专题16 相似三角形（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题16 相似三角形 题型概览 题型01 相似三角形的性质和判定 题型02 相似与四边形综合 题型03 相似与圆综合 题型04 相似与函数综合 题型05 相似的实际应用 SHAPE \* MERGEFORMAT 相似三角形的性质和判定 1．（2025·江苏南通·一模）在 中， ， ，点D是边 的中点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，连接 交 于点F，连接 ．两位同学进行探究，小明发现： ；小丽发现： 请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，轴对称的性质和勾股定理，设 交 于点 ， ，连接 ，由已知，根据中点的定义知： ，由勾股定理得 ，由折叠，根据“对称轴垂直平分对应点连线”可得： ， ，即有 是 的中位线，根据 “三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”得： ，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证 ，根据“相似三角形对应边成比例”可得： ，小明正确；从而可得： ，在 中，由勾股定理得 ，得到： ，小丽错误，可得结论． 【详解】解：设 交 于点 ，连接 、 ，如图： ∵点 是线段 的中点， ， ， ∵将 沿 所在直线翻折，得到 ， ∴ 点与 点关于直线 对称， ∴ 垂直平分 ， ， 是 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，小明正确； ， ， 在 中，由勾股定理，得 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，小丽错误， 故选：A． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形 中， 为 边上一点， 为 边上一点，且 ，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设 的边长为 ，利用等边三角形的性质，证明 ，利用对应边成比例求解即可得到 的边长，进而求出 的长．过点E作 于点F，在 中，通过解直角三角形求出 ，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设 的边长为 ，则 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 解得： ， 经检验， 是原方程的解， 即 的边长为8， ∴ ， 过点E作 于点F， ∴在 中， ， ∴ ． 故选：A． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在 中，延长斜边 到点D，连接 ．若 ， ， ，则 的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出 ， ，过点D作 交 延长线于点E，证明 ，得到 ，设 ,则 ， ，根据 列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ； 过点D作 交 延长线于点E， ， ， ， ， ， 设 , 则 ， ， ∵ ， 即 ， 解得 ， 即 的长为 ， 故选B． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ， 是边 的中点，点 是边 上一动点，将四边形 沿 翻折，得到四边形 ， 、 的对应点分别是 、 ，连接 ， ，当点 从点 运动到点 的过程中，设 ，三角形 的面积、三角形 的面积、三角形 的面积分别用 、 、 表示，则下列结论正确的是（    ） ① ； ② ； ③当 、 、 三点在一条直线上时， ； ④ ． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据 ， 是边 的中点，得出 ， ，结合 ，表示出 ，即可得出 EMBED Equation.DSMT4 ，可判断①正确；根据 ， ，得出 ，根据折叠可得 ， ，设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，得出 ，结合 ，证明 可得 ，判断出②正确；当 、 、 三点在一条直线上时， ，得出 ，设 ，则 ，在 中，勾股定理求解，判断出③正确；根据题意 ，延长 交 于点K，根据 ，得出 ， ，证出点 是 中点，即可得 ，证明 ，得出 ，即可求出 ，判断出④正确； 【详解】解：∵ ， 是边 的中点， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故①正确； ∵ ， ， ∴ ， 根据折叠可得 ， ， 连接 ， 设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， 又 ， ∴ ，故②正确； 当 、 、 三点在一条直线上时， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， 解得： ，故③正确； ， 延长 交 于点K， ∵ ， ∴ ， ， ∴点 是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 故④正确； 故选：A． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图． 中， ， ， ， 为平面内一点，且 ，过点B作 ，与 的延长线相交与点E，则 面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得 ， ，再证 ，得 ，则 即：当 取得最大值是， 的面积取得最大值，由 ， ，根据圆周角定理可知， ， ， ， 四点共圆，点 在以 为直径的圆上，可知 的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵ 中， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，则 即：当 取得最大值时， 的面积取得最大值， ∵ ， ， 由圆周角定理可知， ， ， ， 四点共圆， ∴点 在以 为直径的圆上， ∴ ，即 的最大值为3， ∴ 的最大值为 ， 故选：B． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在 中， ， ， 为直线 左侧一点．若 ，则 的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到 ，再由勾股定理得到 ，则 ，进而得到 ，由此得解． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， 的最大值为 ． 故选：C． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在 中， ， ，点E在边 上，点F在 的延长线上，连接 ，点G为 的中点，连接 ，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知 ， ，过点 作 ，交 于 ，则 ， ，过点 作 ，交 于 ，则 ，可知 ，得 ，则 ，设 ， ，得 ， ， ，则 ，可得 ，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ， 过点 作 ，交 于 ，则 ， ， 过点 作 ，交 于 ，则 ， ∴ ， ∴ ，则 ， ∵ ，则设 ， ， ∴ ， ， ， 则 ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 8．（2025·江苏苏州·一模）如图，在 中， ， ， 分别为边 上一点，且 ，设 ， ，则 与 之间的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数解析式，勾股定理求出 的长，证明 ，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ， 整理，得； ； 故答案为： ． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 上的点，将 沿着 折叠，使点 落在 边的中点（记为 ）处．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 / 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键． 连接 交 于点 ，通过直角三角形的性质得 ，结合折叠的性质证得 ，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， 点 为 的中点， ， ， ， ， ， 将 沿着 折叠，使点 落在 边的中点 处， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在 中， ， ，直线 ， 是 上的动点（端点除外），射线 交 于点 ．在射线 上取一点 ，使得 ，作 ，交射线 于点 ．设 ， ．当 时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 2 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得 ，则 ，得出 ，代入数据即可求出 ；根据 ，得出 ，设 ，则 ，通过证明 ，得出 ，则 ，进而得出 ，结合 ，可得 ，代入各个数据，即可得出 关于 的函数表达式． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ，即 ， 整理得： ， 设 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 整理得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 整理得： ， 故答案为：2； ． 11．（2025·江苏常州·一模）如图，已知在 中， ， ， ，点 在边 上，若 有两个内角的差是 ，则 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识点，正确理解题意是解题的关键． 先由勾股定理求出 ，再分两种情况，根据 有两个内角的差是 ，导角得到 或 ，再根据角平分线的性质定理以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ①当 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 过点 作 于点E， ∵ ， ∴ ， 设 ∵ ， ∴ ， 解得： ； ② ，如图： 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 综上： 或 ， 故答案为： 或 ． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，在 中， ， ， 是线段 外一动点， ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的长最大值为 ． 【答案】 / 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在 的延长线上时（如图所示）， 的长度取得最大值，再由 均为等腰直角三角形，可得 ，可证 ，根据对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ∴当点D在 的延长线上时（如图所示）， 的长度取得最大值． 由题意得： 均为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的长最大值为 ． 故答案为： 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上， 相交于点P，则 的值是 ． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接 ，由题意易得 ， ∽ ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 ，即可得 ，在 中，即可求得 的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 根据题意得： ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 故答案为： ． 14．（2025·江苏徐州·一模）如图，在 中，D，E分别是 ， 的中点，那么 与四边形 的面积之比是 ． 【答案】 / 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据题意判断出 为中位线，从而得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵D，E分别是 ， 的中点， ∴ ， ∴ ， ， ∴ 与 的面积之比为 ， ∴ 与四边形 的面积之比是 ． 故答案为： ． 15．（2025·江苏扬州·一模）如图，在 中， ， 于点 ，作 ，AE交线段 于点 ，恰有 ，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，根据“ ”证明 ，得 ，即 ，证明出 ，设 ， ，则 ，代入 得 ，求出 ，即可求出 ． 【详解】解：∵ ∴ , ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∴ 设 ， ，则 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得， （负值舍去） ∴ ， ∴ ． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，正 边长为1， 为 上一动点（ 不与A、C重合），过 作 ，垂足为E，M为线段 上一点，且 ，过 作 交 于 ．设 ， ．当 时， ；在点 运动的过程中， 关于 的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设 ，得到 ，结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，得到 ，代入解答即可；延长 交 于点G，利用三角形相似的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：设 ， ∵正 边长为1， ∴ ， ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； 延长 交 于点G， ∵正 边长为1， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故答案为： ． 17．（2025·江苏无锡·一模）如图，在 中， ， ，将 绕点 沿顺时针方向旋转后得到 ，直线 相交于点 ，连接 ．则 的度数是 ， 面积的最大值为 ． 【答案】 / 度 / 【知识点】等腰三角形的性质和判定、判断确定圆的条件、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设 相交于点 ，先证明 ，得到 ，求出 ，即可得到 ；设 到 的距离为 ， ，以 为底边，当 最大时， 面积的最大， 四点共圆，当 垂直 且通过圆心时， 的值最大，求出 面积的最大值为 ，即可得到答案． 