专题18 锐角三角函数及其应用（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题18 锐角三角函数及其应用 题型概览 题型01 锐角三角函数应用（选填小题） 题型02 锐角三角函数应用（解答题） 题型 03 解三角形问题 ( 题型1 )锐角三角函数应用（选填小题） 一、选择题 1．（2025·江苏南通·一模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．（2025·江苏南通·一模）如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（   ） A．m B．m C．m D．m 二、填空题 3．（2025·江苏南通·一模）如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为 m（参考数据：，，）． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，则铁塔的高度为 ．（结果保留根号） 5．（2025·江苏扬州·一模）图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 （结果保留根号）． 6．（2025·江苏盐城·一模）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是 ． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 8．（2025·江苏宿迁·一模）秋千吊绳的长度为3米，当秋千摆动时，吊绳向两边摆动的角度均为．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为 ．（结果精确到0.1米，参考数据：） ( 题型 2 )锐角三角函数应用（解答题） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 3．（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，． 【拓展应用】 如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出建筑物的高度． 参考数据：，，． 4．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 5．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 6．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 7．（2025·江苏苏州·一模）苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为． (1)求； (2)求楼房的高度(结果保留根号)． 8．（2025·江苏苏州·一模）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 9．（2025·江苏淮安·一模）在学校组织的实践活动中，初三3班数学兴趣小组决定利用所学知识测量文通塔的高度，如图，小明同学先在运河边的处放置好测倾器，测得塔尖的仰角为，接下来向前走之后到达处，测得此时塔尖的仰角为，已知测倾器的高度为，点，，在同一直线上，求文通塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，） 10．（2025·江苏徐州·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆绕着支点转动．当碓头被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线相交于点于点． (1)若分米，分米，，求此时点到水平线的距离（结果精确到1）．（参考数据：） (2)当点下落至时水平线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 11．（2025·江苏南京·一模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 12．（2025·江苏宿迁·一模）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．如图是一辆自行车的侧面示意图．已知车轮直径为，车架中的长为，座杆的长为，点在同一条直线上，后轴轴心与中轴轴心所在直线与地面平行，．求车座到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 13．（2025·江苏南京·一模）南京青奥双子塔是南京的地标建筑物之一，对南京人民具有重要的生活意义．小文家住在双子塔附近，从她家阳台能看见双子塔．如图，和是双子塔，小文从阳台正好能看见双子塔的塔顶在一条直线上，已知她眼睛距离地面米，测得仰角为，此时她操控无人机竖直向上飞了秒到达点处（无人机速度不变），测得塔顶的仰角为，又继续操控无人机竖直向上飞了秒到达处，测得塔顶的仰角为，已知双子塔间的距离为米，求双子塔和的高度（结果精确到）． （参考数据：） 14．（2025·江苏南京·一模）如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 15．（2025·江苏苏州·一模）某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆可绕A点旋转，支撑杆的一端与杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆的长度的长度为，点A到的距离为． (1)千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求的长； (2)如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 16．（2025·江苏泰州·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 17．（2025·江苏泰州·一模）如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底． (1)求坝高； (2)求迎水坡的坡角的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 18．（2025·江苏泰州·一模）图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 19．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 20．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 21．（2025·江苏南京·一模）如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东；在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：．） 22．（2025·江苏连云港·一模）美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西方向上，点在北偏西方向上． (1)，两点间的距离为______米； (2)求的长．（参考数据：（，，，） 23．（2025·江苏徐州·一模）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据： ，，，） (1)求车架档的长； (2)求点到的距离． 24．（2025·江苏宿迁·一模）如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 25．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） ( 题型 3 )解三角形问题 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论： ①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．若，则的值为 ． 11．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ． 13．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为 ． 15．（2025·江苏泰州·一模）在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 锐角三角函数及其应用 题型概览 题型01 锐角三角函数应用（选填小题） 题型02 锐角三角函数应用（解答题） 题型 03 解三角形问题 ( 题型1 )锐角三角函数应用（选填小题） 一、选择题 1．（2025·江苏南通·一模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：D． 二、填空题 3．（2025·江苏南通·一模）如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为 m（参考数据：，，）． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键． 设，则，在中，，由求出，根据在中，，即可列方程求解． 【详解】解：如图，依题意得：四边形、四边形都是矩形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴ ∵在中，，， ， 解得． 塔的高度约为米． 故答案为. 