专题17 尺规作图（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题17 尺规作图 题型概览 题型01 与三角形有关的作图 题型02 与四边形有关的作图 题型03 与圆有关的作图 ( 题型1 )与三角形有关的作图 1．（2025·江苏扬州·一模）请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． (1)如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得； (2)如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得． 2．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 3．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （）底边长为，底边上的高长为； （）腰上的高长为，底边上的高长为． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，； (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 5．（2025·江苏南京·一模）如图，已知和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 9．（2025·江苏无锡·一模）仅用直尺作图： (1)将图1中的正六边形分成六个全等的三角形； (2)将图2中的六边形分成八个全等的三角形； (3)是否存在一个六边形（每个内角都小于），可被分成五个全等的三角形？如果存在，请在图3的网格内设计出这个六边形，并且每个顶点都在格点上；如果不存在，请简要说明理由． 10．（2025·江苏淮安·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 12．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 13．（2025·江苏扬州·一模）（1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为；   （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．     14．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在直角三角形中，． (1)利用无刻度的直尺和圆规，按要求在图（1）中作图；（不写作法，保留作图痕迹，并标记字母） ①作的垂直平分线l； ②在边上作一点M，使A关于的对称点落在l上． (2)在（1）的条件下，若，则 ．（如需画草图，请使用图2） ( 题型 2 )与四边形有关的作图 1．（2025·江苏南通·一模）如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． (1)保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； (2)若菱形的周长为，，求该菱形的高． 2．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； 3．（2025·江苏扬州·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (2)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 5．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． ( 题型 3 )与圆有关的作图 1．（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 2．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 3．（2025·江苏扬州·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)请在图①中作两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (3)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． 4．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． 5．（2025·江苏扬州·一模）在中，． (1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； (2)已知，，求边的长． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆．要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 9．（2025·江苏泰州·一模）如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． (1)用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； (2)用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 13．（2025·江苏连云港·一模）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 14．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上． (1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：与相切； (3)当，时，求的半径． 15．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 尺规作图 题型概览 题型01 与三角形有关的作图 题型02 与四边形有关的作图 题型03 与圆有关的作图 ( 题型1 )与三角形有关的作图 1．（2025·江苏扬州·一模）请用直尺（无刻度）和圆规按下面要求作出符合条件的图形，不写作法但要求写出必要的文字说明（保留作图痕迹）． (1)如图1，在中，，，在边上求作一点D，使得； (2)如图2，在中，是钝角，在边的延长线上求作一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，正确理解题意是解题的关键． （1）作出线段的垂直平分线与交点即为点，连接，则，那么，由三角形的外角性质得到； （2）用直尺延长，在延长线上，截取，连接，则，则，再由三角形的外角性质得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 2．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）钝角或直角或．（4）见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作，交于点E，根据，得到，得到，结合，得，故点E即为所求． （2）作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； （3）根据三角形内角和定理，一个三角形中，最多有一个直角或钝角和等边三角形的性质解答即可． （4）过点C作于点C，且满足；过点M作于点M，交所在直线与点N；作的平分线，交于点P；过点P作于点E，作于点G，则点P即为所求． 【详解】解：（1）作，交于点E， 故点E即为所求． ， ， ， 又， 则， ． （2）当为钝角时，如图，作得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当为锐角时，如图，作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当为钝角或直角或时，符合题意； 过点截成等腰三角形， 当为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则只能是等腰三角形的顶角，故点截成等腰三角形的直线只有一条； 当时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或． （4）过点C作于点C，且截取； 过点M作于点M，交所在直线与点N； 作的平分线，交于点P； 过点P作于点E，作于点G， 根据角的平分线性质，得， 延长交于点F， 根据作图，得 四边形是矩形； 则， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角的平分线的基本作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线的基本作图，角的平分线的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和判定，基本作图是解题的关键． 3．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （）底边长为，底边上的高长为； （）腰上的高长为，底边上的高长为． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（）画图见解析；（）画图见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）在射线上截取线段，作线段的垂直平分线，垂足为点，并截取，连接，则即为所求； （）在直线上取点，过点作且使得，以点为圆心，为半径画圆，再以为直径画圆，两圆相交于点，连接并延长，分别交直线于点，连接，过点作于，由是直径可得，即得，即得到，进而由相似三角形的性质可得，故即为所求； 本题考查了作垂线，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，掌握基本作图技能是解题的关键． 【详解】解：（）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，； (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)①见详解；②见详解； (2) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、圆周角定理、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，已知和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 方法：作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，的面积为15，则点P到的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用尺规作图作出的垂直平分线，过点作的垂线，两线相交于点P即可； （2）利用三角形面积公式求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理列式计算可求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作， （2）解：由作图知是的垂直平分线，则， 如图，， ∵，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)①见解析 ②见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）①以C为圆心，以与  有两个交点的为半径，与相交，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D，解答即可； ②以为直径，交于点E，连接，则． （2）根据，得到，证明，得到，设，则，根据勾股定理，整理，得，解得（舍去），解答． 【详解】（1）①以C为圆心，以与有两个交点的长为半径画弧，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D， 则即为所求； ②解：作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作，交于点E，连接 则， 故点E即为所求． （2）解：∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握作图，性质和定理是解题的关键． 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、圆周角定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，过点P作于点D，根据特殊角的三角函数值得出，再根据角平分线的定义知，再根据圆周角定理得，然后根据解直角三角形的知识得，最后根据直径弦围成的封闭图形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图1，先作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，再作的平分线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图，连接，过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴． 由（1）知，，为的平分线， ， ∴， ， ∴直径、弦、围成的封闭图形的面积为：．     【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，线段垂直平分线，扇形的面积公式，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2025·江苏无锡·一模）仅用直尺作图： (1)将图1中的正六边形分成六个全等的三角形； (2)将图2中的六边形分成八个全等的三角形； (3)是否存在一个六边形（每个内角都小于），可被分成五个全等的三角形？如果存在，请在图3的网格内设计出这个六边形，并且每个顶点都在格点上；如果不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接正六边形三条对角线，由正六边形的性质可知，这三条对角线交于一点，且把正六边形可分为6个全等的等边三角形； （2）连接交于G，连接，则可把六边形分为8个两直角边分别为1和2的直角三角形； （3）由于平行四边形对角线可以把平行四边形分为两个全等的三角形，那么画两个全等的平行四边形（且使它们有一个三角形重合）即可得到三个全等的三角形，再在两个平行四边形两边各添一个全等的三角形与两个平行四边形组成六边形即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接正六边形三条对角线即可； （2）解：如图所示，连接交于G，连接，则可得到八个全等的三角形； （3）解：如图所示，取格点A、B、C、D、E、F，依次连接这6个点，且四边形为平行四边形，则六边形即为所求． 10．（2025·江苏淮安·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】尺规作图——作三角形、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意，分析出在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形，延长，以点为圆心、为半径画弧，交射线于点，使，再以点为圆心、为半径画弧，交边于点，在中，，，即可得到； （2）过点作，如图所示，在和，结合直角三角形性质及勾股定理求出相关角度及边长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，若，如图所示： ，且， 即在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形， 点即为所求； （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 设， 在中，，则， 由勾股定理可得， ，， ，解得， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-作等边三角形、含的直角三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握尺规作图-作等边三角形、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 12．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 【答案】见解析； 见解析 【知识点】垂线段最短、作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、尺规作图、垂线段最短． 连接交于点，可得，根据相似三角形的性质可知，根据三角形的面积公式可得； 利用尺规作图作交于点，根据轴对称的性质可知 ，利用尺规作图过点作交于点，交于点，根据垂线段最短可知最小，等量代换可知此时最小． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， ， ， ； 如下图所示， 利用尺规作图作交于点， 根据轴对称的性质可知 ， 利用尺规作图过点作交于点，交于点， 根据垂线段最短可知最小， 连接、， 则， 此时最小． 13．（2025·江苏扬州·一模）（1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为；   （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作垂线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角 【分析】题目主要考查作图，相似三角形的判定和性质，理解题意，根据题意分别作出相应图形是解题关键． （1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接，利用相似三角形的判定和性质即可得出面积比； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求，利用平行线间距离相等及相似三角形的判定和性质即可得出面积比． 【详解】解：（1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求． 14．