【详解】解：如图，设 相交于点 ， 在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 绕点 沿顺时针方向旋转后得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设 到 的距离为 ， ，以 为底边，当 最大时， 面积的最大， ， 四点共圆， ， 为此圆直径， 当 垂直 且通过圆心时， 的值最大， 此时 ， 面积的最大值为 ； 故答案为： ， ． 18．（2025·江苏南通·一模）如图，在 中， ， ，点 分别为 的中点，点P从A点向D点运动，点Q在 上，且 ，连接 ，过点Q作 交 与点F，设点P运动的路程为x， 的面积为 ，则y与x之间关系为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了动点问题函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质；过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，利用矩形的判定与性质可得 ，设 ，利用相似三角形的判定与性质求得 ，进而求得 ， 的长，利用 求得 与 之间关系，再利用二次函数的性质和 的取值范围解答即可得出结论，做出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，如图， 点 、 分别为 ， 的中点， ， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ． ， ， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设 ， 由题意得： ，则 ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ． ． ， ， 由题意： 的取值范围为： ， 故答案为： ． 19．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图， 中， ，点 是 的外心，且 ，延长 交 于点 ，若 ，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、 三角形外接圆的概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查三角形外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解三角形外心的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据三角形外心得到 ，可证 ，得到 ，可证 ，则 ，所以有 ，运用等量代换可得 ，由此即可求解． 【详解】解：∵点 是 的外心，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 （不符合题意，舍去）， 把 代入 ， ∴ ， ∴ ，且 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 答案为： ． 20．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用 铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在 中，点 在 边上， ，在 边上求作点 ，使 ． 【自主研究】 （2）点 在 内，在图2和图3中分别求作过点 截 成等腰三角形的一条直线； （3）点 在 内，若过点 截 成等腰三角形的直线只有一条，则 满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知 以及长为 的线段，点 在 上，点 到 的垂线段分别为 、 ，若 ，请在 上作出满足条件的一个点 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）钝角或直角或 ．（4）见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作 ，交 于点E，根据 ，得到 ，得到 ，结合 ，得 ，故点E即为所求． （2）作 的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； （3）根据三角形内角和定理，一个三角形中，最多有一个直角或钝角和等边三角形的性质解答即可． （4）过点C作 于点C，且满足 ；过点M作 于点M，交 所在直线与点N；作 的平分线 ，交 于点P；过点P作 于点E，作 于点G，则点P即为所求． 【详解】解：（1）作 ，交 于点E， 故点E即为所求． ， ， ， 又 ， 则 ， ． （2）当 为钝角时，如图，作 得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当 为锐角时，如图，作 的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当 为钝角或直角或 时，符合题意； 过点 截 成等腰三角形， 当 为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则 只能是等腰三角形的顶角，故点 截 成等腰三角形的直线只有一条； 当 时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或 ． （4）过点C作 于点C，且截取 ； 过点M作 于点M，交 所在直线与点N； 作 的平分线 ，交 于点P； 过点P作 于点E，作 于点G， 根据角的平分线性质，得 ， 延长 交 于点F， 根据作图，得 四边形 是矩形； 则 ， 则点P即为所求． 21．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在 中，如果 ，那么我们可以将 折叠，折边 落在 上，点C落在 上的为D点，折线交 于点E，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在 中， ，判断： ______ （填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在 中， ， 、 分别为 、 的角平分线，求证： ． 【拓展运用】 （3）如图4，在 中，D为 上一点，且 ，比较 和 的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）见解析；（3） ． 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在 内作 ，交 于点 ，根据等角对等边可得 ，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长 到点 ，使 ，连接 ，可得 ，由等角对等边易得 ，即可得 ，再证明 ，可得 ，由此证明结论． （3）由已知易得 ，设相似比为 ，可得 ， ， ，通过求差法比较 和 的大小即可 【详解】解：（1）如图2，在 内作 ，交 于点 ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ； （2）如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ∴ ， ∴ ． （3）∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 与 相似比为 ， ∴ ， ， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ，即 ， ∴ ， ∴ ， 即 SHAPE \* MERGEFORMAT 相似与四边形综合 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，在菱形 中， 为边 上一点，且 ， 与 交于点 ．下列结论：① ，② 平分 ，③ ，④ ，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键．证明 ，判断①，推出 ，判断②，证明 ，判断③，证明 ，判断④． 【详解】解；设 ， ∵菱形 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ 平分 ，故②正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故③正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；故④正确； 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O，分别记 ， ， ， 的面积为 ， ， ， ，若 ，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到 ， ，进而可判断B和C；将 代入 即可判断D． 【详解】解：∵ ∴ （同底等高的两个三角形面积相等） ∴ ∴ ，故A正确； ∵点A，O，C共线 ∴点B到 的距离等于点B到 的距离 ∴ ，即 同理可得， ，即 ∴ ∵ 和 不一定相等 ∴ 和 不一定相等，故B正确； ∴ ，故C正确； ∴ ∴ ∴ ，故D正确． 故选：B． 3．（2025·江苏泰州·一模）如图，在正方形 中， ， 为 的中点，将 沿 翻折得 ，点 落在四边形 内．点 为线段 上的动点，过点 作 交 于点 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】作点 关于 的对称点 ，过点 作 于 ，交 于点 ，连接 ， ，根据折叠的性质可得点 在 上，推得 的最小值为 的长，根据折叠的性质可得 为线段 的垂直平分线，根据勾股定理可得 和 的值，根据同位角相等，两直线平行可得 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形 为菱形，根据菱形的对角线互相平分可得 ， ，求得 的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得 的值，即可求解． 【详解】解：作点 关于 的对称点 ，过点 作 于 ，交 于点 ，连接 ， ，如图： 由折叠的性质知 是 的平分线， ∴点 在 上， ∵ ， ∴ 的最小值为 的长， 由折叠的性质知 为线段 的垂直平分线， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为线段 的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴四边形 为菱形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故选：A． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，点 是矩形 的对角线 的中点， 交 于点 ，若 ， ，则 的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理．由矩形的性质可得 ， ， ，证明 ，得到 ，则 ，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形，O是 的中点， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，延长 交 于点 ，则 的长为 ． 【答案】3 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明 是解答本题的关键．作 交 于点H，根据两直线平行内错角相等得出 ，再由条件得出 ，然后根据矩形的性质得出 ，得出 ，从而出 ，再根据翻折性质得出 ， ， ， ，证明 得 ，然后利用勾股定理求出出 ，证明 ，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】如图，作 交 于点H ∴ ∵点 是 的中点， ∴ ∵矩形 ∴ ∴ ∴ 根据翻折的性质可知， ， ， ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 6．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形 和正方形 的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接 、 ，则 的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，连接 交 于 ，设正方形的边长为 ，根据正方形的性质得到 ，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接 交 于 ，设正方形的边长为 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 和 为正方形， 、 为对角线， ， ， ， 故答案为： ． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ，在边 上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则 的长为 ． 【答案】2或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】由 ，可得出存在 和 两种情况，设 ，则 ，当 时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即 的长）；当 时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即 的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分 和 两种情况，求出 的长是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴存在 和 两种情况． 设 ，则 ， 当 时， ， 即 ， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， ∴此时 ； 当 时， ， 即 ， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， ∴此时 ． 综上所述， 的长为2或 ． 故答案为：2或 ． 8．（2025·江苏宿迁·一模）矩形 中， ， ，点 在边 上运动，点 关于 的对称点为点 ，点 到 边的距离是点 到 边距离的3倍，则 的值为 ． 【答案】 或 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出 ，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出 ，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出 即可求解． 【详解】解： ①如图所示， 根据题意得， ， 则 ， 根据翻折的性质可得 ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， , , ， 又 ， ， ； ②如图所示， ， ， 则 ， ∴在 中， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； 综上， 或 ． