专题02 勾股定理（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01 勾股定理求线段长度 题型02 勾股定理简单应用与作图 题型03 勾股定理的证明 题型04 勾股定理逆定理 题型05 勾股数的判断 题型06 勾股定理的实际应用 勾股定理求线段长度题型01 1．（2024秋•桐梓县校级期末）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（2024春•威宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 3．（2024春•黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 4．（2024秋•桐梓县校级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．25 勾股定理简单应用与作图题型02 1．（2024春•黔东南州期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024秋•贵阳期末）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•贵州期末）如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 4．（2024春•安顺期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 勾股定理的证明题型03 1．（2024春•安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．16 C．14 D．14 2．（2024秋•乌当区期末）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 勾股定理逆定理题型04 1．（2024春•黔南州期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，3，9 C．5，8，10 D．3，4，5 2．（2024春•遵义期末）某校八年级准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个直角三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现直角三角形班旗制作的是（　　） A．3，4，9 B．6，6，12 C．6，4，9 D．6，8，10 3．（2024秋•金沙县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 4．（2024春•黔西南州期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．∠A+∠B＝∠C D．AB：BC：AC＝3：4：5 5．（2024春•安顺期末）已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b，c＝3 B．∠A+∠B＝∠C C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 6．（2024春•铜仁市期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．b2＝a2﹣c2 C． D．∠A＝∠B﹣∠C 7．（2024秋•威宁县期末）以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是（　　） A．4，3，6 B．5，6，12 C．6，8，10 D．7，20，25 8．（2024秋•清镇市期末）四根小木棒的长度分别为3，4，5，6，小星从中拿出三根为边摆三角形，摆出的三角形是直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，4，6 C．3，5，6 D．4，5，6 9．（2024秋•金沙县期末）有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若沿对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 10．（2024秋•乌当区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝13，CD＝12，AD＝3． （1）求线段BD的长； （2）请判断△BCD的形状并证明你的判断． 11．（2024春•黔东南州期末）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积． 12．（2024春•黔西南州期末）如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 13．（2024春•贵州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长度是　 　 ，线段CD的长度是　 　 ． （2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 14．（2024春•遵义期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． （1）在图①中，A，B，C在格点上，则∠ABC的度数为 　 　 ； （2）在（1）的条件下，连接AC，请判断△ABC的形状，并说明理由； （3）从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 勾股数的判断题型05 1．（2024秋•贵州期末）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 2．（2024秋•南明区期末）我国是最早了解勾股定理的国家，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 勾股定理的实际应用题型06 1．（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024春•铜仁市期末）如图所示，将一根30cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 　 　 cm． 第2题 第3题 3．（2024春•黔西南州期末）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 　 　 米． 4．（2024春•安顺期末）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15米. ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米. ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米. 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段AD的长． （2）若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 5．（2024春•铜仁市期末）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？ 6．（2024秋•威宁县期末）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m；放飞点与风筝的水平距离BM为24m；根据手中余线的长度，计算出AN的长度为25m．已知点A，B，M，N在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度MN． （2）若此时小明手里的余线仅剩4m，他想要让风筝沿射线MN方向再上升11m，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 7．（2024秋•云岩区期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m． （1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由； （2）求劳动场地△ABC的面积． 8．（2024秋•贵阳期末）春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道亮丽风景线．某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线BC的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想让风筝沿CD方向下降2米，则他应该往回收线多少米？ 