专题03 平行四边形（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质——求角、边 题型02平行四边形的性质——求证 题型03平行四边形的判定 题型04平行四边形性质与判定综合 题型05中位线的应用 题型06矩形的性质 题型07矩形的判定 题型08折叠问题 题型09菱形的性质与判定 题型10正方形的性质与判定 题型11动点问题 ( 题型01 )平行四边形的性质——求角、边 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，已知四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）如图，在平行四边形中，，E为上一点，且，求的度数． 6．（23-24八年级下·广西梧州·期末）在平行四边形中，若，则的度数是 ． 7．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图：在中，边上的高，则的周长为 ． ( 题型0 2 )平行四边形的性质——求证 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）平行四边形的对角线（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相垂直且平分 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在▱ABCD中，过对角线上BD任意一点P作EF//BC，GH//AB，图中面积相等的平行四边形有( )    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ( 题型0 3 )平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． ( 题型0 4 )平行四边形性质与判定综合 1．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 4．（23-24八年级下·广西·期末）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． (1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且； (2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长． ( 题型0 5 )中位线的应用 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，，则为 ．    3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，点是边的中点，平分，于，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知 E 为中边上的延长线上一点，且，连接 交于点 F，连接交于点O，连接，求证： 6．（23-24八年级下·广西来宾·期末）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )矩形的性质 1．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是 ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形内有一点P，连接，延长交于点E，若，则的长是 ． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，已知矩形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（    ）    A．5 B． C． D． 6．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1.5 ( 题型0 7 )矩形的判定 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3．（23-24八年级下·广西·期末）要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中，，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是 (填写序号)． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °． 6．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 ( 题型0 8 )折叠问题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则 ． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期末）如图，四边形为平行四边形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的点E处，折痕为，且，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形的顶点、在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． ( 题型0 9 )菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，四边形是菱形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）菱形的对角线长分别为，，则这个菱形的面积是 . 6．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ． 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，且，对角线相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 9．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 10．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当在中点时，求证：四边形是菱形． ( 题型 10 )正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在正方形外侧，作等边，则 ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图所示，正方形的边长为10，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点在上，且D点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D．8 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． ( 题型 11 )动点问题 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ．    3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． 特例探究： （1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸： （3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当，时，连接，，，请直接写出线段的长及的面积． 3．（23-24八年级下·广西北海·期末）几何与探究 【初步感知】（1）如图，在中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，，求的长； 【深入探究】（2）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．若，连接．当时，求的长． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 5．（23-24八年级下·广西贺州·期末）如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）实践操作 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______°；当点E与点A重合时，______°； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （2）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 7．（23-24八年级下·广西·期末）【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理． 【动手操作】如图1，是正方形的对角线，点E是上的一个动点，过点E和B作等腰直角，其中，，与射线交于点P． 请完成： （1）试判断图1中的和的数量关系； （2）当点P在线段上时，求证：． 【类比操作】如图2，当点P在线段的延长线上时． （3）是否还成立?请判断并证明你的结论． 8．（23-24八年级下·广西·期末）课本再现 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形 （如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， 垂足为， ∴是的垂直平分线， ∴___________ ∴平行四边形是菱形． 知识应用 （2）如图2 ，在中，对角线和相交于点，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质——求角、边 题型02平行四边形的性质——求证 题型03平行四边形的判定 题型04平行四边形性质与判定综合 题型05中位线的应用 题型06矩形的性质 题型07矩形的判定 题型08折叠问题 题型09菱形的性质与判定 题型10正方形的性质与判定 题型11动点问题 ( 题型01 )平行四边形的性质——求角、边 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作图画图； （2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明． 【详解】（1）解：所作图形，如图： ； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 即． ∵在中，． ∴． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（    ） A．3 B．6 C．4 D．12 【答案】A 【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解． 本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴ ． 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，即可得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，已知四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，与相交于点， ∴不一定相等，故A不正确， B. ，故该选项正确，符合题意； C. 