专题02 勾股定理（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理解直角三角形 题型02勾股定理在坐标系中的应用 题型03勾股定理与网格 题型04求图形的面积 题型05弦图的应用 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的实际应用 题型08直角三角形的判定 题型09勾股定理逆定理与网格 题型10解三角形 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 )勾股定理解直角三角形 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，中，．以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点P，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，然后根据作图可得，，据此计算即可得到结论． 【详解】∵，， ∴，， 由作图过程可得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为120°，，，则需要改造的三角形广场面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；过点B作，交延长线于点F，则得，从而求得，即可求得需要改造的三角形广场面积． 【详解】解：如图，过点B作，交延长线于点F， 则； ， ， 由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（    ） A． B． C．5 D．2.5 【答案】B 【分析】根据平行线性质可推出，构造等腰直角三角形即可解答出两平行线和之间的距离．本题考查特殊角的三角函数值，熟悉特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：如图，作， 直线，和的夹角， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）在中，，则边的长为（    ） A．3 B．27 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查30度角的直角三角形的性质及勾股定理，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质推出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：，，， ， 故选：D 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中底边的长为，那么衣架的高的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，熟知三线合一定理和勾股定理是解题的关键．利用三线合一定理得到，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故选A． 6．（23-24八年级下·广西·期末）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（    ） A．5 B． C． D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当为斜边，为直角边时；分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为， 当为斜边，为直角边时，则第三边长为， 综上所述，第三边的长为5或， 故选：D． ( 题型0 2 )勾股定理在坐标系中的应用 1．（23-24八年级下·广西·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据原点坐标为，以及点，结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】解：∵原点坐标为，点， ∴， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定， 做出图形，分或，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，即可解答，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形， 可的或， ①如图，当时，， 过点作轴的垂线段，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当时，， 同（1）中原理可得， ， ， ， 综上所述，点C的坐标是或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可求得的长度，进而可求得的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标． 【详解】根据题意，可知， ， ∴． 又点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可． 【详解】解：∵轴， ∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值， 当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7， 故B点坐标为：， 当B在A的右边时，﹣2＋5=3， 故B点坐标为： 综上所述B点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 5．（23-24八年级下·广西·期末）平面直角坐标系内，点P（﹣3，﹣4）到原点的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．3或4 【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可 【详解】解：∵ P (-3，-4) ， ∴点P到原点的距离= 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理准确计算是解题关键． ( 题型0 3 )勾股定理与网格 1．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，正方形和正方形的顶点均在格点上． (1)建立平面直角坐标系，使得B，C的坐标分别为，并写出点A的坐标； (2)求出正方形和正方形的边长． 【答案】(1)图见解析， (2)和 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，平面直角坐标系的建立等知识点，注意计算的准确性即可． （1）根据B，C的坐标即可求解； （2）利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： 由图可知：点A的坐标为 （2）解： ∴正方形和正方形的边长分别为和 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段的长为（    ）    A． B．5 C．9 D．13 【答案】A 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，牢记勾股定理是解决问题的关键． ( 题型0 4 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是（    ） A．4 B．5 C．16 D．66 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，即可得解；正确掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积， 即：， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则的值是（    ） A．48 B．56 C．66 D．78 【答案】B 【分析】本题考查正方形面积计算，勾股定理，正确作出辅助线，由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．连接，由勾股定理，得，于是，代入求解即可． 【详解】解：连接，    由题意得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为16，36，9，16，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理表示出是解答本题的关键．根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如下图： 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：C． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积，正确识别图形是解本题的关键．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． ( 题型0 5 )弦图的应用 1．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西·期末）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理可得的长度，根据四个直角三角形全等可得，进一步即可求出小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四个直角三角形全等 ∴ ∴ 故小正方形的面积是： 故答案为： 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算．熟悉勾股定理形式是解题关键． 3．（23-24八年级下·广西百色·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．若，，则AH的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设为，为，根据面积的差得出的值，再利用，解得，的值代入即可． 【详解】解：，， 大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， 四个直角三角形面积和为，设为，为，即， ，， ， ， ， 解得：，， ，， 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得，的长． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式． 5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为 ．    【答案】1 【分析】结合图形，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴即 ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确识图是解题的关键． ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再加上点B表示的数可得结果． 【详解】解：由题意得：， 数轴上点表示的实数是：， 故选：B．    【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理求出相应线段的长度是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选B． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．3，4，5 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、0.3，0.4，0.5都是小数，不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． ( 题型0 7 )勾股定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得： ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， 又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， ∴米， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】A 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键． 