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 的长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ，可证明 得到 ，再导角证明 ，得到 三点共线；取 的中点O，连接 ，则可得到当点P在线段 上时， 有最小值，最小值为 的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长 到 ，使得 ，连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 三点共线； 如图所示，取 的中点O，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴当点P在线段 上时， 有最小值，最小值为 的值， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 故答案为； ． 10．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形 中， ，点 为 边上的一个动点，把 沿 折叠，当点 的对应点 刚好落在矩形 的对角线上时，则 到 的距离为 ． 【答案】 或 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与折叠问题、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分两种情形：当点 落在线段 上．当点 落在线段 上，分别求解即可． 【详解】解：当点 落在线段 上，如图所示；连接 ，过点 作 于点F． ∵四边形 是矩形， ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当点 落在线段 上，过点 作 于点G，如图所示， ∵在矩形 中， ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可知： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述：当点 的对应点 刚好落在矩形 的对角线上时，则 到 的距离为 或 ； 故答案为 或 ． 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形 中， ， ，E为 的中点， 为 上的一点，连接 、 ，当 的值最小时， ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在 的延长线上截取 ，过点 作 ，使得 ，则 得出 ，即可证明 ，进而得出 ，则点 在与 垂直的 上运动，当 时，即 时， 最小，进而得出四边形 是矩形，证明 ，得出 ，即可求解． 【详解】解：在矩形 中， ， ， ∴ ， ， 如图所示，在 的延长线上截取 ，则 ，过点 作 ，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴点 在与 垂直的 上运动， 当 的值最小时， 在 上，最小值为 的长 ∴当 时，即 时， 最小 此时如图， ∴ ∴四边形 是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为： ． 12．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的 个全等直角三角形拼成正方形 ，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为 ， 是 中点，延长 交 于点 ，且 ，则 ＝ ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质证明 【分析】过点 作 垂足为点 ，并延长交 的延长线于点 ，设 ， ，则 ，根据点 是 的中点，且 ，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到 ， ，进而推出 ，再根据正切的定义可求 的值． 【详解】解：如下图所示，过点 作 垂足为点 ，并延长交 的延长线于点 ， 则： ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵正方形 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ，则 ， ， ， 整理得： ， 在 中， ． 故答案为： ． 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知 ， ， ， 、 分别为 、 上的点，连接 ，若 于点 ，且 平分▱ 的面积，过 作 于点 ，连接 ，则 的最小值为 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用平行四边形的性质求解、利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设 、 交于点 ，过 作 于 ，设 ， ，则 ，先证明 ，得到 ，再由 平分平行四边形 的面积，得到 ，利用勾股定理得到 ，则 ，利用配方得到当 时， 最小，此时 最大，进而求得 的最小值． 【详解】解：设 、 交于点 ，过 作 于 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 设 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 平分平行四边形 的面积， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 最小，此时 最大， ∴ 的最小值为 故答案为： ． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图， 是等腰直角三角形， ，点 是边 上的一动点，连接 ，以 为一边作矩形 ，连接 ，若 ，则线段 的最小值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】取 的中点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，先证明 ，得到 ， ，推出 ， ，证明出 ，得到 ，点 在定直线 上运动，由 ，推导出点 与点 重合时， 最小，且等于 ，接着证明 ， ，从而算得答案． 【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ， ，过点 作 于 ，如图所示： EMBED Equation.DSMT4 是等腰直角三角形， ， ， 点 是 的中点， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 在定直线 上运动， ， 点 与点 重合时， 最小，且等于 ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 15．（2025·江苏扬州·一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，由题意可知， ， ， ， ，证明 ，得到 ，即 ，求出 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为： ． 16．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形 边长为 ，点 、点 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ，过点 作 交 边于点 ，连接 ，设 ． (1) 猜想 的形状并证明； 取 中点 ，连接 ，则 ； 的面积 ；（用含 的代数式表示） (2)如图 ，在 上方作等边 ， ， 分别交 边于点 ， ，且点 始终处在两平行直线 ， 之间的区域内， 直接写出 的范围 ； 计算 的值．（结果用含 的代数式表示） 【答案】(1) EMBED Equation.DSMT4 为等腰直角三角形，证明见解析； EMBED Equation.DSMT4 ， (2) EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ） 由四边形 是正方形，得 ， ，然后证明 ，故有 ，从而求证； 连接 ，由 ，则 ，再证明 ，故有 ， ， ，从而可得 三点共线，则有 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，再根据 即可求解； （ ） 当 时， 有最小值，当 与 重合时， 有最大值，又点 始终处在两平行直线 ， 之间的区域内，从而求出 的范围； 过 作 于点 ，通过相似三角形的判定可得 ， ，所以 ， ，由题意可知 在平行 得直线上运动，且 ，设 ，则 ，然后代入即可求解． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 是等腰直角三角形，理由， 如图， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形； 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三点共线， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为： ， ； （2）解： 当 时， 有最小值， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ，即 的最小值为 ， 当 与 重合时， 有最大值，如图， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ，解得： ， ∵点 始终处在两平行直线 ， 之间的区域内， ∴ 的范围是 ； 故答案为： ； 如图，过 作 于点 ， 则 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 由题意可知 在平行 得直线上运动，且 ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 17．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图1，已知四边形 是平行四边形，且 ．请用无刻度直尺和圆规按以下作法作图： ①作 的角平分线，交 于点E； ②以A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F； ③连接 ． 证明：四边形 为菱形； （2）如图2，在 的边 上取一点E，以点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点G；再在 上截取 ，连接 ，则四边形 为所求作的菱形．且按这一方法所作菱形的个数随着点E位置的变化而变化．若 ， ， 边上的高为8，当恰好只能作出一个菱形时，求对应的 的长的取值范围； （3）如图3，在 中， ， ， ，点D在边 上，作菱形 ，使点E，F在边 上，点G在边 上，所作菱形 面积的最大值为_______． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析；（2） 或 ；（3） 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据角平分线的尺规作图方法作出点E，再以A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F即可；由平行四边形的性质和角平分线的定义证明 ，得到 ，由作图方法可得 ，则 ，据此可证明结论； （2）分图2-1，图2-2和图2-3三种临界情况，分别求出对应情形下 的长即可得到答案； （3）过点C作 于H，交 于M，证明 ，推出 ，设 ，则 ；同理可得 ，利用等面积法得到 ，再证明 ，得到 ，则 ，则有 ，再由 ，推出 ，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 证明如下：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由作图方法可得 ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形； （2）如图2-1所示，当以点A为圆心， 长为半径画弧，该弧与 只有一个交点时，由垂线段最短可知，此时 ， ∵平行四边形 中， 边上的高为8， ∴此时 ， 在 中， ， ∴此时要满足 ，则点F一定在点G右侧，即此时只能作出一个菱形； 如图2-2所示，当以点A为圆心， 长为半径画弧，该弧与 有两个交点，且其中一个交点与点B重合时，则 ， ∵ ， ∴此时能作出两个菱形； 如图2-3所示，当点F恰好与点C重合时，过点A作 于H， 由图2-1可得 ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； ∴结合图2-2和图2-2可知当 时，只能作一个菱形； 综上所述，当 或 时，只能作一个菱形； （3）如图所示，过点C作 于H，交 于M， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ∴ ； 同理可得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴同理可得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时，菱形的面积随m的增大而增大， ∴当 时， 菱形的面积最大，最大为 ． 18．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形 中， ， 的平分线交 于点E．将 绕点 顺时针旋转，得到 点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边 上时，求证： ； (2)如图2，当点G在线段 上时，连接 ， ，求四边形 的面积； (3)当点G在矩形 的对角线上时，连接 ，直接写出 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 或 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先根据旋转的性质可得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，然后根据矩形的性质可得 ，由此即可得证； （2）设 交 于点 ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，则 ，再证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，然后利用勾股定理求出 的长，最后根据四边形 的面积等于 求解即可得； （3）分两种情况：①若点 在对角线 上时，过点 作 于 ，先证出点 在同一条直线上，再求出 的长，从而可得 的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点 在对角线 上时，过点 作 于 ，过点 作 于 ，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出 的长，再证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，从而可得 的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明： 绕点 旋转得到 ， ， ∴ ， ． ． 矩形 中， ， ， ∴ ， ． （2）解：如图，设 交 于点 ． 