不一定相等，故该选项不正确，不符合题意；     D. 不一定相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）如图，在平行四边形中，，E为上一点，且，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质得，，进而根据等边对等角得，进而根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ，， 又， ， 又， ． 6．（23-24八年级下·广西梧州·期末）在平行四边形中，若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对角相等、对边平行．根据平行四边形的对角相等求出，进而求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图：在中，边上的高，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质及勾股定理，根据勾股定理先求出、，进而求出，再求出周长即可． 【详解】解：如图所示， 在中，边上的高， ∴， ， ∴， ∴的周长； 故答案为：． ( 题型0 2 )平行四边形的性质——求证 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证得，即可证得结论； （2）先由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 3．（23-24八年级下·广西·期末）平行四边形的对角线（    ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相垂直且平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质 一一判断即可． 【详解】解：A、错误．平行四边形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意； B、错误．平行四边形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意； C、正确．平行四边形的对角线互相平分，故本选项符合题意； D、正确．平行四边形的对角线不一定互相垂直且平分，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考常考题型． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在▱ABCD中，过对角线上BD任意一点P作EF//BC，GH//AB，图中面积相等的平行四边形有( )    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，利用等量关系推出面积相等即可． 【详解】解：四边形ABCD为平行四边形， 又作EF//BC，GH//AB 对角线BD上 PD是的对角线 同理： 即 同理可得：， 故答案为：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行四边的对角线可以把平行四边形分为面积相等的两部分，充分利用等量关系解题． ( 题型0 3 )平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． ( 题型0 4 )平行四边形性质与判定综合 1．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，进而由即可证明； （）由平行四边形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，即得，据此即可得到四边形是平行四边形； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长， （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 4．（23-24八年级下·广西·期末）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． (1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且； (2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明； （2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则． 【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴，且； （2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即点N是的中点， 又∵点M是的中点， ∴由（1）的结论可知， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ( 题型0 5 )中位线的应用 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在中，的平分线交于点G，E是的中点，F是的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、中位线定理的运用以及勾股定理的运用，证明是的中位线是解题的关键．连接，过点H作，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理求得及，再由是的中位线，可得答案， 【详解】解：连接，过点H作， ， ， ， ，， ， E是的中点，F是的中点， ， 故选：A 2．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，，则为 ．    【答案】1 【分析】本题考查了中位线定理，等腰三角形的性质，证明是的中位线是解题的关键． 根据等腰三角形的性质证明点是的中点，再利用中位线定理即可求解． 【详解】， 是等腰三角形， 又于点M， 点是的中点， 又 N是的中点， 是的中位线， 又，， ． 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，点是边的中点，平分，于，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质，解题的关键是熟知判定全等三角形全等的定理与三角形的中位线定理． （1）根据“角边角”即可判定两三角形全等． （2）由三角形全等推知D是边的中点，再结合点M是边的中点，可得出等于的一半长． 【详解】（1）∵平分， ∴又， ∴（） （2）∵， ∴， ∴， 由得，又点M是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直接利用三角形的中位线的性质可得答案. 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故选C． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知 E 为中边上的延长线上一点，且，连接 交于点 F，连接交于点O，连接，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．根据平行四边形的性质得，，，根据证明得，再证明为的中位线，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·广西来宾·期末）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，即可得出结论． 【详解】解：∵，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； 故选B． ( 题型0 6 )矩形的性质 1．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案； 【详解】解：∵矩形中，； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形性质可得：，，，，，，结合，从而得出，再根据已知，可得，继而可得是等边三角形，根据其性质得出，利用勾股定理求得，最后代入长方形周长公式即可求得结果． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，，，，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中， ， 矩形的周长为：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形内有一点P，连接，延长交于点E，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，已知矩形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，矩形的性质，先证明，结合，可得是等边三角形，从而可得答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故选C 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】平分可得，根据矩形可得是等腰直角三角形，所以，从而可求，连接，由勾股定理得的长，再根据三角形中位线定理可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，如图，    ∴， ∵点F、G分别为的中点， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟记性质与定理是解题关键． 6．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂线段最短等知识点．求出的最小值是解题的关键．如图，连接，证明四边形是矩形，得，推出，根据垂线段最短得出时，的值最小，继而确定的最小值，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为中点， ∴与的交点就是点， ∴，即， 即当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选C． ( 题型0 7 )矩形的判定 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西·期末）要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、当∠A＋∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； B、当∠B＋∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形； D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形； 故选：C． 