专题04 一次函数（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 一次函数 题型概览 题型01函数的概念 题型02函数解析式 题型03函数的三种表示 题型04函数图象的识别 题型05函数图象的应用 题型06正比例函数 题型07一次函数的概念 题型08一次函数的图象 题型09一次函数的解析式 题型10一次函数的性质 题型11一次函数图象的平移 题型12一次函数与方程 题型13一次函数与不等式 题型14求图形的面积 题型15一次函数的实际应用——分配问题 题型16一次函数的实际应用——利润问题 题型17一次函数的实际应用——行程问题 题型18一次函数与几何综合 ( 题型01 )函数的概念 1．（23-24八年级下·广西·期末）下列各关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·广西·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·广西·期末）函数的自变量取值范围是 ． ( 题型0 2 )函数解析式 1．（23-24八年级下·广西·期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021－2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客举行夏日大回馈活动，特推出两种“夏季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费40元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费15元． 设小宇一年内来此健身中心健身的次数为x（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． (1)请直接写出，与x之间的函数关系式． (2)当小宇一年内来此健身中心健身的次数在什么范围时，选择方案2所需费用较少？并说明理由． 2．（23-24八年级下·广西·期末）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知一个长方体的体积是，它底面的两条边长分别是和，高是． (1)写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)当时，求y的值． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）函数中，当自变量 时，函数值y等于0． ( 题型0 3 )函数的三种表示 1．（23-24八年级下·广西·期末）一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为，其中关于常量和变量的表述正确的是（    ） A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是，变量是C，r 2．（23-24八年级下·广西·期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 3．（23-24八年级下·广西·期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，则变量是（    ） A．5 B．5和x C．x D．x和y 4．（23-24八年级下·广西·期末）甲以每小时30km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间的关系式可表示为s＝30t，则下列说法正确的是（　　） A．数30和s，t都是变量 B．s是常量，数30和t是变量 C．数30是常量，s和t是变量 D．t是常量，数30和s是变量 ( 题型0 4 )函数图象的识别 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）匀速地向如图所示的空容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，设注水时间为x，容器底部到水面的高度为y，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A． B． C． D． ( 题型 05 )函数图象的应用 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示． (1)小明从家跑步去体育场用了______，体育馆距离家有______km． (2)文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ (3)小明从家到文具店的平均速度是多少？ 2．（23-24八年级下·广西·期末）小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（    ） A．小明全家去翠湖时的平均速度为 B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为 D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 3．（23-24八年级下·广西·期末）某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了7分钟，其离家的路程（单位：m）与出行的时间x（单位：）变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（   ） A．仍会迟到2分钟到校 B．刚好按时到校 C．可以提前3分钟到校 D．可以提前2分钟到校 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，折线描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　） A．汽车共行驶了90千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了2小时 C．汽车自出发后前3小时的平均速度为30千米/时 D．汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度是50千米/时 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某星期日上午10：00，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的2倍．下图表示小星离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系，下列说法正确的是（    ）    A．小星在图书馆看书的时间是70分钟 B．小星家与图书馆的距离为4千米 C．小星的步行速度是5千米/小时 D．小星回到家的时刻是上午 6．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 7．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积为（　　） A． B． C． D． ( 题型 06 )正比例函数 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）正比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 6．（23-24八年级下·广西·期末）正比例函数的图像经过第 象限． ( 题型 07 )一次函数的概念 1．（23-24八年级下·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 2．（23-24八年级下·广西·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 4．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的函数是一次函数，则n的值为 ． 5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知点在一次函数的图象上，则 ． 6．（23-24八年级下·广西防城港·期末）下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广西·期末）已知与成正比，当时，，求当时的值． ( 题型 08 )一次函数的图象 1．（23-24八年级下·广西·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（  ）    A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）直线不经过第 象限． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过象限是（    ） A．第一、第二、第三象限 B．第一、第二、第四象限 C．第一、第三、第四象限 D．第二、第三、第四象限 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知函数. (1)若这个函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围. 8．（23-24八年级下·广西·期末）已知直线不经过第三象限，则k的取值的范围是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A点坐标：__________，B点坐标：________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求写步骤）； (3)求出的面积． 10．（23-24八年级下·广西北海·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中， (1)点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． ( 题型 09 )一次函数的解析式 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点，与y轴相交于点B． (1)求出m的值． (2)过点B作直线与x轴的正半轴相交于点C，且，求直线的解析式． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24八年级下·广西·期末）王阿姨去超市买苹果，右表记录了5个数量值所对应的总价，其中x表示数量，y表示总价，根据表中的数据写出y与x的表达式为（    ） 1 2 3 4 5 … 元 12 24 36 48 60 … A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）已知一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的k和b的值． ( 题型 10 )一次函数的性质 1．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知一次函数 ，下列描述正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点是 C．