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，则铁塔的高度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形， 根据题意， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴铁塔的高度为 故答案为：． 5．（2025·江苏扬州·一模）图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 （结果保留根号）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，于点，于点，交于点，得到四边形是矩形，求出，，得到打开后电饭煲的最大高度是，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，于点，于点，交于点， ，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 打开后电饭煲的最大高度是， 故答案为：． 6．（2025·江苏盐城·一模）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解求出、，再解求出即可．解决本题的关键是求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 【详解】解：如图， 由题意得：，，，海里， 在中，，， 海里， 海里， 在中，，， 海里， 海里， 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·一模）秋千吊绳的长度为3米，当秋千摆动时，吊绳向两边摆动的角度均为．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为 ．（结果精确到0.1米，参考数据：） 【答案】米 【知识点】垂径定理的实际应用、其他问题（解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理的应用，解题的关键是将实际问题抽象为几何问题．设秋千摆至最低点时的位置为，连接，交于，当秋千摆至最低点时，点为弧的中点，由垂径定理的推论知，，再解直角，求得，进而求出即可． 【详解】解：如图，设秋千摆至最低点时的位置为，连接，交于， 由题意得， 点为弧的中点，经过圆心， ，，， ∵，， ∴在中，，， ， 即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为米， 故答案为：米． ( 题型 2 )锐角三角函数应用（解答题） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点在竖直方向上升了 【知识点】相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过作于，在根据代入计算即可； （2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （2）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 3．（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，． 【拓展应用】 如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出建筑物的高度． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于添加辅助线． （1）作，连接，作的垂直平分线交于点，连接，则四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质以及三角形的外角定理得到，由，设，则，设，在中，由勾股定理得，解得：，由即可求解； （2）设，作的垂直平分线交于点，连接，则导角可得，设，在中由勾股定理得到，解得：，可得，再由即可求解． 【详解】（1）解：如图，作，连接，作的垂直平分线交于点，连接， 由题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∵， ∴设，则， 设， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴设， 作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：建筑物的高度为米． 4．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题（解直角三角形的应用）、已知三视图求边长 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 【答案】100m 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点分别作，，垂足为点，先求出，解，可设，由勾股定理得，确定为等腰直角三角形，则，由，求出，则即可求解，解 设，，解可得，由，求出，即可求解，最后由即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∵在中，， ∴设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴设， 同理可得：， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：两棵树之间的距离为． 6．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】灯泡到地面的高度为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为．在中，利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∴四边形为矩形， 在中，， ． 四边形为矩形， ． ∵， ． ． 在中，， ． ． 答：灯泡到地面的高度为． 7．（2025·江苏苏州·一模）苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为． (1)求； (2)求楼房的高度(结果保留根号)． 【答案】(1) (2)米 【知识点】等腰三角形的性质和判定、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设相交于点，根据题意得到，即可得到； （2）先求出，再求出，得到，求出米． 【详解】（1）解：如图，设相交于点 ， ， ； （2）解：， ， ， 米， ， ， 米， ， ， 米， 8．（2025·江苏苏州·一模）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】11.5尺 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺． ∴，即(尺)， ∵， ∴，即(尺)， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为(尺)． 答：春分和秋分时日影长度11.5尺． 9．（2025·江苏淮安·一模）在学校组织的实践活动中，初三3班数学兴趣小组决定利用所学知识测量文通塔的高度，如图，小明同学先在运河边的处放置好测倾器，测得塔尖的仰角为，接下来向前走之后到达处，测得此时塔尖的仰角为，已知测倾器的高度为，点，，在同一直线上，求文通塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】文通塔的高度为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．如图，延长交于点G，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，，，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， 根据题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，经检验符合题意， 即， ∴， 答：文通塔的高度为． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆绕着支点转动．当碓头被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线相交于点于点． (1)若分米，分米，，求此时点到水平线的距离（结果精确到1）．（参考数据：） (2)当点下落至时水平线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)4分米 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、其他问题（解直角三角形的应用）、作线段(尺规作图)、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）延长交l于D，过B作于E，在中，根据正切的定义求出的长度，进而求出的长度，在中，根据正弦的定义求出的长度即可； （2）连接，以C为顶点，在的下方作，然后在截取即可． 【详解】（1）解：延长交l于D，过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴点到水平线的距离为4分米； （2）解：如图，点即为所求， ． 11．（2025·江苏南京·一模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 12．（2025·江苏宿迁·一模）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．如图是一辆自行车的侧面示意图．已知车轮直径为，车架中的长为，座杆的长为，点在同一条直线上，后轴轴心与中轴轴心所在直线与地面平行，．