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心， 的长为半径画圆，再作的平分线，交于点，则点即为所求； （2）连接，过点作于点 ，由题意可得，，，由（1）知，为的平分线，则，，进而可得，则可得直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：连接，过点作于点，如图所示： ，， ， ， 由（1）知，为的平分线， ， ， ， 直径、弦围成的封闭图形的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图一复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在直角三角形中，． (1)利用无刻度的直尺和圆规，按要求在图（1）中作图；（不写作法，保留作图痕迹，并标记字母） ①作的垂直平分线l； ②在边上作一点M，使A关于的对称点落在l上． (2)在（1）的条件下，若，则 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查尺规作图作垂直平分线，角平分线，勾股定理等知识点． （1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤，作的垂直平分线，再作，交直线于，然后作的角平分线，交于，即可求解； （2）令直线交于，由作图可知，直线垂直平分，得，由勾股定理可得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：直线和点即为所求； （2）令直线交于， 由作图可知，直线垂直平分， ∴， 则， ∴， 故答案为：． ( 题型 2 )与四边形有关的作图 1．（2025·江苏南通·一模）如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． (1)保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； (2)若菱形的周长为，，求该菱形的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、解直角三角形的相关计算、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了菱形判定和性质，解三角形等． （1）在上取点C，使，在上取点D，使，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）作高，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图；在上取点C，使，在上取点D，使，则四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2）∵过点作，垂足为， ∵菱形的周长为， ∴， 又∵， ∴， 即菱形的高为． 2．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； 【答案】见详解 【知识点】无刻度直尺作图、利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点． 【详解】解：连接的对角线，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点． 点即为求作的点； 理由：中，， ， 四边形是平行四边形， ，同理， 是的中位线， ， ， ， ， 即点为的中点； 3．（2025·江苏扬州·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (2)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质求面积、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分．可应用得出结论． （2）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：如图②，连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分． 理由如下： ∵点O是正方形对角线的交点， ∴点O是正方形的对称中心． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 设点O到正方形一边的距离为． ∴ ∴． ∴直线将正方形面积四等分． （2）解：如图③，在上截取，作直线，直线即为所求作： 延长至点E，使，延长至点F，使，连接． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形． 连接交于点M，则． ∴，即点P、M重合． ∴点P是菱形对角线的交点． ∵在上截取， ∴． 设点P到菱形一边的距离为，连接， ∴． ∴当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了正方形性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形的面积，基本尺规作图等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面积相等． 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】作垂线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交线段于点E，交线段于点F，则四边形即为所求作的线段； （2）根据，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据菱形的性质求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作的四边形； 根据作图可知：垂直平分， 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：， 在中，， 又， ， 在中，， 四边形是菱形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 5．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、作垂线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【详解】（1）解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； （2）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． ( 题型 3 )与圆有关的作图 1．（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径、尺规作图——正多边形 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 2．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 【答案】见详解 【知识点】利用90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图， 90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径． 【详解】 解∶ 将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接即为圆的直径， 即为求作的； 理由：由题意，直尺的一个角为直角， ， 是圆的直径． 3．（2025·江苏扬州·一模）用直尺和圆规作出下列图形． (1)请在图①中作两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分； (3)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求面积、圆的周长和面积问题 【分析】（1）圆内两条互相垂直的直径即达到目的． （2）连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分．可应用得出结论． （3）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：如图，互相垂直的直径即为所求： （2）解：如图②，连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分． 理由如下： ∵点O是正方形对角线的交点， ∴点O是正方形的对称中心． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 设点O到正方形一边的距离为． ∴ ∴． ∴直线将正方形面积四等分． （3）解：如图③，在上截取，作直线，直线即为所求作： 延长至点E，使，延长至点F，使，连接． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形． 连接交于点M，则． ∴，即点P、M重合． ∴点P是菱形对角线的交点． ∵在上截取， ∴． 设点P到菱形一边的距离为，连接， ∴． ∴当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，正方形性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形的面积，基本尺规作图等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面积相等． 