专题15 图形的折叠与旋转（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题15 图形的折叠与旋转
题型概览
题型01 折叠问题
题型02 旋转问题
(
题型1
)折叠问题
1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、利用相似三角形的性质求解
【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得即是的高，再由中位线的性质求出，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：是的中位线，
，．
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：B ．
2．（2025·江苏南通·一模）在中，，，点D是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，连接交于点F，连接．两位同学进行探究，小明发现：；小丽发现：请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，轴对称的性质和勾股定理，设交于点，，连接，由已知，根据中点的定义知：，由勾股定理得，由折叠，根据“对称轴垂直平分对应点连线”可得：，，即有是的中位线，根据 “三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”得：，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证，根据“相似三角形对应边成比例”可得：，小明正确；从而可得：，在中，由勾股定理得，得到：，小丽错误，可得结论．
【详解】解：设交于点，连接、，如图：
∵点是线段的中点，
，
，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
，是的中位线，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，小明正确；
，
，
在中，由勾股定理，得，
∴，小丽错误，
故选：A．
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合
【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标．
【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数为，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，，
解得或，
∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，求得E、F的坐标是解题的关键．
4．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三线合一、矩形与折叠问题、由平行截线求相关线段的长或比值、求角的正弦值
【分析】由矩形和折叠的性质可证明，通过等腰三角形的性质得到为中点，则由平行线分线段成比例定理可得，那么设，则，再由正弦的定义即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
5．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（ ）
①；
②；
③当、、三点在一条直线上时，；
④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据，是边的中点，得出，，结合，表示出，即可得出，可判断①正确；根据，，得出，根据折叠可得，，设，则，，，得出，结合，证明可得，判断出②正确；当、、三点在一条直线上时，，得出，设，则，在中，勾股定理求解，判断出③正确；根据题意，延长交于点K，根据，得出，，证出点是中点，即可得，证明，得出，即可求出，判断出④正确；
【详解】解：∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
根据折叠可得，，
连接，
设，
，
，
，
，
，
又，
∴
，故②正确；
当、、三点在一条直线上时，，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，故③正确；
，
延长交于点K，
∵，
∴，，
∴点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：A．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定与性质及折叠的性质，设的中垂线与x轴交点为H，连接，易得，再根据点C是的中点，得到，求出，再证明，推出，由，求出，即可求出，得到，再结合折叠的性质可得，求出，进而求出，即得到，最后结合反比例函数位于第二象限，即可求解．
【详解】解：设的中垂线与x轴交点为H，连接，
则，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，即，
∴，
∵反比例函数位于第二象限，
∴．
故选：D．
二、填空题
7．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为 ．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分两种情形：当点落在线段上．当点落在线段上，分别求解即可．
【详解】解：当点落在线段上，如图所示；连接，过点作于点F．
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点落在线段上，过点作于点G，如图所示，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为或；
故答案为或．
8．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键．
连接交于点，通过直角三角形的性质得，结合折叠的性质证得，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点，
点为的中点，，
，
，
，
，
将沿着折叠，使点落在边的中点处，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
9．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题
【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，
∴，
∵折叠，
∴，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】解法一：过点C作，交的延长线于点F，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得， ，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则．
解法二：过点B作于点F，过点C作于点G，由题意易得，在中，， ，由折叠可知，由平行线的性质可得，进而得到，于是为直角三角形，， ，易证，由相似三角形的性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】解：解法一：如图，过点C作，交的延长线于点F，
∵四边形为平行四边形，，
，，，
，
，
，，
， ，
，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
在和中，
，
，
，
在中， ，
解法二：当点恰好落在上时，如图，过点B作于点F，过点C作于点G，
∵四边形为平行四边形，，
，，
，
，
在中， ，，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，即，
为等腰三角形，，
，
，
，，
，
∴，即，
，
设，
，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
，
）
故答案为：
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
11．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、三角形相似等知识，作轴于点，求出点的坐标即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
【详解】解：作轴于点，
由题意可知，，，，
矩形的顶点，
，，
，
点的对应点正好落在边的中点处，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
点落在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
12．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质定理、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，角平分线的性质，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，求出，解直角三角形得到，由折叠的性质和角平分线的性质得到，则可根据等面积法求出的长，再解即可求出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题、三角函数综合
【分析】过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，证明，设，则，根据勾股定理，得，解得，，利用三角函数解答即可．
