专题01 二次根式（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式的涵义 题型02二次根式的性质应用 题型03二次根式的乘除运算 题型04最简、同类二次根式 题型05 二次根式混合运算 题型06 二次根式化简求值 题型07 二次根式应用 ( 题型01 )二次根式的涵义 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期末）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 3．（23-24八年级上·广西贵港·期末）若都是实数，且，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，先根据二次根式有意义的条件得出，，再求出的值，最后根据立方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， 的立方根是， 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、不是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D. 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的概念，属于基础题型． 根据二次根式的概念即可判断． 【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误； B、是二次根式，故B正确； C、37不是二次根式，故C错误； D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误； 故选：B． ( 题型0 2 )二次根式的性质应用 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简： ＝ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2024． 2．（23-24八年级下·广西·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，其中利用了，掌握以上知识是解题的关键； 根据二次根式的性质和化简，进行作答，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西·期末）若是整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，把分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴m最小值为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握．根据二次根式的性质得，然后再化简即可． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 6．（23-24八年级下·广西·期末）若0≤a≤1，则 = 【答案】1 【分析】二次根式的结果一定为非负数． 【详解】∵0≤a≤1， ∴a−1≤0， ∴原式=|a|+|a−1|=a+1−a=1. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练的掌握二次根式的性质与化简. ( 题型0 3 )二次根式的乘除运算 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 【详解】解：根据二次根式的乘法可得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）计算，的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键，直接利用二次根式除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解． 【详解】解： ． ( 题型0 4 )最简、同类二次根式 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. 是最简二次根式； D. ，不是最简二次根式； 故选C． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式。 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·广西·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可. 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意; B. 与是同类二次根式，此选项符合题意； C. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意； D. 与不是同类二次根式，此选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 5．（23-24八年级下·广西·期末）下列各式中，与是同类二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； 【详解】解：A．＝＝2，与不是同类二次根式，不符合题意； B．＝＝2，与是同类二次根式，符合题意； C．＝=，与不是同类二次根式，不符合题意； D．＝＝=，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选： B． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握其定义是解题关键． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列二次根式化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 7．（223-24八年级下·广西北海·期末）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（    ） A． B．4 C． D．14 【答案】B 【分析】先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴3a-10=2， ∴a=4， 故选B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化．根据分母有理化法则，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： ( 题型0 5 )二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】此题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用二次根式的加减运算法则分别化简，进而合并得出答案； （2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案． 【详解】（1）原式 （2）原式 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值的化简等知识，先化简绝对值和二次根式，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级下·广西钦州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的除法，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·河北衡水·期中）若则“〇”表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算是解题的关键；根据题意可计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 6．（23-24八年级下·广西·期末）观察下列等式：，，，…则第n个等式为 ．（用含n的式子表示） 【答案】＝ 【分析】探究规律后，写出第n个等式即可求解． 【详解】解： … 则第n个等式为 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键. 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：． 【答案】1． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用乘法分配律展开计算即可． 【详解】解： 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，平方差公式．利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 故选：C 10．（23-24八年级下·广西玉林·期末）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式性质和二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 11．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则，准确计算即可． 【详解】解： ． 12．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算： 【答案】1 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解∶ ． 13．（23-24八年级下·广西防城港·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算二次根式的乘方，以及乘法与除法运算，再合并即可； 【详解】解： ； 14．（23-24八年级下·广西北海·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．运用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． ( 题型0 6 )二次根式化简求值 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先平方差公式计算出，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， ． 2．（23-24八年级下·广西·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值． 