4．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查作图−复杂作图，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）； 方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）． 解：如图如图1，2所示． 5．（2025·江苏扬州·一模）在中，． (1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质、平行线分线段成比例，勾股定理等知识，正确确定圆心的位置是关键． （1）作的角平分线交与D，过D点作，交与O，以O为圆心，以为半径作圆即可； （2）设圆的半径为r，利用勾股定理即可求出，利用切线性质可知，从而得到，从而求出结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设圆的半径为r， 为的切线， ， ，即 解得：， ， ， ， ． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆．要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 方法一：①连接，，；②分别过，，作，，的平行线交于点，，；③作线段，的垂直平分线检验点，连接；④以为圆心，为半径作即可； 方法二：①②步骤同上；③过点作于点；过点作于点，，交于点，连接；④以为圆心，为半径作即可． 【详解】解：如图即为所求． 方法一：①连接，，； ②分别过，，作，，的平行线交于点，，； 则可得四边形为平行四边形，， 同理可得， ③作线段，的垂直平分线交于点，连接； ④以为圆心，为半径作即可， 则是的内接三角形，且点A，B，C内接三角形的三边的中点，符合题意； 方法二：①②步骤同上； 则可得四边形为平行四边形，， 同理可得， ③过点作于点；过点作于点，，交于点，连接； 可得分别为的垂直平分线， ④以为圆心，为半径作即可， 则是的内接三角形，且点A，B，C内接三角形的三边的中点，符合题意； 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)2 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据正方形的性质与判定求线段长、应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，，，过点作交于，根据勾股定理求得，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据角平分线的定义知，再根据等边对等角知，所以，然后根据解直角三角形的知识得，，，最后根据直径、弦、围成的封闭图形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接，，，过点作交于，如图所示： ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，，，， ，， 到、的距离相等， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， 直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线的定义，扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2025·江苏泰州·一模）如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． (1)用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； (2)用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 【答案】(1)30 (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． （1）当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得， （2）根据过直线上一点作垂线可得圆的切线，过点B作，得出，分两种情况得出的值． 【详解】（1）解：延长交于点，则点即为所作； 当点C第一次落在⊙O上时，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴旋转角为， 故答案为：30； （2）解：当与第一次相切时，如图， 此时由（1）得， 过点B作， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，； 当与第二次相切时，如图， 同理可得，， 在中，； 综上，的值为或． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、圆周角定理、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，过点P作于点D，根据特殊角的三角函数值得出，再根据角平分线的定义知，再根据圆周角定理得，然后根据解直角三角形的知识得，最后根据直径弦围成的封闭图形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图1，先作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，再作的平分线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图，连接，过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴． 由（1）知，，为的平分线， ， ∴， ， ∴直径、弦、围成的封闭图形的面积为：．     【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，线段垂直平分线，扇形的面积公式，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定，弦与圆周角之间的关系，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明是等边三角形，，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论； （2）以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点D即为所求． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点； 可证明，则在以A为圆心，半径为的圆上， 则， 可证明，则，则是等边三角形， 由可得，即． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心， 的长为半径画圆，再作的平分线，交于点，则点即为所求； （2）连接，过点作于点 ，由题意可得，，，由（1）知，为的平分线，则，，进而可得，则可得直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：连接，过点作于点，如图所示： ，， ， ， 由（1）知，为的平分线， ， ， ， 直径、弦围成的封闭图形的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图一复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2025·江苏连云港·一模）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与相交即为点； （2）根据等边对等角结合角平分线证明，则，即可证明切线； （3）先由勾股定理得．设的半径为，则由（1）知：，则，易证，则，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示 （2）证明：因为平分， 所以． 又由（1）知：经过、两点． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以．即． 因为点在上， 所以与相切； （3）解：在中，， 所以． 设的半径为，则由（1）知：． 所以． 由（2）知：． 所以． 所以， 即， 解得． 所以的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 14．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上． (1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：与相切； (3)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【知识点】作已知线段的垂直平分线、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． 15．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、尺规作图——正多边形 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$