【详解】解：过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，
则，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，将沿翻折到处，再将沿翻折到处，
∴，，，
∴，
∴
∴三点共线，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
解得，，
∴，
∴
解得，
∴，
∴
解得，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】．
14．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时， ；当以、、、为顶点的四边形是矩形时， ．
【答案】 6 或或
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出；第二空：分点在轴上和不在轴上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：根据题意得，当与重合时，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴；
当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①当点在轴上，如图，
此时，
∴；
②当点不在轴上，如图，
过点作于点，于点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，或，
综上，的值为：1或5或6；
故答案为：6；1或5或6．
15．（2025·江苏常州·一模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ．
【答案】/
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正切值
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性和矩形的性质可知，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
∴，
故答案为：．
16．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
则，，
∵为的中点，
∴，
∵的面积是的3倍，
∴，即，
∴，
由折叠可知，，，，，
过点作于点，
在中，，
，
在中，，
∴，则，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．作交于点H，根据两直线平行内错角相等得出，再由条件得出，然后根据矩形的性质得出，得出，从而出，再根据翻折性质得出，，，，证明得，然后利用勾股定理求出出，证明，利用相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】如图，作交于点H
∴
∵点是的中点，
∴
∵矩形
∴
∴
∴
根据翻折的性质可知，，，，
∴，
∴
∴
∴
解得
∴
∵，
∴
∴
∴
18．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】如图，连接，交于，过作于，过作于，证明，可得是的中点，反比例函数过点，证明，可得，求解，可得反比例函数，即，可得，，设，则，，由，解得：（舍去），再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，过作于，
∵矩形翻折，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是的中点，反比例函数过点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴反比例函数，即，
∵是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
设，则，，
由对折可得：，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∵矩形，结合对折，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题
19．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动．
(1)探究一：
A小组选择矩形纸片，操作步骤如下：
第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示；
第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角．
问题一：请证明
(2)探究二：
小组选择正方形纸片，操作步骤如下：
第一步：对折纸片，使与重合，折痕为；
第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，；
由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出.
问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出
(3)综合运用：
如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到．
①当时，______．
②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①；②．
【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、圆的基本概念辨析、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由折叠的性质得到，再利用特殊角的三角函数值，求解即可；
（2）设，由折叠的性质得，，在中，由勾股定理可求得，为正三角形，求得，由折叠的性质得，再根据正切函数的定义求解即可；
（3）①利用角的正切函数的定义求解即可；
②求得点在以G为圆心为半径的圆上运动，当D、、G共线时，的值最小，据此可求得的最小值；设，利用勾股定理得到，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，，，
∴，
在中，，
∴，即；
（2）解：由折叠的性质得，，，
∴，
∴，
设，
由折叠的性质得，，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，即，
∵为正三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴；
（3）解：①∵，是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②由题意得：，
∴，，
∴点在以G为圆心为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、、G共线时，的值最小，
∵，
∴，
设，则，，连接，
∵，由勾股定理得，即，解得，即．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025·江苏泰州·一模）在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作后，发现了很多有趣的数学问题．
【观察证明】
问题1：一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？
如图1，长方形纸片中，，，小组成员小明在长方形纸片中，已经剪出8个腰长为2的等腰直角三角形（如图1所示）．小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形中还能再剪出1个腰长为2的等腰直角三角形．请你在图1长方形中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚的说法是正确的．
【操作实践】
问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形？
如图2，小组成员小东按图2步骤折叠正方形．最后从线段 处剪开，并展开纸片，得到了正六边形．若原正方形边长为6，则折出的正六边形的边长为 ．
【答案】观察证明：见解析；操作实践：，3
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
观察证明：根据题意作出图形，根据题意得出，过点作，垂足为，，结合线段长度记录得出结果；
操作实践：根据题意得出， 再由直角三角形的性质及平行线的性质确定，根据折叠问题确定，结合图形即可求解．
【详解】解：观察证明：如图，为符合条件的示意图，其中，，
∴，
过点作，垂足为，，
∵，，
∴，，
∴能再剪1个腰长为2的等腰直角三角形；
操作实践：根据折叠过程，如图所示标注字母：
根据题意得：，
∴点F为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
根据题中折叠，得出，
∴为等边三角形，
∴最后从线段处剪开，并展开纸片，得到了正六边形；
∵正方形边长为6，
∴，
∴折出的正六边形的边长为3，
故答案为：，3．
21．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】
如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上的一个动点．连接并延长交于点F，将四边形沿着直线折叠，点A的对称点是点，点B的对称点是点．点E从点A出发，沿着运动，当点B'与点D重合时，运动停止．