求车座到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得，再解可得，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：车轮直径为， ， 在中， ，， ， ， 答：车座到地面的距离约为． 13．（2025·江苏南京·一模）南京青奥双子塔是南京的地标建筑物之一，对南京人民具有重要的生活意义．小文家住在双子塔附近，从她家阳台能看见双子塔．如图，和是双子塔，小文从阳台正好能看见双子塔的塔顶在一条直线上，已知她眼睛距离地面米，测得仰角为，此时她操控无人机竖直向上飞了秒到达点处（无人机速度不变），测得塔顶的仰角为，又继续操控无人机竖直向上飞了秒到达处，测得塔顶的仰角为，已知双子塔间的距离为米，求双子塔和的高度（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】双子塔的高度为米，的高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键． 根据题意，设无人机的速度为，利用三角函数值列出对应方程，求解即可． 【详解】解：如图，设无人机的速度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：双子塔的高度为米，的高度为米． 14．（2025·江苏南京·一模）如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作航线于点，过点作，过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】解：过点作航线于点，过点作，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， 由题意，得：，设，则： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 即：港口到航线的距离为． 15．（2025·江苏苏州·一模）某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆可绕A点旋转，支撑杆的一端与杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆的长度的长度为，点A到的距离为． (1)千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求的长； (2)如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的长度为 (2)点C滑动的距离的长度为 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，股股定理，矩形的判定与性质： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，设，求出．然后在中，根据勾股定理求出的值，即可解答； （2）过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为，则四边形都是矩形，解直角三角形求出，，，，，勾股定理求出，在中，，即可求出，由，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ， ， 设， ， ． ， 在中，． ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴ 答：的长度为； （2）解：过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为， 则四边形都是矩形， ∴， 由题意可知， 在中，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 答：点C滑动的距离的长度为． 16．（2025·江苏泰州·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 【答案】楼与之间的距离约为 【知识点】含30度角的直角三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，则，根据题意得出，延长交所在直线于点，则，确定，然后利用含30度角的直角三角形的性质及矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为点，则． 由题意：，， ． ． 延长交所在直线于点，则， ，， ． ． 在中，，， ． ． ． 根据题意得：四边形为矩形． ． ． 答：楼与之间的距离约为． 17．（2025·江苏泰州·一模）如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底．    (1)求坝高； (2)求迎水坡的坡角的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点分别作的垂线，垂足分别为，得出四边形是平行线四边形，根据背水坡的坡度（即）为，设， 则，勾股定理求得，进而得出，即可求解； （2）解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则    ∴ ∵梯形 ∴ ∴四边形是平行线四边形， ∵ ∴四边形是矩形，则 ∵背水坡的坡度（即）为，则 设， 则 ∴ 在中，， ∴ ∴即坝高为 （2）解：∵坝底，坝顶， ∴ ∴ ∵ ∴迎水坡的坡角的度数约为 18．（2025·江苏泰州·一模）图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)最远端点到墙壁的距离为 (2)的长为 【知识点】利用菱形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、、共线，，最后计算即可； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即点、、、共线， ∵， ∴， ∴， 答：最远端点到墙壁的距离为； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等， 当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点到墙壁的距离为， 此时，， ∵， ∴， 连接，过点作于点， ∵ ∴，， 在中，， 当在点处时，此时， 过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、其他问题（解直角三角形的应用）、切线的性质定理 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 20．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 【答案】(1)点C到的距离为 (2)点D到的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点E，由锐角三角函数定义求出的长即可； （2）过点D作于点F，过点D作于点G，则四边形是矩形，得，由（1）可知，，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，过点C作于点E，则， 在中，， ， 答：点C到的距离为； （2）解：如图2，过点D作于点F，过点D作于点G， 则四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， ， ， 答：点D到的距离约为 ． 21．（2025·江苏南京·一模）如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东；在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：．） 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查方位角，直角三角形的勾股定理，矩形的综合，掌握方位角构成直角三角形，矩形等，并熟练运用矩形的性质，勾股定理是解题的关键．如图所示（见详解），过点作于，过点作于，可证四边形是矩形，，是直角三角形，根据矩形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，过点作于， ∵在处测得点在正北处，点在北偏东，点、、在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，即，， 在处测得点在北偏东，点在北偏西，， ∴在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴（米）， ∴、两个小区的物业服务中心距离是． 22．（2025·江苏连云港·一模）美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西方向上，点在北偏西方向上． (1)，两点间的距离为______米； (2)求的长．（参考数据：（，，，） 【答案】(1) (2)米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： （1）根据，即可求解； （2）作于点，则，分别解和，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意， ∴， 故答案为：； （2）解：作于点，则． 由题意知：，，． 则． 所以在中，． 即．所以． 在中，．即． 所以．所以． 答：的长为60米． 23．（2025·江苏徐州·一模）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据： ，，，） (1)求车架档的长； (2)求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、解分式方程（化为一元一次）、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意作出适当的辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，得出，设，则，根据即可求解的值． 