四边形 是矩形， ， ， ， ， ∴ ， ， 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 的面积为 ． （3）解：①如图，若点 在对角线 上时，过点 作 于 ． 平分 ， ∴点 到 的距离等于 的长度． 由旋转的性质得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 在同一条直线上， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵在矩形 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②如图，若点 在对角线 上时，过点 作 于 ，过点 作 于 ， ∵在矩形 中， ， ∴ ， ∴ ， 由上已得： ， ∴ （等腰三角形的三线合一）， 在 中， ， ∴在 中， ， ∴ ， ， ， 由旋转的性质得： ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 综上， 的长为 或 ． 19．（2025·江苏扬州·一模）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ， ， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)若正方形 的边长为 ， 为 的中点，求 的长． 【答案】(1) 为等腰三角形，理由见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（ ）证明 ，得 ，进而利用余角性质和对顶角的性质可得 ，据此即可求证； （ ）过点 作 于 ，利用等腰三角形的性质可得 ，再证明 ，可得 ，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解： 为等腰三角形，理由如下： ∵四边形 是正方形， 为对角线 上一点， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形； （2）解：过点 作 于 ， 则 ， ∵ ， 为 中点，正方形的边长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ ． 20．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】 如图1，点O为矩形 的对称中心， ， ，点E为 边上的一个动点．连接 并延长交 于点F，将四边形 沿着直线 折叠，点A的对称点是点 ，点B的对称点是点 ．点E从点A出发，沿着 运动，当点B'与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 (1)判断 的形状； (2)设 ， ，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； (3)如图2，连接 交 于点H．当 时，求 的值． 【答案】(1) 是等腰三角形， (2) ； (3) ． 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用平行线的性质结合折叠的性质，即可证明 ，推出 ，即可证明 是等腰三角形； （2）过点 作 于点 ，求得 ， ， ，在 中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）先求得 ， ，连接 ，在 中， ，推出 ，作 于点 ，取 的中点 ，连接 ，计算得出 和 是等腰直角三角形，得到点 与点 重合，证明 ，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 是等腰三角形， 由折叠的性质得 ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形； （2）解：过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵点O为矩形 的对称中心， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， 由（1）知 ， ∴ ， ∴ ， 整理得 ， ∴ ； （3）解：当 时， ， ∴ ， ， 连接 ， ∵点O为矩形 的对称中心， ∴点O在对角线 上，且 ， 在 中， ， ∴ ， 作 于点 ，取 的中点 ，连接 ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形，即 ， ∴点 与点 重合， ∴ ， ∴ ，即 ． 21．（2025·江苏扬州·一模） 如图，矩形 中， ，E是边 上一点，且 ，点P为边 上一动点，连接 ，过E作 的垂线交折线段 于点Q．连接 ． (1)如图1，当点Q与点D重合时，求 的长； (2)如图2，当点Q在 上时， 是否变化？若不变，请求出 的值，若变化，请说明理由； (3)点M是 的中点． ①如图3，当Q在线段 上时， 的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 【答案】(1) ； (2)不变， ； (3)① ；② 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）证明 ，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点Q作 于点H，同（1）可证 ，根据相似三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，即可求解； （3）①连接 ，过M作 于 ， 于F，交 于G，证明 ，得出 ，可证明 ，利用平行线分线段成比例可求出 ，根据勾股定理可得出 ，则 ，故当 最小时， 最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出 ，则转化为求 的最小值，当 与 重合时， 取最小值为3，即可求解； ②由①可知M在直线 上运动，当 时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为 ，最低点为 ，则M运动的路程长为 ，如图，延长 交 于N，可得四边形 是矩形，则 ，同理①可证 ，根据三角形中位线定理可求出 ，证明 ，可求出 ，同理证明四边形 是矩形，得出 ，然后根据线段的和差求出 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：过点Q作 于点H， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴四边形 均为矩形， ∴ ， 同（1）得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：①连接 ，过M作 于 ， 于F，交 于G， 则四边形 是矩形， ∴ ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∵M是 中点， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴当 最小时， 最小， ∵ ，M是 中点， ∴ ， ∵当 与 重合时， 取最小值为3， ∴ 的最小值为 ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为： ； ②解：由①可知M在直线 上运动，当 时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为 ，最低点为 ，则M运动的路程长为 ，如图，延长 交 于N， 则四边形 是矩形， ∴ ， 同理可证 ， 由（1）知， ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ （负值舍去）， 同理四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点M的运动路程长为 ， 故答案为： ． 22．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形 中，如果 ，那么四边形 为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， 为等边三角形，点E在 的角平分线上，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，连接 ． 求证：四边形 为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形 为单直邻等四边形， ，连接 ，若 ，作 且 ，连接 并延长交 于点F，交 于点M． 求 的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线 于点C， 点A 在射线 上， 点B在射线 上，且四边形 为单直邻等四边形， 的角平分线交 于点 P，请直接写出 的长 ． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）6或2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）可证得 ，从而得出 ，从而得出 ，从而得出结论； （2）作 于G，作 于H，可证得 ，从而 ， ，进而得出 ， ，根据 ，从而得出 ，从而 ，故 ，进而得出 ，则 ，根据勾股定理得出 的值，进而求得 的值； （3）作 于Q，设 和 交于点G，解直角三角形 得出 和 的值，进而得出 的值；当点A在 下方时，求得 的值，进而得出 的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在 上方时，同样得出结果． 【详解】（1） 证明：∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵点E在 的平分线上， ∴ ， ∵ 绕点E顺时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为单直邻等四边形； （2）如图1，作 于G，作 于H， ∵四边形 为单直邻等四边形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）作 于Q， 设 和 交于点G， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 当点A在 下方时， ， ∵四边形 为单直邻等四边形， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 当点A在 上方时（图中 ）， ， 同理可得， ， 综上所述： 或2， 故答案为：6或2． 23．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形 内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形 内部，且 ，则称点P为边 的“等距点”． (1)如图1，四边形 中， 于点P， ，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形 边 的“等距点”， ， ． ①当 时，请求出 的值； ②设 、 分别为α、β，试求 的最大值． (3)当四边形 满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 【答案】(1)详见解析 (2)① 或 ； ② (3)对角互补 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）由 ，可证明 ，可得 ，即可证明结论； （2）过点 作直线 交 于 于 ，连结 ，①结合“等距点”定义可知点 在矩形 边 和 的垂直平分线上，先证明四边形 是矩形，结合其性质证明 ，得 ，设 ，则 ，列出方程即可求解； ②根据正切造的定义得 ，可得 ，即 ，设 ，则 ，得 ，由二次函数的性质即可求解． （3）根据“等距点”的定义得出，四边形 是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 于点 ， ， 又 ∵ ，则 ， ， ∴点 是边 的“等距点”； （2）解：过点 作直线 交 于 于 ，连结 ， ∵点 是矩形 边 的“等距点”， ， 又 ∵直线 ， ∴直线 是矩形 边 的中垂线， ∴点 在矩形 边 和 的垂直平分线上， ， ∵矩形 中， ， ， ， 交 于 于 ， ， 又 ∵矩形 中， ， ∴四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 解得： ， 当 时， ， 当 时， ， ∴ 的值为 或 ； ②∵ 于 ， ∴在 中， ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 当 时， 有最大值 25， ∴ 有最大值 ， ∴当 时， 的最大值是 ． （3）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点 四点距离相等， ∴四边形 是圆P的内接四边形， ∴四边形 的对角互补， 故当四边形 满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补． 24．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形 中， ， ，连接 ， 平分 ． (1)求证：四边形 为菱形； (2)过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ．若 ， ，则菱形 的边长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明是四边形 是平行四边形，再结合 ，邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形 为菱形； （2）先利用菱形的性质得到 ，然后证明三角形 和三角形 全等得到 的长度，再根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 为菱形． （2） 四边形 为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理 ， 又 ， ． 25．（2025·江苏常州·一模）如图，在 和 中， ， ， ， ．点 是 边上一点（与点 不重合），且 ， 交 于点 ，交 的延长交于点 ． (1) 与 有怎样的大小关系？说明理由； (2)若 ，求 的长； (3)若 是等腰三角形，求 的长． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) (3) 的长为10或7或12.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）分别求出 和 的正切值，证明正切值相等即可； （2）证 ，求出 ，再证明 ，即可求解 ； （3）当 是等腰三角形时， 也是等腰三角形，分三种情况，当 时；当 时；当 时，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解： ，理由： 证明： 与 都是直角三角形 在 中， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ； （2）解：如图： ，又 ， 又 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； （3）解： ， 由（2）得， ， ∴ ， 由（2）得， ∴ ∴ 当 是等腰三角形时，分三种情况： 第一种：当 时，则 ，解得： ， 第二种：当 时，而 ∴ 则 ，过点 ，垂足为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， 第三种：当 时，如图： ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由（2）得 ， ∴ ， ∴ ， 解得： 综上所述：当 是等腰三角形时， 的长为10或7或12.5． SHAPE \* MERGEFORMAT 相似与圆综合 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在 中， ， ， ，点 是其重心，延长 交 于点 ，则 ．