【解决问题】
(1)判断的形状；
(2)设，，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）；
(3)如图2，连接交于点H．当时，求的值．
【答案】(1)是等腰三角形，
(2)；
(3)．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）利用平行线的性质结合折叠的性质，即可证明，推出，即可证明是等腰三角形；
（2）过点作于点，求得，，，在中，由勾股定理列式计算即可求解；
（3）先求得，，连接，在中，，推出，作于点，取的中点，连接，计算得出和是等腰直角三角形，得到点与点重合，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等腰三角形，
由折叠的性质得，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵点O为矩形的对称中心，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）知，
∴，
∴，
整理得，
∴；
（3）解：当时，，
∴，，
连接，
∵点O为矩形的对称中心，
∴点O在对角线上，且，
在中，，
∴，
作于点，取的中点，连接，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴点与点重合，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
22．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应．
(1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在的延长线上，求的长；
(3)当与菱形的边垂直时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)或
【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用尺规作图作，在上截取，连接，即为所求；
（2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解；
（3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得，
分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）菱形中，，，
∴，
由折叠可知，，，，
∵点在的延长线上，
∴，
在中，，
∴，，
∴；
（3）菱形中，，，，
由折叠可知，，，，，
∴，
当时，垂足为，
在中，，则，
∴，
在中，，
∴；
当时，垂足为，过点作，
∵，
∴，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，设，，
∴，
又∵，
∴，则，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，理解相关图形的性质，作出图形是解决问题的关键．
23．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明．
（2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：．
【深入研究】若，直接写出的值．
【答案】[操作判断]；[ 探究证明]（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；[深入研究]
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[ 探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；
（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此；
[深入研究]
结合 [ 探究证明]（1）中，，根据勾股定理可求出，由[ 探究证明]（2）知：，则，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】[操作判断]
解：如图，
由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：45；
[ 探究证明]
（1）解：是等腰直角三角形
理由：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，
由翻折得，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究]
解：由[ 探究证明]（1）知：，，
∴，
由[ 探究证明]（2）知：，
∴，
由[ 探究证明]（1）知：，
∴，
由翻折得，
又，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
24．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段的长．
【答案】(1)为的切线．理由见解析；
(2)线段的长为
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、切线的性质和判定的综合应用、正多边形和圆的综合、折叠问题
【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线；
（2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可．
【详解】（1）解：与相切．
理由如下：
四边形为正方形，
，
正方形沿折叠，使得点恰好落在上，
，
，
在和中，
，
，
，
为的半径，
为的切线：
（2）由（1）得，
，
点O、、E共线，
设，则，
，
为的直径，
，
，
在中，，
解得
即线段的长为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
25．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、根据正方形的性质求线段长、折叠问题
【分析】本题考查了正方形的折叠问题．
（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可．
∵，，
∴．
∵，分别是，的角平分线，
∴
∴
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
即，
∵
∴
26．（2025·江苏镇江·一模）一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分．
(1)请说出点将边三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段．
(2)请说出被、三等分的理由；
(3)如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由，得到，求得，易证，再根据相似三角形的性质可推出，即可得到结论；
（2）由折叠的性质得到，，，，求得，，利用三角函数可知，于是得到和三等分；
（3）由折叠的性质得到，，，，易证，根据全等三角形的性质得到，设，，，最后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点将边三等分；
（2）解：由折叠的性质可知，，，，，
，，
，
，
，
，，
，
和三等分；
（3）解：由折叠的性质得，，，，，
，
，
，，
，
，，
设，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．
27．（2025·江苏南通·一模）综合与实践：
【回归教材】
八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，，
这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．
大边所对的角越大．
从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法．
类比探究“在三角形中，大角对大边”．
（1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）．
【进阶思考】
（2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：．
【拓展运用】
（3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）>；（2）见解析；（3）．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略．
（1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论．
（3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可
【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）如图3，延长到点，使，连接，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，
设与相似比为，
∴，，，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∴，
∴，
即
28．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点．
(1)连接，将沿折叠得到．