【详解】（1）解：，， ． 答：车架档的长． （2）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ． 答：点到的距离． 24．（2025·江苏宿迁·一模）如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定与性质，过点作交于点，过点作于点，则四边形为平行四边形，分别求出、，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作于点， 由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴窗户顶端到地面的距离为． 25．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） 【答案】(1)铁塔的高度约为米 (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）设铁塔的高度为米，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据建立方程，解方程即可得； （2）先求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形即可得． 【详解】（1）解：设铁塔的高度为米， 由题意得：，，米， ∵， ∴在中，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得（米）， 答：铁塔的高度约为米． （2）解：由题意得：，， 由（1）可知，米， ∵， ∴在中，米， ∵， ∴在中，（米）， 故答案为：米． ( 题型 3 )解三角形问题 一、单选题 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、解非直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、求某点的弧形运动路径长度、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 3．（2025·江苏南通·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作线段(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形性质和解直角三角形，构造直角三角形，利用三角函数转化线段关系是解题关键． 过点作，垂足为交于过点作，垂足为，设，根据等腰三角形性质可得，，再利用，证明，可得，，进而表示各条线段长，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴过点作，垂足为交于过点作，垂足为， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 解并检验得：， ∴， 故选：A． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识，先根据已知求得，，过O作于M，利用锐角三角函数和矩形的判定与性质分别求得，，在中，解利用锐角三角函数定义求得，进而求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 过O作于M，则， ∵将绕边中点O旋转，且，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可得到的边长，进而求出的长．过点E作于点F，在中，通过解直角三角形求出，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为8， ∴， 过点E作于点F， ∴在中，， ∴． 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设,则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设, 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故选B． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于，则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴，则， ∵，则设，， ∴，，， 则， ∴， ∴， 故选：A． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论： ①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的性质，结合等面积法可判断①结论；证明，设，利用相似三角形对应边成比例得到二次函数，利用配方法求最值，可判断②结论；利用相似三角形对应边成比例，可判断③结论；过点作于点，设，通过解直角三角形，得到，，利用勾股定理构造二次函数求最值，可判断④结论． 【详解】解：若为的中点，连接， ，为的中点， ， 在中，， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， , 即若为的中点，则的最小值为，①结论正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 当，即时，有最大值为， 即若，则的最大值为，②结论正确； ， ， ， ，, ， ， ， 即若，则的值小于4，③结论错误； 当时，如图，过点作于点， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 令， 则， ， 当时，有最小值，则有最小值， 即当时，有最小值，④结论正确 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，二次根式的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值问题等知识，掌握相关知识点是解题关键． 二、填空题 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，垂径定理．过点作，过点作，根据，设，进而求出半径的长，勾股定理求出的长，垂径定理求出的长，进而求出的长，等积法求出的长，再利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴设， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，连接交于，设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接交于，设正方形的边长为， ，， ， ， ， ， 和为正方形，、为对角线， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 则，， ∵为的中点， ∴， ∵的面积是的3倍， ∴，即， ∴， 由折叠可知，，，，， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出即可求解． 【详解】解： ①如图所示， 根据题意得，， 则， 根据翻折的性质可得，，， 在中，由勾股定理得， ,, ， 又， ， ； ②如图所示，，， 则， ∴在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并根据题意构造出图形进行求解． 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，一元二次函数的应用等知识，过点作交于点， 根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，过点作，则，设，则，，根据勾股定理求出，得出，，取的中点，连接，则，求出，要使最小，则要最小，在中，，当时，取最小值，最小值为，求出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，则， ∵是中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 要使最小，则要最小， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为， 此时， ∴最小值为(负值已舍去)， 故答案为：． 15．（2025·江苏泰州·一模）在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时， ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、坐标与图形变化——轴对称、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查坐标与图形，三角函数值，两点间距离公式等知识，以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，由，可得，，和关于直线对称，可得，设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为，根据两点间距离公式得，，由可得，求出的值即可解决问题． 【详解】解：以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，如图， ， ∵，， ∴，， ∵和关于直线对称， ∴， 设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为， ∴， ， ∵， ∴， 解得，或， 经检验，或是原方程的解， ∴当时，， 当时，， 综上，或， 故答案为：或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$