若 与 的一边相切，则 的半径的所有可能值为 ． 【答案】2或 或 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的重心、圆的切线性质、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟知三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解答的关键．先利用勾股定理求得 ，再分三种情况，利用切线性质和三角形的中位线性质、结合相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， 若 与 的边 相切，如图，过P作 于Q，过C作 于H，则 ， 为半径， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， 由 得 ， ∴ ； 若 与 的边 相切，如图，过P作 于Q，取 的中点H，连接 ，则 为半径， ， ∵点 是其重心， ∴ ， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 若 与 的边 相切，如图，过P作 于Q，取 的中点H，连接 ，则 为半径， ， 同理可证 为 的中位线， ， ∴ ， ， ∴ ， 综上， 的半径的所有可能值为2或 或 ， 故答案为：2或 或 ． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中， ， 与射线 以及 轴的正半轴始终相切，过点 作 的切线，切点为 ，则 ，切线长 的最小值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的最值、点到直线的距离、切线的性质定理 【分析】通过两点间距离公式求出 的长度．求出 的解析式为 ．设点 ，利用等积法求出点P在直线 上，根据切线的性质和勾股定理得到 的二次函数表达式，再根据二次函数求最值进行解答即可． 【详解】解： 在平面直角坐标系中， ， ， ． 设 与 轴相切于点 ，射线 交 于点D，作 轴于点F，则四边形 是矩形，连接 ， ∵ 与射线 以及 轴的正半轴始终相切， ∴ 轴， 设射线 的解析式为 ， 把 代入得 ， ， 射线 的解析式为 ． 设点 ，则 ， ∴ ， ∵ ∴ 整理得， ， 即点P在直线 上， 连接 ， ∵过点 作 的切线，切点为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最小值 ， 即当 时，切线长 的最小值为 ， 故答案为：5， 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，等腰三角形 内接于圆 ， ， ，点 是边 上一动点，连接 并延长交圆 于点 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】过 作 于点 ，过 作 交 延长线于点 ，连接 ， ， ，证明 ，则 ，由 ，则 ，然后证明 是等边三角形，故有 ，设 ，然后由勾股定理可得： ，所以 最大，则有 最大，则 为 中点时， 最大，即点 三点共线，再求出 ，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过 作 于点 ，过 作 交 延长线于点 ，连接 ， ， ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴ ， 设 ， ∴ ， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ 最大，则有 最大， ∴当 为 中点时， 最大，即点 三点共线， ∴ ， ∴由勾股定理得： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，在以 为直径 中，弦 ， ，点D是 上一动点，以 为一边在 左侧作 ，使 ， ，连接 ，则 的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】点与圆上一点的最值问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图所示，延长 到点F，使 ，连接 ，首先勾股定理求出 ，然后证明出 ，得到 ，求出 ，得到点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长 到点F，使 ，连接 ∵ 为直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动 ∴当点E在 的延长线上时， 取得最大值 ∴此时 ． 故答案为：6． 5．（2025·江苏常州·一模）如图， 过圆心 ， 是 的一条弦， ， 是 的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得 ． 条件①： 平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】连接 ，令 交于点E，由垂径定理可知， ， ，则 ，若选条件①，可得 ，证 ，可得 ，若选条件②，可知 ，得 ，设 ，则 ， ，可得 ， ，则 ，可得 ，若选条件③，可知 ，即可证 ，进而可证 ，得 ，可知 ，即可判断答案． 【详解】解：连接 ，令 交于点E， ∵ 经过圆心 是 的一条弦， ， ∴ ， 则 ， 若选条件①， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故①符合题意； 若选条件②， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∵ ， 则 ，得 ， 设 ，则 ， ， ， ， 则 ， ∴ ，即 ， 故②不符合题意； 若选条件③， ∵ ，即 ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故答案为：①③． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， 是 的弦，且 ，垂足为 ．若 ， ， ，则 的半径为 ． 【答案】 / 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，先根据勾股定理求出 ，然后证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，即可求解． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴半径为 ， 故答案为： ． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，已知半圆O的直径为 ，点A在半径 上，B为 的中点，点C在弧 上，以 、 为邻边作矩形 ，边 交 于点E，连接 ，并延长 交 于点P，若 ，则 的值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，先证明 为 的垂直平分线， 是 的垂直平分线， 为 的垂直平分线，设 ，则 ，进而得 ， ， ，再利用射影定理得 ，故 ， ，再计算即可． 【详解】解：过O作 ， 延长线交 于G，过O作 ， 延长线交 于P，连 、 ． ∵ ， ∴ 为 的垂直平分线， ∵矩形 ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ． ∴ ， ∴ ， ∴ 为 的垂直平分线， 设 ，则 ， ∴ ， ， ， ∵B为 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，点 在 外，连接 并延长，与 交于点 、 ，点 在 上，连接 ，过点 作 的切线，交 于点 ，______． (1)在① ；② ；③ 这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； (2)在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证： 与 相切； ②若 ， ，求 的半径． 【答案】(1)①或②或③ (2)①证明见解析；② 【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）选择①：证明 ，则 ，由圆周角定理得到 ，而 ，那么 ，则 ，故 ，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由 ，得到 ，由切线的性质得到 ，则 ，而 ，故 ，那么 ，即可证明； （2）①证明分析见（1）；②连接 ，证明 ，则 ，故 ，可得 ，则 ，再解 即可． 【详解】（1）解：选择①：如图， 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 与 相切； 选择②：如图， 证明： ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 与 相切； 选择③：如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 与 相切； （2）解：①，证明见第一问； ②连接 ，如图： 由上可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 的半径为 ． 9．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 中， 为直角，点 为 边上一动点（不与 重合），以 为直径作 ， 与 交于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ． 与 交于点 ． (1)求证： ； (2)如果 ， ， ①令 ， ，求 关于 的函数关系式； ②若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2)① ；② ． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角推出 ，再根据 ，得出 ，再根据圆周角定理即可得证； （2）由勾股定理可得 ， ①证明 ，得出 ，根据 ， ，可得 ，然后根据 可得出y关于x的函数关系式； ②先证明 ，可得点 是 的中点，得到 ，可求出 ，再证明 ，根据相似的性质可得 ，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 为 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解：∵ 为直角， ， ， ∴ ， ①∵ 为 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ，点 为 边上一动点（不与 ， 重合）， ∴ ， ∵ ， ∴y关于x的函数关系式为： ； ②∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 是 的中点，且 ， 将 代入 ， 解得： ，即 ， ∴ ∵ ，点 是 的中点， ， ∴ ， ∴点 是 的中点， ∴ ， 又∵ 为直角， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在 中， ， 是 的外接圆； 是 的直径， 与 交于点 ，在 的延长线上取点 ，使 平分 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（ ）由圆周角定理可得 ，进而可得 ，即得 ，即可求证； （ ）由已知得 ，再由 得 ，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ 是 的切线； （2）解：∵ ， ， ∴ ， 由（ ）知， ， ， ∴ ， 即 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得 ． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图， 内接于 ， 为 边的高， 为 的直径交 于点F，连接 ． (1)求证： ； (2)当直径 平分 时，求证： ； (3)在（2）的条件下，若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）先证明 ，结合 ，从而可得结论； （2）证明 ，结合 ，证明 ，结合 ，可得 ，从而可得结论； （3）求解 ， ，结合 ，可得 ，设 ，则 ，可得 ，再进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 为 的直径， 为 边的高， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）证明：∵直径 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ （3）解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）， ， ∴ ． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图， 内接于 ，点D在 上（点D不与点A重合），点E在 上，且四边形 是菱形． (1)求证： ； (2)若 ，求 的直径长； (3)过点A作 的切线交 延长线于点F，若 ，求证：点D是 的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据菱形的性质及圆内接四边形的性质易证 ，即可得出结论； （2）分别过点 作 ，垂足分别为 ，连接 ，设 交点为M，解直角三角形求出 ， ， 进而求出 ，利用勾股定理求出 ， ，由菱形的性质求出 ， ， ，设 ，则 ，利用勾股定理建立方程即可解答； （3）利用切线与弦所对应的圆周角相等，以及  ，构造相似三角形，结合：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，从而证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是 的内接四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：分别过点 作 ，垂足分别为 ，连接 ，设 交点为M， 由（1）知 ， ∵ ， ∴ ， 设 ， ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 经检验 是该方程的解， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ，即 的直径长为 ； （3）证明：连接 ， 则 ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的切线，切点为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点D是 的黄金分割点． 