①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______；
②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)①；②见解析
(2)定值4，理由见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可；
②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可；
（2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解．
【详解】（1）解：①∵正方形，，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
即，
故答案为：；
②如图，点E即为所求，
理由：由作图知，
∵
∴，
又，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴B、关于对称，
又，
∴点E符合题意；
（2）解：的值为定值4，
理由如下；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值为定值4．
29．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E．
(1)证明：；
(2)当时，
①证明：为的切线；
②若，，则_____．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】证明某直线是圆的切线、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，翻折的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据翻折的性质得出，再由等角对等边确定，利用等量代换及平行线的判定即可证明；
（2）①根据题意得出，再由折叠的性质确定，利用等量代换及切线的判定即可证明；②根据题意设，则，然后利用勾股定理得出方程确定，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示：
∵沿翻折，得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又为的半径，
∴为的切线；
②解：∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
故答案为：．
30．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，．
(1)当点与点A重合时，求的长；
(2)求的值；
(3)求y与x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据题意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解；
（2）过点作，交于，则四边形是矩形，，由题意可知，进而可知，证得，得，再根据即可求解；
（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，得，由翻折可得：，得，则，进而可知，则，即，求得，，再证，得，列出等式即可求解．
【详解】（1）解：∵点与点A重合
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，即，
解得：，即；
（2）过点作，交于，则四边形是矩形，
∴，
由题意可知，
∴，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，
由（2）可知，则，，
同（2）可证，
∴，
由翻折可得：，
∴，则，
∴，则，
即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，矩形的性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解决问题的关键．
31．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）．
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论；
②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解；
（3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∴，
在中，，
∴圆心到弦的距离；
（2）过点作于点，延长交于点，则，如图：
由平称的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形；
②连接，过点分别作于点，于点，则，如图：
由（1）知，，由（2）同理可得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
（3）由题意，对称轴经过圆心，
∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2，
由（2）同理可得：为矩形，且，
∴或，
∴点在以为圆心，或为半径的圆上，
当时，，
当时，，
综上：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键．
32．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到，
(1)如图1，若E、F、D三点共线，
①求证：；
②若，，求的长．
(2)如图2，若，点E是中点，，求的面积．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而；
②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得；
（2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案．
【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形，
，
，
将沿着翻折到，
，
，
；
②将沿着翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
由①知，
，
，
，
；
（2）过作于，过作于，如图：
为中点，，
，
将沿着翻折到，
，，，
，即，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，即，
设，则，
，，
，
，
解得或（舍去），
，
，
的面积为．
(
题型
2
)旋转问题
1．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识，先根据已知求得，，过O作于M，利用锐角三角函数和矩形的判定与性质分别求得，，在中，解利用锐角三角函数定义求得，进而求解即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，，
过O作于M，则，
∵将绕边中点O旋转，且，得到，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、位似图形的识别、利用平移的性质求解
【分析】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解．
【详解】解：①如图，
假设沿所在直线向下平移得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以经过一次平移和一次位似可以得到，
故①正确；
②如图，
假设绕点C旋转，得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以经过一次旋转和一次位似可以得到，
故②正确；
③两次轴对称之后，可以看作一次平移，
所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到，
故③正确；
④如图，
假设先沿所在直线轴对称，得到，
再绕点O旋转得到，
由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形，
故④错误；
故选：A．
3．（2025·江苏无锡·一模）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理．利用旋转变换的性质得到，，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知：，，
，
，
．
故选：B．
4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】由旋转性质可知，故有，，再通过平行线的性质得出，又，则，最后由三角形内角和定理即可求出旋转角．
【详解】解：由旋转性质可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即旋转角为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
5．（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，理解旋转的对应点到旋转中心的距离相等．
根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：连接，分别作两条线段的垂直平分线交于点P，如图所示：
∴点P即为旋转中心，坐标为，
故选：B
二、填空题
6．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为 ．
【答案】