【详解】原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 3．（23-24八年级下·广西·期末）先化简，再求值：，其中a=． 【答案】 【详解】试题解析：首先将分式的分子和分母分别进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将a的值代入化简后的式子进行计算得出答案. 试题分析：== 当时，   原式= 点睛：本题主要考查的就是分式的化简和求值问题，属于基本题.在解答分式化简的法则时，我们必须首先要明白因式分解的法则，如果进行分式的加减法计算时，我们首先需要对分式进行通分，然后再进行乘除法计算.在代入求值时，最后的结果必须要进行化简，分母中不能含有二次根式.如果分母中含有，则分子和分母同乘以进行化简；如果分母中含有，则分子和分母同乘以，利用平方差公式进行化简. ( 题型0 7 )二次根式应用 1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题： 古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，证明了如下结论：如果一个三角形三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．这一公式称为海伦公式． (1)已知，，是的三边长，满足，求，，的值． (2)请你用海伦公式求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的应用： （1）根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求解即可； （2）根据（1）所求先得到，再根据公式代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得； ∴ ． 2．（23-24八年级下·广西·期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 【答案】2（x）（x） 【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解：2x2﹣6 ＝2（x2﹣3） ＝2（x）（x）． 故答案为2（x）（x）． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 3．（23-24八年级下·广西百色·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），．假若一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在内，该座钟发出了 次滴答声．（参考数据：，π取3.14，结果保留整数） 【答案】43 【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数． 【详解】解：， ∴(次)， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键． 4．（23-24八年级下·广西百色·期末）某精密仪器的一个零件上有一个矩形孔，其面积为、长为，则这个孔的宽为 cm． 【答案】 【分析】利用矩形的面积除以长等于宽列式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式除法的应用，利用矩形的面积计算公式列出算式是解决问题的关键． 1．（23-24八年级下·广西·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．    【答案】1 【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，再利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，最后合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴可得：，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知，则是的值是 ． 【答案】 【分析】先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，解题的关键是灵活运用因式分解来简化计算． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ． ∴． 这种方法称为“构造对偶式” 已知．求的值． 【答案】3 【分析】根据题意可得，然后问题可求解． 【详解】由题意得： ； ∵， ∴； 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式的涵义 题型02二次根式的性质应用 题型03二次根式的乘除运算 题型04最简、同类二次根式 题型05 二次根式混合运算 题型06 二次根式化简求值 题型07 二次根式应用 ( 题型01 )二次根式的涵义 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24八年级下·广西百色·期末）二次根式有意义，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·广西贵港·期末）若都是实数，且，则的立方根是 ． 4．（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． ( 题型0 2 )二次根式的性质应用 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简： ＝ ． 2．（23-24八年级下·广西·期末）计算： ． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．0 4．（23-24八年级下·广西·期末）若是整数，则正整数m的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 6．（23-24八年级下·广西·期末）若0≤a≤1，则 = ( 题型0 3 )二次根式的乘除运算 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）计算，的结果为 ． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ( 题型0 4 )最简、同类二次根式 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西·期末）下列各式中，与是同类二次根式的为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列二次根式化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 7．（223-24八年级下·广西北海·期末）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（    ） A． B．4 C． D．14 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ． ( 题型0 5 )二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 3．（23-24八年级下·广西钦州·期末）计算： (1)； (2) 4．（23-24八年级下·河北衡水·期中）若则“〇”表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 6．（23-24八年级下·广西·期末）观察下列等式：，，，…则第n个等式为 ．（用含n的式子表示） 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：． 9．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．9 D． 10．（23-24八年级下·广西玉林·期末）． 11．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算：． 12．（23-24八年级下·广西南宁·期末）计算： 13．（23-24八年级下·广西防城港·期末）计算：． 14．（23-24八年级下·广西北海·期末）计算：． ( 题型0 6 )二次根式化简求值 1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）已知，，求代数式的值． 2．（23-24八年级下·广西·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（23-24八年级下·广西·期末）先化简，再求值：，其中a=． ( 题型0 7 )二次根式应用 1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题： 古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，证明了如下结论：如果一个三角形三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．这一公式称为海伦公式． (1)已知，，是的三边长，满足，求，，的值． (2)请你用海伦公式求的面积． 2．（23-24八年级下·广西·期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 3．（23-24八年级下·广西百色·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），．假若一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在内，该座钟发出了 次滴答声．（参考数据：，π取3.14，结果保留整数） 4．（23-24八年级下·广西百色·期末）某精密仪器的一个零件上有一个矩形孔，其面积为、长为，则这个孔的宽为 cm． 1．（23-24八年级下·广西·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．    3．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知，则是的值是 ． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ． ∴． 这种方法称为“构造对偶式” 已知．求的值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$