9．（2024秋•观山湖区期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知AB＝12m，BC＝9m，CD＝8m，AD＝17m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点C的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少m2？ 10．（2024秋•清镇市期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm．（图中所有点均在同一平面内） （1）求梯子AB的长； （2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01 勾股定理求线段长度 题型02 勾股定理简单应用与作图 题型03 勾股定理的证明 题型04 勾股定理逆定理 题型05 勾股定理逆定理与图形面积 题型06 勾股数的判断 题型07 勾股定理的实际应用 勾股定理求线段长度题型01 1．（2024秋•桐梓县校级期末）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得：斜边长为：5． 故选：B． 2．（2024春•威宁县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 【答案】A 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴根据勾股定理，得BC6． 故选：A． 3．（2024春•黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2＝25， ∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50， 故选：C． 4．（2024秋•桐梓县校级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．25 【答案】A 【解答】解：如图所示： AB5． 故选：A． 勾股定理简单应用与作图题型02 1．（2024春•黔东南州期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2， 即S3＝2+5+1+2＝10． 故选：B． 2．（2024秋•贵阳期末）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，以点O为圆心，OB长为半径画弧， 得OA＝OB， 则点A表示的数是． 故选：A． 3．（2024秋•贵州期末）如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 【答案】见解答． 【解答】解：（1）如图所示：AB＝AC＝2，则AB＝2； （2）如图所示：AC＝BC，则AB＝2； （3）如图所示：AC＝BC，则AB＝2． 4．（2024春•安顺期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】 解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10； （2）如图2的三角形的边长分别为2，，； （3）如图3，连接AC，CD， 则AD＝BD＝CD， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°． 勾股定理的证明题型03 1．（2024春•安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．16 C．14 D．14 【答案】D 【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长＝24﹣10＝14， ∴EF14． 故选：D． 2．（2024秋•乌当区期末）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：如图2， ∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴CM＝CG， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab10， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝a2+b2ab ＝29﹣5 ＝24， 故答案为：24． 勾股定理逆定理题型04 1．（2024春•黔南州期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，3，9 C．5，8，10 D．3，4，5 【答案】D 【解答】解：A、22+32≠52，故不是直角三角形，故此选项错误，不符合题意； B、32+32≠92，故不是直角三角形，故此选项错误，不符合题意； C、52+82≠102，故不是直角三角形，故此选项错误，不符合题意； D、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024春•遵义期末）某校八年级准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个直角三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现直角三角形班旗制作的是（　　） A．3，4，9 B．6，6，12 C．6，4，9 D．6，8，10 【答案】D 【解答】解：A、∵3+4＝7＜9， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵6+6＝12， ∴不能组成三角形， 故B不符合题意； C、∵62+42＝52，92＝81， ∴62+42≠92， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能构成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 3．（2024秋•金沙县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 【答案】D 【解答】解：A．∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； B．∵42+32＝25，62＝36， ∴42+32≠62， ∴不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； C．∵6+8＝14＜15， ∴不能构成三角形， 故选项不符合题意； D．∵122+52＝169，132＝169， ∴122+52＝132， ∴能构成直角三角形， 故选项符合题意； 故选：D． 4．（2024春•黔西南州期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．∠A+∠B＝∠C D．AB：BC：AC＝3：4：5 【答案】A 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故A符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°90°， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵AB：BC：AC＝3：4：5， ∴设AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k， ∴AB2+BC2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，AC2＝（5k）2＝25k2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 5．（2024春•安顺期末）已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b，c＝3 B．∠A+∠B＝∠C C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 【答案】D 【解答】解：A．由a＝2，b，c＝3可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； B．由∠A+∠B＝∠C可得∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； C．