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能构造出相似三角形是解题的关键．
连接，证明， 得，设，，可得，得，即可得结论．
【详解】解：连接，
，
，
又，
，
，
设，，
，
得，
同除得，
解得（舍负）．即
故答案为：．
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ．
【答案】或
【知识点】根据旋转的性质求解、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】根据旋转和正方形的性质证明出，设，然后分两种情况讨论：当落在线段上时和当点落在线段的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和勾股定理表示出相应的线段求解即可．
【详解】∵正方形的对角线与相交于，
∴，，
∵将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴
∴
设
如图1，当落在线段上时，设与交于点E，连接交于点F，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴；
如图2，当点落在线段的延长线上时，设与交于点I，连接交于点L，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正切值等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ．
【答案】
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
，
由旋转得，，，
，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
．
故答案为：．
9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ．
【答案】 /度 /
【知识点】判断确定圆的条件、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设相交于点，先证明，得到，求出，即可得到；设到的距离为，，以为底边，当最大时，面积的最大，四点共圆，当垂直且通过圆心时，的值最大，求出面积的最大值为，即可得到答案．
【详解】解：如图，设相交于点，
在中，，，
绕点沿顺时针方向旋转后得到，
，，，
，，
，
，
，
；
设到的距离为，
，以为底边，当最大时，面积的最大，
，
四点共圆，
，
为此圆直径，
当垂直且通过圆心时，的值最大，
此时，
面积的最大值为；
故答案为：，．
10．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知是边长为4的等边三角形，将它绕着边的中点旋转一周，得到，连接、，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，由等边绕着边的中点旋转一周，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的另一个交点为，当最小时，上的高最大，此时，记垂足为，即上的高为，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
记与的另一个交点为，
如图，
∴重叠部分的面积为上的高，
当最小时，上的高最大，
此时，记垂足为，即上的高为，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
故答案为：．
11．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为，再求出点关于原点对称的点坐标为，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴绕原点O旋转点坐标为，
∴，
∴所得到的图象对应的函数表达式：，
故答案为：．
12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】连接，作，再说明点A，E，C，B，F共圆，进而得出，，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可得，再根据面积相等求出，结合题意说明四边形是矩形求出，最后根据得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，作，分别交于点M，H，
∵，
∴点A，E，C，B，F共圆，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
由题意，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键．
三、解答题
13．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点．
(1)求、两点的坐标；
(2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值．
【答案】(1)，
(2)为定值，
(3)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、抛物线与x轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积最值问题等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用．
（1）根据函数图象的性质，当函数值为0时转化成一元二次方程，解一元二次方程即可得到交点坐标；
（2）过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点，证明得出，
求出相关点的坐标，求得线段长度即可求比值；
（3）连接，求出抛物线的解析式，联立解析式求得，分析三角形何时面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：当抛物线解析式函数值为0时得，
整理得
解得，
∴，；
（2）解： 为定值，定值为2，理由如下：
如图所示，过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点，
∵,
∴，
即，
假设直线的解析式为，将代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
通过抛物线解析式可求，则，
∴，
；
（3）解：如图所示，连接，
假设抛物线的解析式为
根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得，
∴抛物线的解析式为，
联立抛物线和得
解得
∴
由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，,
当点在轴上时，的面积最大，即面积的最大，值为4，
，
解得．
14．（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考：
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论；
（类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解；
（延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答．
【详解】（探究发现）解：，
理由如下：
∵点和点为分别为中点，
∴，
，
∴，
，
，
，
根据旋转的性质可得：，
，
，
即．
（类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点，
，
，
，
∴当所在直线经过点时，，
根据勾股定理可得：，
由（探究发现）可得：，
，
解得：；
（延伸思考）解：过点作于点，
根据题意可得：，
，
，
，
∵，
，
根据旋转的性质可得：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
15．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式；
（2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可；
（3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵为直角三角形，，
∴，
∴，
∵、，
∴，
则，解得，
设抛物线，
将点代入得，解得，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图，
则点A和点B到线段的距离相等，
∴，
令，则，解得（舍去），，
∴点，
若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点，
设直线的表达式为，则
，解得，
则直线的表达式为，
联立解得（舍去）或，
∴，
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得，
∴，，，
当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
∵旋转后与抛物线相切，
∴，
∴，
解得，
则直线的解析式为，
∵在直线上，
∴，解得，
则时与抛物线没有公共点；
当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图，
则，解得，
∴当时与抛物线没有公共点，
综上所述，或与抛物线没有公共点．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转．