【点睛】本题考查了对矩形的判定定理的应用，矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中，，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是 (填写序号)． 【答案】①②④ 【分析】由及，可判定①；当点在边上时，可求得，从而由矩形的性质及等腰三角形的性质，可得的度数，根据互余关系可求得的度数，从而对②作出判断；当时，可求得的长，进而可求得的函数值，则可对③作出判断；取，连接，，证明，则，从而，在中求出，即可对④作出判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①正确； ②当点在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③当时，如图， ∵， ∴是等边三角形， 如图，过点作于，交于， 则，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 而， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，取，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得， 故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，构造辅助线证明两个三角形全等是解决取得最小值的关键． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据四边形的对角线得四边形是矩形，可得，即可得；掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的对角线， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，过点作于，可得四边形是矩形，即可得到米，，利用勾股定理得到米，进而得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∴米， ∴米， ∴米， 故选：． ( 题型0 8 )折叠问题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将其沿折叠，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则四边形的周长为（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得,，，再根据折叠的性质可得，，则可得，．则可得四边形是矩形,进而可求出四边形的周长． 本题主要考查了矩形的判定和性质，以及折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴,，， ∵沿折叠，点B落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形, ∴，， ∴四边形的周长． 故选：B． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理，全等三角形的判定以及性质，由矩形的性质可得出，，，由折叠的性质可得出，，再证明，由全等三角形的性质可得出，设，则，根据勾股定理得出，解出x即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得出：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即． 解得：， ∴， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期末）如图，四边形为平行四边形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的点E处，折痕为，且，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查平行四边形折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理．熟练掌握折叠的性质、平行四边形的性质，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可由矩形的判定定理得出结论； （2）设，则，，由勾股定理得： ，解之即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ，， ， 是直角三角形，且． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得平行四边形是矩形， ，，， 又， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即的长为． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形的顶点、在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与翻折问题，涉及到勾股定理、解方程等知识点，解题的关键是勾股定理的灵活应用． 由矩形的翻折性可求得的长，再由勾股定理求得的长，进一步求得的长，设，则，于是在直角中由勾股定理建立方程，可求得x的值，即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为， 则，， ∴，即， 由可知，，， 在中，， ∴， 设，则， 在直角中，．即 解得：， 因点E位于x轴的负半轴上，故点E的坐标为． 故答案为：． ( 题型0 9 )菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，四边形是菱形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质；熟记菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对角相等、每一条对角线平分一组对角，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 故选：A. 2．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点D作轴于点E，由题意得，，根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，可证，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点E， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，再根据勾股定理即可得出，然后再利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形为菱形， ，，，， ， 在中， 故答案为A． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是 【答案】5 【分析】此题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， 点是的中点， 是斜边上的中线， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）菱形的对角线长分别为，，则这个菱形的面积是 . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．此题由菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：菱形的面积， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积． 故答案为：42． 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）先证明四边形是平行四边形，矩形的性质得到，即可得证； （2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，且，对角线相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由，可得，从而得出，可得结论； （2）帽，且，可得在四边形是平行四边形，再由，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）证明：，且， 在四边形是平行四边形， 由（1）已证， 所以在四边形是菱形． 9．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定．过点A作，垂足分别为E，F，根据题意可得四边形是平行四边形，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，垂足分别为E，F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B 10．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当在中点时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）线根据垂线的定义及平行线的判定即可得出，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质及判定定理得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后根据领边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形． （2）由（1）知，四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， ， 四边形是菱形． ( 题型 10 )正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在正方形外侧，作等边，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先求出的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵在正方形外侧，作等边， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图所示，正方形的边长为10，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】连接，交于O，根据正方形的性质得出D、B关于对称，求出P点的位置在和的交点上时，的和最小，根据等边三角形的性质和正方形的性质求出即可． 本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，能找出点P的位置是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为10， 是等边三角形， 连接， 交于O，如图： ∵四边形是正方形， ∴垂直平分，即D、B关于对称，则交于点P， 此时，的和最小， ∵ D、B关于对称， 即的最小值是10， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点在上，且D点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题，如图，作点关于的对称点，连接，．