由（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； D．由∠A：∠B：∠C＝2：3：4可得∠A＜∠B＜∠C＜90°，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意； 故选：D． 6．（2024春•铜仁市期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．b2＝a2﹣c2 C． D．∠A＝∠B﹣∠C 【答案】A 【解答】解：A、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， 则5x°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵b2＝a2﹣c2， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵（）2+12＝22， ∴能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、∵∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； 故选：A． 7．（2024秋•威宁县期末）以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是（　　） A．4，3，6 B．5，6，12 C．6，8，10 D．7，20，25 【答案】C 【解答】解：∵42+32≠62， ∴4，3，6为边的三角形不是直角三角形，故A不符合题意； ∵52+62≠122， ∴5，6，12为边的三角形不是直角三角形，故B不符合题意； ∵62+82＝102， ∴6，8，10为边的三角形是直角三角形，故C符合题意； ∵72+202≠252， ∴7，20，25为边的三角形不是直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 8．（2024秋•清镇市期末）四根小木棒的长度分别为3，4，5，6，小星从中拿出三根为边摆三角形，摆出的三角形是直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，4，6 C．3，5，6 D．4，5，6 【答案】A 【解答】解：A、∵32+42＝9+16＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴此三角形是直角三角形， 故A符合题意； B、∵32+42＝9+16＝25，62＝36， ∴32+42≠62， ∴此三角形不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵32+52＝9+25＝34，62＝36， ∴32+52≠62， ∴此三角形不是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵42+52＝16+25＝41，62＝36， ∴42+52≠62， ∴此三角形不是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 9．（2024秋•金沙县期末）有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若沿对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：都是直角三角形．理由如下： 连接AC． 在△ABC中，∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ∴AC2＝AB2+BC2＝8， 又∵AD2+AC2＝1+8＝9，而DC2＝9， ∴AC2+AD2＝DC2， ∴△ACD也为直角三角形． 10．（2024秋•乌当区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝13，CD＝12，AD＝3． （1）求线段BD的长； （2）请判断△BCD的形状并证明你的判断． 【答案】（1）5； （2）△BCD是直角三角形，理由见解析． 【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3， ∴BD5； （2）△BCD是直角三角形， 证明：由（1）知，BD＝5， ∵BC＝13，CD＝12，52+122＝132， ∴△BCD是直角三角形． 11．（2024春•黔东南州期末）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． （1）求四边形ABCD的周长； （2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝4，BC＝3，，， ∴四边形ABCD的周长＝4+3+5+512+5； （2）如图， ∵AC5，CD＝5，， ∴AC2+CD2＝50＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S△ACDAC•CD， ∵S△ABCBC•AB＝6， ∴． 12．（2024春•黔西南州期末）如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5，周长为3； （2）∠BCD是直角，理由见解答． 【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝52+12＝26， 则AB， ∵BC2＝42+22＝20， ∴BC＝2 ∵CD2＝22+12＝5， ∴CD， ∵AD2＝12+42＝17， ∴AD， 故四边形ABCD的周长为：23． 四边形ABCD的面积为：5×5（1×5+4×2+2×1+4×1）﹣1×1＝25﹣10.5＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下： 由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25， ∴DC2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°． 13．（2024春•贵州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长度是　　 ，线段CD的长度是　2　 ． （2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得， AB，CD2， 故答案为：，2； （2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形， 理由：∵AB，CD＝2，EF， ∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2， ∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形． 14．（2024春•遵义期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． （1）在图①中，A，B，C在格点上，则∠ABC的度数为 　45°　 ； （2）在（1）的条件下，连接AC，请判断△ABC的形状，并说明理由； （3）从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 【答案】（1）45°； （2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析过程； （3）图形见解析过程（答案不唯一）． 【解答】解：（1）连接AC， 由勾股定理得， AC， BC， AB， 所以AC＝BC，， 即AC2+BC2＝AB2， 所以∠ACB＝90°， 所以∠ABC＝45°． 故答案为：45°． （2）△ABC是等腰直角三角形， 由（1）知， AC＝BC，∠ACB＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形． （3）选，如图所示， △DEF即为所求作的三角形（答案不唯一）． 勾股数的判断题型05 1．（2024秋•贵州期末）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【答案】A 【解答】解：A、52+82≠122，不是勾股数，此选项正确； B、302+402＝502，是勾股数，此选项错误； C、92+402＝412，是勾股数，此选项错误； D、62+82＝102，是勾股数，此选项错误； 故选：A． 2．