16．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______．
（2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由．
（3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角．
【答案】（1）；；（2）线段可看作线段沿方向，平移得到；（3）
【知识点】利用平移的性质求解、找旋转中心、旋转角、对应点、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可；
（2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，从而证明，，即可得出结论；
（3）连接，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为所求作的点；根据旋转的性质可得，，进而可得，根据得出，则，即可得出，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段沿方向平移得到，平移的距离为p．
（2）连接，，如图所示：
根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点，
∴，，，，
∴，，
∴线段可看作线段沿方向，平移得到．
（3）如图，点O即为所求作的旋转中心；
如图，延长，交于点，
∵线段绕旋转得到线段，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即与的夹角为，
∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，画旋转图形，中位线的性质，四边形内角和，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键；
17．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．
(1)如图②，求初始时点到的距离；
(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）
【答案】(1)点到的距离约为
(2)点在竖直方向上升了
【知识点】相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质；
（1）过作于，在根据代入计算即可；
（2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可．
【详解】（1）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（2）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
18．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转．
在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，．
【初步探究】
（1）与的数量关系是______；
【尝试解决】
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展提升】
（3）已知，，求直线与直线垂直时的值．
【答案】（1）
（2）四边形为菱形，理由见解析
（3）或
【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形
【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可；
（2）由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形；
（3）在中求得，结合中点可得，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，则，可得，可求得，，即可得，求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，则，得，，则，可求得，利用勾股定理即可．
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形 是矩形；
∴，
∴．
∵点O为的中点，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
故答案为：．
(2) 四边形为菱形， 理由如下∶
∵旋转得到，
∴，．
∵四边形为矩形；
∴．
∴，
∴， ；
∴．
∴．
∴．
由 (1) 得 ，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）在中，
∵，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，
如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，
则，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，
则，
，
，
，
∴，
∴，
故两点间的距离为或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形．
19．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，为上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段（点在内部），连接．设，的面积为．
(1)求与的函数表达式；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
（1）过点D作于点M，过点F作，交的延长线于点N，过点F作于点P，得四边形为矩形，得，证明得，设，则，，，，再由可得答案；
（2）利用配方法得，根据二次函数的性质即可得最值．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点M，过点F作，交的延长线于点N，过点F作于点P，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）解：，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值．
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专题15 图形的折叠与旋转
题型概览
题型01 折叠问题
题型02 旋转问题
(
题型1
)折叠问题
1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南通·一模）在中，，，点D是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，连接交于点F，连接．两位同学进行探究，小明发现：；小丽发现：请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（ ）
①；
②；
③当、、三点在一条直线上时，；
④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．
7．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为 ．
8．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ．
9．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
11．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ．
12．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．
13．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是 ．
14．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时， ；当以、、、为顶点的四边形是矩形时， ．
15．（2025·江苏常州·一模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ．
16．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ．
17．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，则的长为 ．
18．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ．
19．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动．
(1)探究一：
A小组选择矩形纸片，操作步骤如下：
第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示；
第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角．
问题一：请证明
(2)探究二：
小组选择正方形纸片，操作步骤如下：
第一步：对折纸片，使与重合，折痕为；
第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，；
由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出.