由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：（海里） 答：M岛与N岛之间的距离为20海里． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【答案】130 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，， ， ， 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长， ， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10． ( 题型0 8 )直角三角形的判定 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A、B、D；根据三角形的内角和定理即可判断C． 【详解】解：A、， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； B、， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、，， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 故选：D 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（    ） A．6，8，12 B．0.1，0.2，0.3 C．3，4，5 D．2，3，5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用勾股定理的逆定理对各选项进行判断． 【详解】解：A、因为，则以6，8，12为三边的三角形不是直角三角形，所以本选项不符合题意； B、因为，则以、、为三边的三角形不是直角三角形，所以本选项不符合题意； C、因为，则以3，4，5为三边的三角形为直角三角形，所以本选项符合题意； D、因为，则以2，3，5为三边的三角形不是直角三角形，所以本选项不符合题意， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西·期末）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，5 B．1，，4 C．2，3，4 D．3，4，5 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、因为，所以1，2，5三条线段不能组成直角三角形； B、因为，所以1，，4三条线段不能组成直角三角形； C、因为，所以2，3，4三条线段不能组成直角三角形； D、因为，所以3，4，5三条线段能组成直角三角形． 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算，理解并掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广西·期末）若三角形的三边满足，则此三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据，推出和根据等腰三角形和直角三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，，此三角形为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形的判定，掌握等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广西·期末）已知△ABC的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于即可得该三角形是直角三角形；三条边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形． 【详解】解：A．，假设，则，解得：，即：，，，不能判定是直角三角形，本选项符合题意； B．，∵， ∴，能判定是直角三角形，本选项不符合题意； C．，化简后得：，可以判定是直角三角形，本选项不符合题意； D．，∵，∴可以判断是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形． ( 题型0 9 )勾股定理逆定理与网格 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点） （1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）． 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）设AB边上的高为h， ∴， ∴． 即AB边上的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． ( 题型 10 )解三角形 1．（23-24八年级下·广西·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴AB的长为； （2）解：∵,， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 4．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在四边形中，已知，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据含30度角的直角三角形的性质得出进而证明是直角三角形，则，进而即可求解． 【详解】解：， 在中， ， ， ， 是直角三角形． 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 ( 题型 11 )勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广西·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 3．（23-24八年级下·广西北海·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．    【答案】能，，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，先判断，再根据勾股定理列方程解答即可．解题的关键是能够证明． 【详解】解：， ∴原路线的长为千米． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，．求阴影部分的面积． 【答案】96 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故阴影部分的面积是96． 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出是直角三角形是解答此题的关键． 1．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长 【分析】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，， 由作图知，，， 在与中， ， ， ， 平分； （2）解：，， ， 平分； ， ， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长； (2)当时，小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，代数式求值，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，， 图2中正方形的边长是； （2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边， 由勾股定理可知，当，时，， 小正方形的面积等于5． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知是三边的长，且满足关系式． (1)求的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查了算数平均数的非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定． （1）根据可得，由二次根式非负数的性质即可求出答案． （2）由（1）可得，再证明，得到．则是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，． （2）是等腰直角三角形， 理由：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故：A． 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；由题意易得，则有，然后勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 7．（23-24八年级下·广西·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 【答案】(1)9.7米； (2)8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， 又米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； （2）∵风筝沿方向再上升12米后，米， ∴此时风筝线的长为：（米）， ∴风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 8．（23-24八年级下·广西·期末）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX    组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米  米  米 评价 (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)米 (2)14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中， 由勾股定理得， ∴（负值舍去）， ∴（米）； （2）解：由题意得米， ∵米， 故米， 在中， ∴（米）， ∴（米）， 故还需放出风筝线14米． 9．（23-24八年级下·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到； （）把代入到（）中的关系式中计算即可求解； 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 10．（23-24八年级下·广西·期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，.. ，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得即可． 【详解】由题意得：， ， , ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 11．（23-24八年级下·广西·期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． 先利用勾股定理求出的三条边长，可得__________，_________，_________．从而可得三边数量关系为_____________，根据_____________，可以证明是直角． 图1 (1)小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路； (2)请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角． 