江西省南昌市2025届高三下学期信息卷数学试题

2025届高三信息卷 数学 注意事项： 1。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A=x1s2≤16，x∈Z,B=红X-3 0}，则A∩B= x- A.[L,3] B.[3,4] C.2,3引 D.(2,3] 2已知a,6均为正数。则~na>h方”是“g+b>2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在(x+)×(x+2)×…×(x+10)的展开式中，x的系数为 A.55 B.60 C.75 D.90 4.己知函数f(x)= [2+2,x>1 若f(a)=5-a,则实数a的值为 4x+3,x≤1 人2 C.I D. 2-5 5.已知平面向量a,6满足1aH卧3，且后在6上的投形向量为-5，则向量石与向 量石的夹角为 A月 B.2π 3 C.3 D. 5π 6 6.对于函数f(x),实数a,b满足a≠b,f(a)=f(b),则称a与b是函数f(x)的“同值点". 若x与2，y与3，z与5都是函数∫(x)=e-cx的“同值点”，则 A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 7.我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的 情况：如果函数∫(x)的图象有对称中心，那么其导函数(x)的图象会有对称轴：如果函 数(x)的图象有对称轴，那么其导函数∫(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究 函数∫似)=山+的对称性，并判断下列选项中正确的是 3-x A了)有对称中心(2月 13 B.心)有对称中心（行，） C.了()有对称轴x=一2 D.∫)有对称轴x 1 8已知E楼锥4-BCD,平面ABCL平面BCD,∠BAC=牙∠BDC=若BC=2,则 6 三棱锥A-BCD外接球的表面积为 A.16π B.20π C.28π D.32π 一高三数学第1页（共4页）一 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组数据为连续的正整数：，2，…，o(:<,<…<0),现去掉x,x0后组成一 组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法中正确的是 A。中位数不变 B。平均数不变 C.方差变小 D.若，=1，则数据x,x2,…,xo的第80百分位数为8 10.已知函数∫(x)=sinx+sin2x,则下列说法中正确的是 A.∫(x)为周期函数 B。闭在写，孕单调选减 C.f(x)最大值为2 D.3∈R,xf(x)>3x2 11,已知定义在R上的单调函数(x),满足x,yeR,f(y)=f(x)f(y),则下列说法 正确的是 A.f0)=1 B.f(x)可能是单调递减函数 C.f(x)为奇函数 D.若f阁)=2，则f2)=29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知复数z满足z2=2+2√3i,则z的虚部为 13.已知数列{a}的各项均为正数，a1=2(a)-y,则S。项和的最小值为 14。已知精圆C:号+芝 子+长=阳>b>0的左、右荷焦点分别为尺，R,其离心率e=号点 P是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，线段PF与y轴交于M点，若|MF HPF2I,则 cos∠FPF3= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△MBC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,e,已知a=√5,3cos2A-cos2B=2. (1)求b: (2)如图延长AB,若BD=3C时，CD⊥BC,求c, 一高三数学第2页（共4页）一 16.(15分) 如图所示，正三角形△ABC的边长为2，D,E,F分别是各边的中点，现将 △MADE,△BEF,△CDF分别沿DE,EF,DF折起，使得△MDE,△BEF,△CDF所在平面均 与底面DEF垂直. (1)求证：平面ABC∥平面DEF: (2)求二面角C-DA-E的正弦值. 