求出，根据，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，． 四边形是正方形， 平分， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，理解正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，则为等腰直角三角形，即，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 矩形为正方形； （2）解：四边形为正方形，， ， ， ， 在和中， ， ， ． ( 题型 11 )动点问题 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】过点作交的延长线于点，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出． 3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在CD边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）P从A点以向B点运动 时， ； （2） Q在上运动时间为 运动时间最长为 时，在边上 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： 即 只需即可，由（1）知： 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理 只需，四边形是平行四边形 由（1）知， 则 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由（1）知： 由（2）知：， ， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明得到，可得，于是可对①进行判断；设、相交于点，如图，利用得到，则，接着判断垂直平分，平分，于是利用角平分线的性质定理得到，，则可对②③④进行判断；证明，可得，然后利用勾股定理求出长，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵, ∴，故①正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故②正确； 设与交于点， ∵，， ∴， 同理可得， ∴的周长是，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴点A到的距离是，故⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤，共个， 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明垂直平分． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． 特例探究： （1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸： （3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当，时，连接，，，请直接写出线段的长及的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3）； 【分析】（1）根据矩形的性质即角平分线的性质和正方形的判定方法，进行证明即可； （2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论； （3）过点G作交于点H，延长，交的延长线于点M，过点A作于点N，证明四边形为是菱形可得，进而得到，最后再运用勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形为矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． （2），理由如下： 连接交于点O，连接，如图2， 由（1）得四边形为正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． （3）过点G作交于点H，延长，交的延长线于点M，过点A作于点N，如图所示： 由题意得四边形为平行四边形， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查四边形综合题、勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和在，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识点，学会添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西北海·期末）几何与探究 【初步感知】（1）如图，在中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，，求的长； 【深入探究】（2）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．若，连接．当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （）由折叠的性质得，再由矩形的性质得，，从而可证，设，则，在中，由勾股定理列出方程求解即可； （）过点作于点，由垂直的定义、矩形的性质得，，由折叠得从而得到，证可得，再由等腰三角形的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠可知：， ，， ； （2）解：由折叠可知：， ∵四边形为矩形， ，， ， ， ， 设， ， ， 即， 解得：， ； （3）解：过点作于点， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．证明，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，进一步进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．解题的关键是证明三角形全等． 5．（23-24八年级下·广西贺州·期末）如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是菱形，，，算出，再根据点M是边的中点，，得出，是边上的中点，作点关于的对称点，连接交于，此时，得出当三点共线时，有最小值，最小值为的长．，再证明四边形是平行四边形，得出，求出的最小值为1，根据周长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴，是边上的中点， 作点关于的对称点，连接交于， 此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∵周长， 则周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 6．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）实践操作 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______°；当点E与点A重合时，______°； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （2）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，；②见解析、； （2）存在，或 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质即可解题①，再设交与点，根据矩形的性质和折叠的性质证得，从而判定四边形为菱形，再设菱形边长为，根据菱形的性质和勾股定理即可求得当时的菱形的边长； （2）本题需考虑两种情况，当点在矩形外时，连接，根据矩形的性质和折叠的性质证得，从而根据勾股定理求得的长度，当点在矩形内时，记与相交于点，根据矩形的性质和折叠的性质证得，从而根据勾股定理求得的长度． 【详解】解：（1）①四边形为矩形， 当点P与点A重合时，是的中垂线， ， 当点E与点A重合时    ， 则平分， ， ， 故答案为：，； ②证明：如图，设交与点， 四边形为矩形， ， ，， 将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为， ，， 在和中： ， （）， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 当时， 设菱形边长为， ，， 在中： 有，即， 解得：， 故当时的菱形的边长为； （2）存在，或， 当点在矩形外时， 如图，连接， ，， ， 设为，则， ， ，， ， 由勾股定理得： ， 解得：； 当点在矩形内时， 如图记与相交于点， ，，， ， 设，则， 则，， 则，， 由勾股定理得： ， 解得：， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握折叠的性质是关键，注意运用数形结合的思想． 7．（23-24八年级下·广西·期末）【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理． 【动手操作】如图1，是正方形的对角线，点E是上的一个动点，过点E和B作等腰直角，其中，，与射线交于点P． 请完成： （1）试判断图1中的和的数量关系； （2）当点P在线段上时，求证：． 【类比操作】如图2，当点P在线段的延长线上时． （3）是否还成立?请判断并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. （1）由等腰直角三角形的性质可得答案； （2）如图，过作于，作于，证明四边形为矩形，，再证明，可得； （3）如图，过作于，作于，同（2）理可得结论； 【详解】解：（1）等腰直角， ∴； （2）如图，过作于，作于， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 如图，过作于，作于， ∴ ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 8．（23-24八年级下·广西·期末）课本再现 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形 （如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， 垂足为， ∴是的垂直平分线， ∴___________ ∴平行四边形是菱形． 知识应用 （2）如图2 ，在中，对角线和相交于点，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析，②． 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， 在，中， ， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形． （2）①证明：四边形是平行四边形，， ，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴， ∴， ∴ 72 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$