【答案】(1)，勾股定理的逆定理 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理可求出CB、AC的长度，可得出，根据勾股定理的逆定理，即可得出∠ABC是直角； （2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，可证明△ADB≌△BEC，得出∠ABD=∠BCE，即可推出∠ABC是直角． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，根据勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：，勾股定理的逆定理； （2）过A点作于D，过C作于E， 由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵D，B，E三点共线， ∴， ∴， ∴是直角， 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 12．（23-24八年级下·广西·期末）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？ 【答案】不能. 【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断． 【详解】解：不能， 设梯子顶端离地面的高为x米，根据题意得32＋x2＝92. 解得x1＝6，x2＝－6 (舍去) ∵x＝6<8.5， ∴不能． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是根据习惯和告诉的梯子的长度求出梯子的底端距离墙面的距离． 62．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则 ． 【答案】1.5 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵将△ABC折叠得△AB′E ∴AB′＝AB，B′E＝BE ∴B′C＝5－3＝2 设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x 在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2 ∴（4－x）2＝x2＋22 解得 故答案为：1.5 13．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴AB= ∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102- =100-24 =76. 故选：C. 28 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理解直角三角形 题型02勾股定理在坐标系中的应用 题型03勾股定理与网格 题型04求图形的面积 题型05弦图的应用 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的实际应用 题型08直角三角形的判定 题型09勾股定理逆定理与网格 题型10解三角形 题型11 勾股定理逆定理的实际应用 ( 题型01 )勾股定理解直角三角形 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，中，．以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点P，若，则 ． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为120°，，，则需要改造的三角形广场面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（    ） A． B． C．5 D．2.5 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）在中，，则边的长为（    ） A．3 B．27 C． D． 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中底边的长为，那么衣架的高的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广西·期末）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（    ） A．5 B． C． D．5或 ( 题型0 2 )勾股定理在坐标系中的应用 1．（23-24八年级下·广西·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·广西·期末）平面直角坐标系内，点P（﹣3，﹣4）到原点的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．3或4 ( 题型0 3 )勾股定理与网格 1．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，正方形和正方形的顶点均在格点上． (1)建立平面直角坐标系，使得B，C的坐标分别为，并写出点A的坐标； (2)求出正方形和正方形的边长． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段的长为（    ）    A． B．5 C．9 D．13 ( 题型0 4 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是（    ） A．4 B．5 C．16 D．66 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则的值是（    ） A．48 B．56 C．66 D．78 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为16，36，9，16，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 ( 题型0 5 )弦图的应用 1．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 2．（23-24八年级下·广西·期末）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 3．（23-24八年级下·广西百色·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．若，，则AH的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为 ．    ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 1．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．3，4，5 D．0.3，0.4，0.5 ( 题型0 7 )勾股定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 4．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里． 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． ( 题型0 8 )直角三角形的判定 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（    ） A．6，8，12 B．0.1，0.2，0.3 C．3，4，5 D．2，3，5 3．（23-24八年级下·广西·期末）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，5 B．1，，4 C．2，3，4 D．3，4，5 4．（23-24八年级下·广西·期末）若三角形的三边满足，则此三角形的形状是 ． 5．（23-24八年级下·广西·期末）已知△ABC的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 9 )勾股定理逆定理与网格 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点） （1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． ( 题型 10 )解三角形 1．（23-24八年级下·广西·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，．    (1)求的长； (2)求的面积． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 4．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在四边形中，已知，．求的度数． 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． ( 题型 11 )勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·广西·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 3．（23-24八年级下·广西北海·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．    4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，．求阴影部分的面积． 1．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的周长． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长； (2)当时，小正方形的面积是多少？ 3．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知是三边的长，且满足关系式． (1)求的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，，，，则 ． 7．（23-24八年级下·广西·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 8．（23-24八年级下·广西·期末）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX    组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米  米  米 评价 (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 9．（23-24八年级下·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 10．（23-24八年级下·广西·期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．    11．（23-24八年级下·广西·期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． 先利用勾股定理求出的三条边长，可得__________，_________，_________．从而可得三边数量关系为_____________，根据_____________，可以证明是直角． 图1 (1)小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路； (2)请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角． 12．（23-24八年级下·广西·期末）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？ 62．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则 ． 13．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A．48 B．60 C．76 D．80 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$