问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出
(3)综合运用：
如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到．
①当时，______．
②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由．
20．（2025·江苏泰州·一模）在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作后，发现了很多有趣的数学问题．
【观察证明】
问题1：一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？
如图1，长方形纸片中，，，小组成员小明在长方形纸片中，已经剪出8个腰长为2的等腰直角三角形（如图1所示）．小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形中还能再剪出1个腰长为2的等腰直角三角形．请你在图1长方形中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚的说法是正确的．
【操作实践】
问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形？
如图2，小组成员小东按图2步骤折叠正方形．最后从线段 处剪开，并展开纸片，得到了正六边形．若原正方形边长为6，则折出的正六边形的边长为 ．
21．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】
如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上的一个动点．连接并延长交于点F，将四边形沿着直线折叠，点A的对称点是点，点B的对称点是点．点E从点A出发，沿着运动，当点B'与点D重合时，运动停止．
【解决问题】
(1)判断的形状；
(2)设，，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）；
(3)如图2，连接交于点H．当时，求的值．
22．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应．
(1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在的延长线上，求的长；
(3)当与菱形的边垂直时，求的长．
23．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明．
（2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：．
【深入研究】若，直接写出的值．
24．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段的长．
25．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
26．（2025·江苏镇江·一模）一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分．
(1)请说出点将边三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段．
(2)请说出被、三等分的理由；
(3)如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ．
27．（2025·江苏南通·一模）综合与实践：
【回归教材】
八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，，
这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．
大边所对的角越大．
从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法．
类比探究“在三角形中，大角对大边”．
（1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）．
【进阶思考】
（2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：．
【拓展运用】
（3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由．
28．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点．
(1)连接，将沿折叠得到．
①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______；
②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由．
29．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E．
(1)证明：；
(2)当时，
①证明：为的切线；
②若，，则_____．
30．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，．
(1)当点与点A重合时，求的长；
(2)求的值；
(3)求y与x的函数关系式．
31．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究．
问题背景：
（1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，．
①求证：四边形是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围．
32．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到，
(1)如图1，若E、F、D三点共线，
①求证：；
②若，，求的长．
(2)如图2，若，点E是中点，，求的面积．
(
题型
2
)旋转问题
1．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2025·江苏无锡·一模）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为 ．
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ．
8．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ．
9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ．
10．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知是边长为4的等边三角形，将它绕着边的中点旋转一周，得到，连接、，则面积的最大值为 ．
11．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ．
13．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点．
(1)求、两点的坐标；
(2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值．
14．（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
15．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________．
16．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______．
（2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由．
（3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角．
17．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．
(1)如图②，求初始时点到的距离；
(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）
18．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转．
在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，．
【初步探究】
（1）与的数量关系是______；
【尝试解决】
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展提升】
（3）已知，，求直线与直线垂直时的值．
19．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，为上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段（点在内部），连接．设，的面积为．
(1)求与的函数表达式；
(2)求面积的最大值．
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