（2024秋•南明区期末）我国是最早了解勾股定理的国家，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【解答】解：A、∵12+22≠32， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； B、∵22+32≠42， ∴2，3，4不是勾股数，不符合题意； C、∵32+42＝52， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； D、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 勾股定理的实际应用题型06 1．（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：D． 2．（2024春•铜仁市期末）如图所示，将一根30cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 　4　 cm． 【答案】4． 【解答】解：由题可知，盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， ∵细木棒长30cm， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：30﹣26＝4（cm）， 故答案为：4． 3．（2024春•黔西南州期末）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 　10　 米． 【答案】10． 【解答】解：如图，由题意可知，AC＝AD﹣CD＝10﹣4＝6（m），BC＝8m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB（m）， 则小鸟至少要飞10m， 故答案为：10． 4．（2024春•安顺期末）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15米. ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米. ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米. 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段AD的长． （2）若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点B作BC⊥AD于C， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米， 由勾股定理，得AC8（米）， 则AD＝AC+CD＝8+1.6＝9.6（米）； （2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米， 则此时风筝线的长为25（米）， 25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米线． 5．（2024春•铜仁市期末）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7， ∴AC2.4米， 又∵AA′＝0.4， ∴A′C＝2.4﹣0.4＝2， 在Rt△A′B′C中，B′C1.5米， 则BB′＝CB′﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米． 故：梯子底部B外移0.8米． 6．（2024秋•威宁县期末）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m；放飞点与风筝的水平距离BM为24m；根据手中余线的长度，计算出AN的长度为25m．已知点A，B，M，N在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度MN． （2）若此时小明手里的余线仅剩4m，他想要让风筝沿射线MN方向再上升11m，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】（1）7（m）； （2）不能成功，理由见解析． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥MN于点E，则AE＝BM＝24m，AB＝CD＝1.5m，∠AEN＝90°， 在Rt△AEN中，NE7（m）， ∴MN＝NE+EM＝7+1.5＝8.5（m）； （2）不能成功，理由如下： 假设能上升11m，如图所示，延长MN至点F，连接AF，则NF＝11m， ∴EF＝NE+NF＝7+11＝18（m）， 在Rt△AEF中，AF30（m）， ∵AN＝25m，余线仅剩4m， ∴25+4＝29＜30， ∴不能上升11m，即不能成功． 7．（2024秋•云岩区期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m． （1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由； （2）求劳动场地△ABC的面积． 【答案】（1）AD与BC垂直，理由见解析； （2）84m2． 【解答】解：（1）AD与BC垂直， 理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°， ∴AD与BC垂直； （2）∵AD⊥BC， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴CD9（m）， ∴S△ABCAD•BCAD×（BD+CD）， ∵BD+CD＝5+9＝14（m）， ∴S△ABC（m2）． 8．（2024秋•贵阳期末）春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道亮丽风景线．某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线BC的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想让风筝沿CD方向下降2米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）13.5米； （2）（13﹣5）米． 【解答】解：（1）由题意可知，∠CDB＝90°，BD＝5米，BC＝13米，AB＝DE＝1.5米， 在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD12（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.5＝13.5（米）， 答：风筝的垂直高度CE为13.5米； （2）如图，CM＝2米，连接BM， ∴DM＝CD﹣CM＝12﹣2＝10（米）， 在Rt△MDB中，由勾股定理得：BM5（米）， ∴BC﹣BM＝（13﹣5）（米）， ∴他应该往回收线（13﹣5）米． 9．（2024秋•观山湖区期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知AB＝12m，BC＝9m，CD＝8m，AD＝17m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点C的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少m2？ 【答案】（1）这条小路的最短长度是15m； （2）这块绿化用地的面积是114m2． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m， ∴AC15（m）， 答：这条小路的最短长度是15m； （2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD12×915×8＝54+60＝114（m2）， 答：这块绿化用地的面积是114m2． 10．（2024秋•清镇市期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm．（图中所有点均在同一平面内） （1）求梯子AB的长； （2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长． 【答案】（1）梯子AB的长为25dm； （2）该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm． 【解答】解：（1）∵MD⊥DE， ∴∠ADB＝90°， ∴AB25（dm）， 答：梯子AB的长为25dm； （2）∵NE⊥DE， ∴∠CEB＝90°， ∴BE15（dm）， ∴DE＝BD+BE＝7+15＝22（dm）， 答：该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$