17.(15分) 已知函数树-号-a0x+孕a>0,且x=2不稳/)的樱值点 (1)求a的值： (2)判断∫(x)的零点个数。 18.(17分) 在直角坐标系xOy中，动点Q(y轴右侧)到点F(L,O)的距离比到y轴的距离大1.记 动点2轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设△ABM为曲线C的内接直角三角形(A在第一象限，M在B的下方)，且M 为直角顶点，若△ABM的重心G在x轴上. (i)求证：直线AB过定点： (i)设直线AB经过的定点为P,AM与x轴交于H,设△BPG的面积为S,△MGH 的面积为3，则兰的取值范围。 一高三数学第3页（共4页）一 19.(17分) 一游戏活动中，准备了n张卡片，这n张卡片各标记了一个数字，各卡片的数字互不相 同，游戏者不知道各卡片的数字，游戏规则是：逐张抽出卡片，观察卡片的数字，并确定是否 选择这张卡片的数字，若选择这张卡片的数字，游戏结束，若不选择这张卡片的数字，继续 逐张抽出卡片，不能回头选择，为使选择到卡片的数学大，甲采取的策略是：前k (k∈N,k≤n-1)张卡片的数字都不选择，记下这k张卡片的最大数字，从第k+1张卡 片开始，一旦发现数字比前k张卡片最大数字大的卡片，则选择该张卡片的数字，若一直没 有比前k张卡片最大数字大的卡片，则选取最后一张卡片的数字， (1)若n=3,k=1,求甲选到这3张卡片数学中的最大数字的概率： (2)若n=4,k=2,这4张卡片标记的数字从小到大分别是1,2,3,4，记甲选到卡片 的数字为X,求随机变量X的分布列和数学期望： (3)甲选取到这n张卡片中的最大数字的概率最大时，k=k,证明： +2++n1≤1+，+ n-1 一高三数学第4页（共4页）一 2025届高三信息卷 数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号1 2 3 4 5 6 7 8 D B B 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12.±1 13.60 4.18 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)由3cos2A-cos2B=2,，得31-2sin2A)-(1-2sin2B)=2, 则sin2B=3sin2 4(sinA,sinB>0),sinB=√3sinA, 由正弦定理得：b=√5a=3. …6分 (2)设∠CBD=0,在R△BCD中，cos0=BC-Y5 BD 3c 在△4BC中，由余弦定理得：AB2+BC2-AC2=2AB-BC.cos(元-)， 即c2+3-9=2c5(-2)=-2,所以c2=4,即c=2, 4*444*13分 16.【解析】(1)分别过A,B,C作底面DEF的垂线，垂足A,B,C 垂足分别为DE,EF,FD的中点，所以AA //BB,AA=BB, 所以四边形AABB为平行四边形，所以AB/1AB, 所以ABII平面DEF,同理CB/I平面DEF. 故平面ABC∥平面DEF. 4…6分 (2)取DE的中点O,分别以OE,OF,OA为x,y,:轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则4ao9c-9x-a,时a, 所C=9o而=09。 设平面CDA的法向量为m=(x,y,), 则 n·AC=0 ,所以 4=0 ·AD=0 5。” 2-2=0 令x=3,得y=5,:=-5,所以m=(3,√5，-√5) 由图可知平面EDA的一个法向量为m=(0,l,0), …11分 所以cos<,m>= 元55 1%m|15×15 所以二面角C-DA-E的正弦值为25 *4*”15分 忆.【解折1D因为广)=子(e-a,而x=2不是/)的极值点 所以方程e-a心=0还有其它正根（变号零点）， 若曲线y=e和y=ar在(0，+o)只有一个公共点， 则y=c和y=ar相切，不符合题意， 所以此时e2-ar=0必有两个正根，且x=2为其中一个根， 所以a= 2 …5分 2)由(1)可得f)=-2 设g=e-号，则方程g)=0的两根为x=2,x=30<5<2,其中e= 2 因为0<x<x,时，g(x)>0所以(x-2)g(x)<0,即f'(x)<0,此时f(x)单调递减： x<x<2时，g(x)<0,则(x-2)g(x)>0,即f"(x)>0,此时f八x)单调递增： x22时，g(x)≥0，所以(x-2)g(x)≥0，即f'(x)≥0，此时f(x)单调递增. 