2. 一组数据6，4，a，3，2 的平均数是5，则这组数据的标准差是( ) A. 8 B. 5 C. 2 D. 3 C 知4－练 [母题 教材P156习题T5]某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一名参加全国比赛，对他们进行了8 次测试，测试成绩(单位：环)如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 甲 10 8 9 8 10 9 10 8 乙 10 7 10 10 9 8 8 10 例7 题型2 利用方差的意义作决策 知4－练 解题秘方：解此类决策型问题的解题思路：一方面要正确理解平均数、方差的概念，另一方面要熟记并正确运用平均数、方差的计算公式，然后根据平均数与方差的意义作出最优选择。 知4－练 (1)根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环 . 9 9 知4－练 (2)分别计算甲、乙两名运动员8 次测试成绩的方差. 解：s2甲＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋ (10－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.75， s2乙＝[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋ (9－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2]＝1.25. 知4－练 (3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由. 解：推荐甲参加全国比赛更合适. 理由如下：甲、乙的平均成绩相等，说明实力相当，但甲8 次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比乙稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适. 知4－练 感悟新知 7-1.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位： cm)的平均数与方差为 ͞x甲 = ͞x丙 =13 cm， ͞x乙 = ͞x丁 = 15 cm，s2甲= s 2丁 = 3.6 ， s 2乙 =s2丙=6.3. 则麦苗又 高又整齐的是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 D 变式训练 知4－练 感悟新知 7-2. [ 中考·青岛] 如图①和图②中的两组数据， 分别是甲、乙两地2024年5 月27 日至31 日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲_______ s2乙 (填“>”“=”“<”)。 < 知4－练 感悟新知 知5－讲 知识点 组内离差平方和(拓展点) 5 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 特别解读 在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一。虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的。 知5－讲 [荣德原创题] 在一次女子体操比赛中，10 名运动员的年龄(单位：岁)分别为：10，8，12，15，10，12，11，9，10，13。若想把10 名运动员分成两组，使每组运动员年龄差不多，且两组之间数据差别较明显，那么你将运用_________ 法进行分组。具体分组过程如下：将10 名运动员的年龄按从小到大排列 ______。 例8 考向：合理分组，使“组内离差平方和最小” 知5－练 把10 个数据分成两组，共有9 种情况： 情况 第一组 第二组 一 { 8 } {9，10，10，10，11，12，12，13，15} 二 {8，9} {10，10，10，11，12，12，13，15} 三 {8，9，10} {10，10，11，12，12，13，15} 四 {8，9，10，10} {10，11，12，12，13，15} 五 {8，9，10，10，10} {11，12，12，13，15} 六 {8，9，10，10，10，11} {12，12，13，15} 七 {8，9，10，10，10，11，12} {12，13，15} 八 {8，9，10，10，10，11，12，12} {13,15} 九 {8，9，10，10，10，11，12，12，13} {15} 知5－练 52 情况 平均数 组内离差平方和(精确到0.01) 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和 一 / 11.33 / 28 28 二 8.5 11.63 0.5 21.88 22.38 三 9 11.86 2 18.86 20.86 四 9.25 12.17 2.75 14.83 17.58 五 9.4 12.6 3.2 9.2 12.4 六 9.67 13 5.33 6 11.33 七 10 13.33 10 4.67 14.67 八 10.25 14 13.5 2 15.5 九 10.56 / 20.22 / 20.22 知5－练 53 通过计算得到，第 _____ 种情况得到的组内离差平方和最小，因此将10 名运动员按年龄大小分成两组为 ______。 解题秘方：按数据个数分组，求出每组的平均数，再计算各组的组内离差平方和，最后求和，和最小的分组即为所求。 知5－练 答案：组内离差平方和最小；8，9，10，10，10，11，12，12，13，15；六；{8，9，10，10，10，11}，{12，12，13，15} 知5－练 感悟新知 8-1. [荣德原创题]科研人员选出8 株植物，在同等实验条件下，测量他们光合作用的速率(单位：μmol·m2·s－1)。统计结果：35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和最小”法，则需将数据由 _____到 _______排序，在将这8 株植物分成两组时，共可以分成__________ 种情况。 小 变式训练 大 7 知5－练 平均数与方差 平均数 算术平均数 加权平均数 方差 标准差 离差平方和 众数 $$