13．（2025·江苏苏州·一模）如图， 中，D为 上一点， ， 是 的外接三角形， 为 的直径，连接 ． (1)求证： 为 的切线； (2)若 的直径 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知 ，根据圆周角定理可知 ，结合 ，可知 ，进而证明结论； （2）由（1）可知 ，进而解直角三角形求得 ， ，连接 ，由圆周角定理可知 ，进而解直角三角形求得 ， ，过点 作 于 ，则 ， ，得 ，再证 ，得 ，设 ，则 ，根据 ，列方程即可求解 ． 【详解】（1）证明：∵ 为 的直径， ∴ ，则 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ， ∴ 为 的切线； （2）解：由（1）可知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， 连接 ， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ，则 ， 过点 作 于 ，则 ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 则 ， 设 ，则 ∵ ，即 ， ∴ ，解得： ， ∴ ． SHAPE \* MERGEFORMAT 相似与函数综合 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中， 的边 落在x轴上，边 落在y轴上，点C是 的中点，将 沿 的中垂线翻折，得到 ，反比例函数 经过点D，且 ，则k的值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定与性质及折叠的性质，设 的中垂线与x轴交点为H，连接 ，易得 ，再根据点C是 的中点，得到 ，求出 ，再证明 ，推出 ，由 ，求出 ，即可求出 ，得到 ，再结合折叠的性质可得 ，求出 ，进而求出 ，即得到 ，最后结合反比例函数位于第二象限， 即可求解． 【详解】解：设 的中垂线与x轴交点为H，连接 ， 则 ， ∵点C是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵反比例函数位于第二象限， ∴ ． 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点 为函数 图象上一点，连接 ，交函数 的图象于点 ，点 是 轴上一点，且 ， 的面积为 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作 于点 ,设 ，则 ，设直线 的解析式为 ，得到 ，继而得到 ，得到 求出 或 （舍去），即可得到答案． 【详解】解：如图，作 于点 , , , 设 ，则 ， 设直线 的解析式为 ， 将 代入 得 ， ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， ， ， ， 或 ， ， 不符合题意， ， 故答案为：C． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以 为边的正方形 在x轴上方，点C的坐标为 ，反比例函数 的图像经过 的中点E，F是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 ．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设 与y轴的交于点M，过点F作 轴于点N，根据正方形的性质得出 ，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得 ，即可求得 ，通过证得 ，求得 ，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标． 【详解】解：设 与y轴的交于点M，过点F作 轴于点N， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 正方形， ∴ ， ∵点E是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴反比例函数为 ， 由折叠可知， ， ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立方程组得， ， 解得 或 ， ∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为 ， 故选：D． 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点 分别在反比例函数 与 的图象上且 ，则 的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得 ，然后可证 ，则有 ，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点 分别在反比例函数 与 的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 5．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点 在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线 逆时针旋转 得直线 ，直线 交x轴于点B，交y轴于点 ，当 时， 的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能构造出相似三角形是解题的关键． 连接 ，证明 ， 得 ，设 ， ，可得 ，得 ，即可得结论． 【详解】解：连接 ， ， ， 又 ， ， ， 设 ， ， ， 得 ， 同除 得 ， 解得 （舍负）．即 故答案为： ． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数 的图象上，延长 到B，使 ，过点B作 轴，与 的图象交于点C， ，交 于点D，若四边形 的面积为 ，则k的值为 ．    【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、求位似图形的对应坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出 ，设点 ，用坐标表示三角形面积． 根据 可得 ，进而可得 ，根据面积的和差求出 ，设点 坐标为 ，利用位似可得 ，由 轴，结合反比例函数性质可得 ，进而可 ，由 即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设点 坐标为 ，则 ， ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为2． 7．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，且点 在点 的左侧，与 轴交于点 ． (1)求该抛物线的表达式； (2)当 ，且 时， 的最大值和最小值分别是 、 ， ，直接写出 的值是________； (3)如图1，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在 轴上方的抛物线上有一动点 ，设射线 与直线 交于点 ，求 的最大值； (4)如图2，连接 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新抛物线 ，使平移后的新抛物线 经过点 ，新抛物线 与 轴的另一交点为点 ，请问在新抛物线 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，则直接写出点 的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ， (4)存在， 或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据抛物线 ，经过点 ， ，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）已知抛物线的方程为 ，其顶点坐标可通过配方法求得 ，根据 ．求出最大值和最小值，进而由 列方程求解即可． （3）过点P作 交直线 于点Q．设点 ，则点 ．根据平行线证明 ，列出比例式解答即可． （4）如图2，连接 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新抛物线 ，使平移后的新抛物线 经过点B，新抛物线 与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线 上是否存在一点T，使得 ？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线 ，经过点 ， ， ∴ ， 解得 故抛物线的解析式为 ． （2）已知抛物线的方程为 ，其顶点坐标可通过配方法求得： ∵ ∴顶点坐标为 ． ​当 时， ​​由于抛物线开口向下，顶点处取得最大值 ，即 ． 在区间右端点 处取得最小值 t​​，代入解析式得： ​∵ ，​​ ∴ ， 整理得 ， 解得： ， （ ，不合题意舍去）​​ 综上所述： ； （3）解：过点P作 交直线 于点Q． 设点 ，则点 ． ∵直线 与 轴交于点D， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ． ∵ ，且 ， ∴ 时， 的值最大，最大值为 ． 把 代入 ，得 ． ∴点P的坐标为 ． （4）解：∵直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E， ∴ ， ∴ ， ∴沿着 方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由 ， ∴设 ，把点 代入得： ， 解得 （舍去）或 ， ∴ ， 令 ， ， 解得 或 ， 故点 ， ∵ ， ， ∴ ， 设点 ，过点T作 于点G， 故 ， 即 ， 解得： 或 （舍去）， ∴ ； 同理可得 ， 即 ， 解得：： 或 （舍去）， ∴ ， 综上，点T的坐标为 或 ． 8．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反比例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ． (1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标； (2)若 ，求 的面积． 【答案】(1) ； (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据 为边 的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设出点D的坐标，点E坐标，根据 ，得出 【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 为边 的中点， ∴点 的坐标为 ， 代入 得， ， 解得， ， 把 代入 得， ， 解得， ， 点E坐标为 （2）解：∵点 的坐标为 ，反比例函数 的图像与边 分别交于点 ， 设点D的坐标为 ，点E坐标为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得， （舍去）或 ， 则点D的坐标为 ，点E坐标为 ， ， ， ． 9．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点 ， 两点，与y轴交于点C，连接 ，在该图像上有一点P，连接 ， ．设P点的横坐标为 ． (1)若 ， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时， 的面积取得最大值？ (2)连接 交y轴于点E，直线 交y轴于点F，求证： 是定值． 【答案】(1)① ② ， 的面积取得最大值6； (2)证明见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数表达式求解，三角形面积最值以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，通过作辅助线求三角形面积，利用相似三角形性质证明线段比例定值． （1）①利用二次函数与 轴交点坐标设出交点式，再代入 点坐标求出表达式； ②过点 作 轴交 于点 ，用含 的式子表示出 的面积，再根据二次函数性质求最值； （2）过点 作 轴于 ，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明 是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与 轴交于点 ，设二次函数表达式为 ， EMBED Equation.DSMT4 在抛物线上，把 代入 得： ，即 ，解得 ． 二次函数表达式为 ． ②过点 作 轴交 于点 ， 设直线 表达式为 ，把 代入得 ，将 代入 得 ，解得 ， 直线 表达式为 ， EMBED Equation.DSMT4 点横坐标为 ，则 ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， 即 ， 对于二次函数 ，对称轴为 ， 当 时， 的面积取得最大值 ； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点 ， 两点，与y轴交于点C， ∴ ， ， 过点 作 轴于 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 是定值． 10．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一点，且横坐标是1，连接 ， ．点 是第三象限抛物线上一动点． (1)填空； ______； (2)如图1，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ．当 最大时，点 是 轴上一个动点，求 的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的抛物线经过点 ，点 是平移后的抛物线上一点， ，连接 ．将线段 平移到线段 （点 、 分别与点 、 对应）．