即f（x)mn=f(x) 4…10分 因为e= 2,即%=ln+2-n2. 所以=)小-空-三mx+3 Γx2 =c_ 2元2-2+h2)+3 x 2-+2-n2)<(-2+2-1n2)<0, 且x→0时，f(x)→+0：x→+o时，f(x)→+， 所以f(x)在(0，x),(xo,+o)上各有1个零点， 所以f八x)在(0，+∞)上有且仅有2个零点 444*”15分 18.【解析】(1)依题意可知动点Q到点(L,0)的距离等于到直线x=-1的距离 所以动点Q的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线. 所以C的方程为y2=4x …5分 (2)(1)设A(x,,B(x,乃)，M(3,为） 因为A,B在曲线C上，则有{ =4x =4x ,两式相减得：k=4 +为 4 同理kw= 4 头+为 因为△ABM为直角三角形，即MA⊥MB 所以k4kw=-1,即车4=-小. 片+为为+3 则为2+(%+乃)乃+片=-16， ***44”8分 又因为△4BM的重心G在x轴上则有另+为+为=0，即另+乃=一为 所以乃=-16， 直线AB的方程为y-片=+-x) 所以直线AB的方程为4x-(3+乃)y+丛=0， 所以直线AB经过定点P(4,O): 4…4444444…11分 (i)设Ax,乃)，B(x2,片)，M(,),且片>0，片<0，乃<0 因为G是△4BM的重心，所似Scw=Saw=号em 不妨设SAaW=S,所以SBG=S= 1.二hS,50m=S=3-为 =1.-yS, 3片- 丛-1 所以至=丛丛=当， …14分 S,y-乃五-1 为 必-+1 又因为y+片=-，所以冬=出-出=+一， S%-y1-业 令1=上，所以S=21+1 S21-F 又因为M在B的下方，所以为<为，即-0y+为)<2，即1=立<-2， 令a=21+1<-3,所以S=-4a 4 52 S2a2-2a-3 a 4 设f八@=3，则@)在2，-3)为啪菌， 0、 a 所以0<f@<l,即g∈(0，). S, 19.【解析】(1)设这三张卡片标记的数字从小到大依次记为a,a2,4,排列有： a,42a3,a1a42,a241a,a2434,aa1a2,aa241 按照甲的策略，能取到a的有： a10342,a34143,a2a341 所以，甲选到这3张卡片数字中的最大数字的概率是2=。 62 4444#4分 (2)X的可能取值可以是1,2,3,4，将这四张卡片排成一列，有A=24种排法， "X=1"表示标记数字4的卡片排在前2位，标记数字1的卡片排在第4位， P(X=1-AA=1 246 "X=2"表示标记数字4的卡片排在前2位，标记数字2的卡片排在第4位， PX=2)=AA3.1 246 "X=3"表示标记数字1,2的卡片排在前2位，标记数字3的卡片排在第3位，或标记数字 4的卡片排在前2位，标记数字3的卡片排在第4位， PX=3)=+AA= 24244 "X=4"表示标记数字3的卡片排在前2位，标记数字4的卡片排在后2位，或标记数字 1,2的卡片排在前2位，标记数字4的卡片排在第3位， PX=4=AAA+A9-三 242412 因此，随机变量X的分布列是 X 1 2 4 P 1-6 5 6 4 12 6合号经824920器 12 -12 …10分 (3)设这n张卡片标记的数字从小到大依次记为a,a2,a,,a。,将这n个数字随机排列， 共有A: 甲选取到这n张卡片中的最大数字，即甲选到数字an,可以分为an排在第k+l,k+2,n 位，并且甲选中an,分别记为事件A(i=k+1,k+2,,), A,表示a,排在第k+l位，其它卡片随机排因此。P氏4)= A表示an排在第i位，且前i-1个数中的最大数在前k位，(i=k+2,k+3,,n-1,n) 因此， PA)=AkA经=I-》xI-2xx0+10-20-3》x2x1。k A n×(n-l)×…×2×l n(i-1) 因此，甲选到最大数字的概率为： R=+1 nk k+1' R-R=+1 nk+l ), =nk+7…+, 因为R最大，所以R1-R≤0，月-R120,即 1 1 111 1≤kk+k+2“+、7 n-1 …17分