若点 、 同时落在平移后的抛物线上，求点 的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于 ，过点 作 轴交 的延长线于 ，则 ，求出 ，得出 ，设 ，则 ， ，证明 ， ，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出当 时， 有最大值，此时 ，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、 三点共线时， 的值最大，为 ，最后两点间距离公式计算即可得解； （3）先求出直线 的解析式为 ，由 ，可设将抛物线向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为 ，代入点 ，求出平移后的抛物线的解析式为 ，即可求解 ，设 向左平移 个单位，向下平移 个单位，则 ， ，将其代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 的图像与 轴交于点 ， ∴ ， 解得： ， ∴解析式为： ， 故答案为：1； （2）解：∵点 为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当 时， ，即 ， 设 的解析式为 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 如图，过点 作 轴交 于 ，过点 作 轴交 的延长线于 ， 则 ， 在 中，当 时， ，即 ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值， 此时 ，即 ， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、 三点共线时， 的值最大，为 ， ∴ ； （3）解： ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入解析式 可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ∵将抛物线沿射线 方向平移， ∴设将抛物线向右平移 个单位长度，则向上平移 个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为 ， ∵平移后的拋物线经过点 ， ∴ ， 解得： （不符合题意，舍去）或 ， ∴平移后的抛物线的解析式为 ，其对称轴为直线 ， ∵ 为平移后抛物线上一点， ∴ ，即 ， 如图： 设 向左平移 个单位，向下平移 个单位， 则 ， ， 将其代入 得： 上式 下式得， ， 解得： ， ∴ ，点 即为抛物线的顶点， ∴ ． 11．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于 、 两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线 交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接 ． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若 ，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长 交x轴于点G，若 ． ①求点G的坐标； ②Q为线段 上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若 ，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得： ，即可求解； （2）证明 和 关于 对称，得到直线 的表达式为： ，联立 和抛物线解析式即可求解； （3）①由 ，则 ，即可求解； ②证明 EMBED Equation.DSMT4 ，则AN： ：PD，即 ： ：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴ ， 则 ， 则抛物线的表达式为： ； （2）解：由抛物线的表达式知 ， ∴点 ， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则 轴，则 ， 而 ， 则 ， 即 和 关于 对称， 设直线 的表达式为： ， 则 ， 解得： ， ∴ ， 则直线 的表达式为： ， 联立上式和抛物线的表达式得： ， 解得： 舍去 或3， 则点 ， 故答案为： ； （3）解：①设点 ， ， 则 ， 则 ， 即点 ； ②由点A、D的坐标得， 直线 的表达式为： ， 同理可得直线 的表达式为： ， 联立 和抛物线的表达式得： ， 则 舍去 或 ， 则点 ， 设点 ，点 ， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ， ， ， ， 由①知， ， 而 ， 即 ， 则 ， 即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 则 ， 即 ： , 则 ， 即n的最大值为： ， 故答案为： SHAPE \* MERGEFORMAT 相似三角形的实际应用 1．（2025·江苏扬州·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 ， ， 在同一水平线上， ， 与 相交于点 ．测得 ， ， ，则树高 ． 【答案】14 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明 ，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 ， 故答案为：14． 2．（2025·江苏泰州·一模）“小孔成像”实验示意图如图所示，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是 ，若烛焰 的高是 ，则实像 的高是 ． 【答案】8 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据 证明 ，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得： ， ∴ ， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是 ，烛焰 的高是 ， ∴ ， ∴ 故答案为： ． 3．（2025·江苏淮安·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ，设 ，小孔 到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为 ． 【答案】20 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设小孔 到 的距离为 ，根据光学原理，得到 ，得到 ，继而得到 ，列式解答即可． 本题考查了跨学科综合，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小孔 到 的距离为 ，根据光学原理，得到 ， 故 ， 故 ， 故 ， 解得 ． 故答案为：20． 4．（2025·江苏无锡·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像 ．若 ， ．小孔O到 的距离为 ，则小孔O到 的距离为 ． 【答案】 / 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得 ， ，过 作 于点 ， 交 于点 ，利用已知得出 ，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得： ， ∴ ， 如图，过 作 于点 ， 交 于点 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， 即小孔 到 的距离为 ， 故答案为： ． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈 型，将其抽象成如图②的平面图形，呈 型的 可绕点 旋转，其中 ， ， 三点在同一条直线上，点 在直线 上， ， ， ， ，初始时 ． (1)如图②，求初始时点 到 的距离； (2)如图③，当点 第一次落在 上时，求点 在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据： ） 【答案】(1)点 到 的距离约为 (2)点 在竖直方向上升了 【知识点】相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过 作 于 ，在 根据 代入计算即可； （2）过 作 于 ，由旋转可得 ， ， ，先求出 再根据 ，得到 ，解得 ，最后根据点 在竖直方向上上升了 代入计算即可． 【详解】（1）解：过 作 于 ， 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 即点 到 的距离约为 ； （2）解：过 作 于 ， 由旋转可得 ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴点 在竖直方向上上升了 ． 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯 、树 的底端与小明的站位点 在同一条直线上，灯（点 ）、树顶 、小明的头顶 这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点 重合，小明的影长 为3米，已知小明的身高为 米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【答案】6米 【知识点】实际问题与反比例函数、相似三角形实际应用、求反比例函数解析式 【分析】证明 ，得出 ，代入数据求出 ，设点B的坐标为 ，则 点的坐标为 ，求出 ，得出反比例函数解析式为： ，设点D的坐标为 ，得出 ，证明 ，得出 ，即 ，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 米， 米， 米， ， ， ， 则 ， ， （米）， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， 设点B的坐标为 ， 点的坐标为 ， ∵灯（点 ）、树顶 、小明的头顶 这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴ ， 解得： ， ∴点B的坐标为 ， 设反比例函数解析式为 ， 把 代入得： ， ∴反比例函数解析式为： ， 设点D的坐标为 ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， （舍去）， 经检验 是原方程的解， ∴ （米）， 答：树与路灯相距6米． 7．（2025·江苏南京·一模）身高 的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯 ，其光源N到地面的距离为 ． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线 ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线 与地面的夹角（ ）以及影子和步道的夹角（ ）均为 ，则影子顶端（点B）到步道的距离（ ）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为 ），其半径为 ．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)① ；②见解析 (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得， ， ， 中， ， ， 中， ，即可求解； ②作 ，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得， ，则 ，得到 ，再由垂直得到 ，推出 ，即 ， 是定值， 是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接 ，过 作 交 延长线于 ，由题意得， ，则 ， ，再由 ，得到 ，得到 ，则由 是定值，得到 是定值，即 位置固定不变，由 半径为 ，即 ，得到 ，确定点 运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线 与地面的夹角（ ）以及影子和步道的夹角（ ）均为 时，即 ， ∴ 中， ， ， ∴ 中， ， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（ ）为 EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ； ②方法一：如图，作 ，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是定值， ∴ 是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为 ，当他走到 上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为 ，连接 ，作 ，垂足为H， 由题意得， ， ， ∴ ， ∴ ， 同理， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ 是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接 ，过 作 交 延长线于 ， 由题意得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ 是定值， ∴ 是定值，即 位置固定不变， ∵ 半径为 ，即 ， ∴ ， ∴点 运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为 c． 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头 ，在距码头西端M的正西方向 千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西 方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口 ，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． (1)求 两地的距离； 结果保留根号 (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头 靠岸？请说明理由 参考数据： ， ， 【答案】(1) 千米 (2)能行至码头 靠岸，见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点A作 于点 ，可知 为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）延长 交l于D，证明 ，求出 ，比较 与 的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作 于点 ， 由题意，得 千米， 千米， （千米） 在 中， （千米） （千米） 在 中， （千米）； （2）解：如果该轮船不改变航向继续航行，能行至码头 靠岸， 理由：延长 交l于点 ， ， ， ， ， ， （千米） ， 该轮船不改变航向继续航行，能行至码头 靠岸． 9．（2025·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯 的正下方 处出发，先沿平路走到 处，再上坡到达 处．已知小明的身高为 m，他在道路上的影长 （单位：m）与行走的路程 （单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中， 是线段， 是曲线． (1)结合 的位置，解释点 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯 的高度是____________m． (3)设 的坡角为 ． ①通过计算：比较线段 与线段 的倾斜程度． ②当 取不同的值时，下列关于曲线 的变化趋势的描述； 随 的增大而增大； 随 的增大而减小； 随 的增大先增大后减小； 随 的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下 处，纵坐标：此时影长为 ，影长的顶端正好在 处 (2)6 (3)①线段 的倾斜程度更大；② 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、从函数的图象获取信息 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下 处，纵坐标：此时影长为 ，影长的顶端正好在 处； （2）根据题意列出方程，求得路灯 的高度是 ； （3）①根据 ，得出 ，根据三角函数，得出 ，再进行比较即可； ② ：小明走到灯下 处，影子正好顶端在 处， ：小明走到灯下 处，到达 ，当 取不同的值时，影长 可能随 的增大而增大或随 的增大而减小或随 的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 横坐标：小明走到灯下 处，纵坐标：此时影长为 ，影长的顶端正好在 处． （2）解：由题意得： ， 解得： ， ∴路灯 的高度是 ， 故答案为：6． （3）①解：∵ ，设直线 的解析式为 ， 把 代入 ，得 ， ∴ ． 为小明在坡上任意一点， ∴此时 m，影长 m， m， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴线段 的倾斜程度更大； ② ：小明走到灯下 处，影子正好顶端在 处， ：小明走到灯下 处，到达 ， ∴当 取不同的值时，可能出现 的情况， 故答案为： ． 题型1 题型2 题型3 题型4 题型4 2 / 7 _1808751716.unknow$$ 专题16 相似三角形 题型概览 题型01 相似三角形的性质和判定 题型02 相似与四边形综合 题型03 相似与圆综合 题型04 相似与函数综合 题型05 相似的实际应用 ( 题型1 )相似三角形的性质和判定 1．（2025·江苏南通·一模）在中，，，点D是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，连接交于点F，连接．两位同学进行探究，小明发现：；小丽发现：请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③当、、三点在一条直线上时，；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 5．（2025·江苏苏州·一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交与点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，分别为边上一点，且，设，，则与之间的函数表达式为 ． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 11．（2025·江苏常州·一模）如图，已知在中，，，，点在边上，若有两个内角的差是，则 ． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 14．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，D，E分别是，的中点，那么与四边形的面积之比是 ． 15．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，于点，作，AE交线段于点，恰有，则 ． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，正边长为1，为上一动点（不与A、C重合），过作，垂足为E，M为线段上一点，且，过作交于．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 17．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ． 18．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为 ． 19．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ． 20．（2025·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 21．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． ( 题型 2 )相似与四边形综合 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，为边上一点，且，与交于点．下列结论：①，②平分，③，④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，分别记，，，的面积为，，，，若，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·一模）如图，在正方形中，，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，则的长为 ． 6．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 8．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 10．（2025·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对角线上时，则到的距离为 ． 11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 12．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，是等腰直角三角形，，点是边上的一动点，连接，以为一边作矩形，连接，若，则线段的最小值为 ． 15．（2025·江苏扬州·一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则 ． 16．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 17．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图1，已知四边形是平行四边形，且．请用无刻度直尺和圆规按以下作法作图： ①作的角平分线，交于点E； ②以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ③连接． 证明：四边形为菱形； （2）如图2，在的边上取一点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G；再在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．且按这一方法所作菱形的个数随着点E位置的变化而变化．若，，边上的高为8，当恰好只能作出一个菱形时，求对应的的长的取值范围； （3）如图3，在中，，，，点D在边上，作菱形，使点E，F在边上，点G在边上，所作菱形面积的最大值为_______． 18．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 19．（2025·江苏扬州·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，为的中点，求的长． 20．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】 如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上的一个动点．连接并延长交于点F，将四边形沿着直线折叠，点A的对称点是点，点B的对称点是点．点E从点A出发，沿着运动，当点B'与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 (1)判断的形状； (2)设，，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； (3)如图2，连接交于点H．当时，求的值． 21．（2025·江苏扬州·一模） 如图，矩形中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． (1)如图1，当点Q与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点Q在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 22．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （3） 如图2， 为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 23．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 24．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，连接，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，．若，，则菱形的边长为_________． 25．（2025·江苏常州·一模）如图，在和中，，，，．点是边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长交于点． (1)与有怎样的大小关系？说明理由； (2)若，求的长； (3)若是等腰三角形，求的长． ( 题型 3 )相似与圆综合 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，点是其重心，延长交于点，则．若与的一边相切，则的半径的所有可能值为 ． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则 ，切线长的最小值为 ． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，等腰三角形内接于圆，，，点是边上一动点，连接并延长交圆于点，则的最大值为 ． 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，在以为直径中，弦，，点D是上一动点，以为一边在左侧作，使，，连接，则的最大值为 ． 5．（2025·江苏常州·一模）如图，过圆心，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得． 条件①：平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是 ． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．若，，，则的半径为 ． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为的中点，点C在弧上，以、为邻边作矩形，边交于点E，连接，并延长交于点P，若，则的值为 ． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． (1)在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； (2)在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，中，为直角，点为边上一动点（不与重合），以为直径作，与交于点，过点作交的延长线于点．与交于点． (1)求证：； (2)如果，， ①令，，求关于的函数关系式； ②若，求的值． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，内接于，点D在上（点D不与点A重合），点E在上，且四边形是菱形． (1)求证：； (2)若，求的直径长； (3)过点A作的切线交延长线于点F，若，求证：点D是的黄金分割点． 13．（2025·江苏苏州·一模）如图，中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． ( 题型 4 )相似与函数综合 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（   ） A．6 B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为 ． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    7．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)当，且时，的最大值和最小值分别是、，，直接写出的值是________； (3)如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点，求的最大值； (4)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 8．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 9．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为． (1)若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ (2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值． 10．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，点，与轴交于点，点是抛物线上一点，且横坐标是1，连接，．点是第三象限抛物线上一动点． (1)填空；______； (2)如图1，过点作交于点，连接交于点．当最大时，点是轴上一个动点，求的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线经过点，点是平移后的抛物线上一点，，连接．将线段平移到线段（点、分别与点、对应）．若点、同时落在平移后的抛物线上，求点的坐标． 11．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． ( 题型 4 )相似三角形的实际应用 1．（2025·江苏扬州·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高 ． 2．（2025·江苏泰州·一模）“小孔成像”实验示意图如图所示，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是 ． 3．（2025·江苏淮安·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 4．（2025·江苏无锡·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为 ． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 7．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． (1)求两地的距离；结果保留根号 (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，， 9．（2025·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$