函数图象不经过第二象限 D．y随x的增大而减小 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知点，在直线上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知是一次函数图象上的两点，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）直线上有三个点，，．则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西百色·期末）一次函数的图象经过两个点和，则与的大小关系是（　　） A． B． C．当时， D．当时， ( 题型 11 )一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）将直线向上平移4个单位，可得到直线（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．图象与轴的交点为 D．图象不经过第三象限 4．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为 ． 5．（23-24八年级下·广西·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，使其与直线的交点位于第二象限，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． ( 题型 12 )一次函数与方程 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 2．（23-24八年级下·广西·期末）已知一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，已知直线与直线交于点． (1)当为何值时，； (2)若时，求x的取值范围． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（，为常数，且）的图像交轴于点，且与直线都经过点，下列结论 ①关于的一元一次方程的解为； ②直线与轴交于点； ③当时，； ④方程组的解为其中正确的结论有（    ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②④ 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）若直线与直线于相交于第三象限内一点，求m得取值范围． 6．（23-24八年级下·广西·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为 ． ( 题型 13 )一次函数与不等式 1．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知一次函数，且函数图象经过点．    (1)求的值； (2)画出该函数的图象； (3)根据函数的性质或图象，确定取何值时，． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像相交于点，点的横坐标为．      (1)直接写出点的坐标及一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)为射线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，请求出点的坐标． 6．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ． ( 题型 14 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积． 2．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，动点在直线上运动．求：    (1)直线的解析式； (2)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 4．（23-24八年级下·广西·期末）已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为 ． ( 题型 15 )一次函数的实际应用——分配问题 1．（23-24八年级下·广西·期末）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． (1)请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？ 2．（23-24八年级下·广西·期末）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y； (2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润． ( 题型 16 )一次函数的实际应用——利润问题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）老友粉入选广西非物质文化遗产名录，为满足消费者需求，某超市购进A、B两种品牌老友粉并全部销售．两种品牌老友粉的进价和售价如下表： 价格 类别 A 品牌老友粉 B 品牌老友粉 进价（元/袋） 9 11 售价（元/袋） 13 13 (1)若超市购进A、B两种品牌老友粉共300袋，共需资金2900元，求A、B 两种品牌老友粉各购进多少袋？ (2)若超市计划购进A、B两种品牌老友粉共450袋，且A品牌老友粉进货数量不超过B 品牌老友粉进货数量的一半，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A、B两种书籍，若订购A种书籍本，B种书籍本，共花元；若订购A种书籍本，B种书籍本，共花费元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务二 （2）若该校计划购进这两种书籍共本，且A种书籍的数量不少于本，设购买这批书籍所需费用为w元，B种书籍购买本，求w元与之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 ( 题型 17 )一次函数的实际应用——行程问题 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象． (1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶186千米时，蓄电池的剩余电量． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．    (1)小明骑自行车速度为______； (2)求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式； (3)当小明离家的距离为时，求x的值． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离与行驶时间的对应关系如图所示．    (1)A，B两城相距_________千米，_________车先出发（填甲或乙）； (2)分别求甲、乙两车在行驶过程中离开A城的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)在两车同时行驶过程中，当甲、乙两车相距时，求行驶时间x的值． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地．甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y 与行驶时间x之间的函数图象．根据图象解答以下问题： (1)直接写出A，B两地之间的距离； (2)求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请求出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． ( 题型 18 )一次函数与几何综合 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）直线．与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作于点A，且点C在第一象限内，在第一象限内有一点，使． (1)求点A、B、C三点的坐标 (2)求t的值． 3．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，函数的图象交x轴于点 A ，交y轴于点 B ，若点P 为线段上一动点，过P分别作轴于点 E ，轴于点 F ，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24八年级下·广西·期末）已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且； ①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标； ②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）数学史中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，箭尺最大读数为120厘米．学校项目学习小组仿制了一套浮箭漏，并开展学习探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，收集数据如下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）根据上表的数据，在平面直角坐标系中（图2）描出对应的点； （2）观察上述各点的分布规律，猜想y与x之间满足哪种函数关系？并求出y与x的函数解析式． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，当箭尺读数为90厘米时是几点钟？ 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ．    4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．    5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 6．（23-24八年级下·广西·期末）已知点在直线上，且，则代数式的值为 ． 7．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 8．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广西·期末）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    29 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 题型概览 题型01函数的概念 题型02函数解析式 题型03函数的三种表示 题型04函数图象的识别 题型05函数图象的应用 题型06正比例函数 题型07一次函数的概念 题型08一次函数的图象 题型09一次函数的解析式 题型10一次函数的性质 题型11一次函数图象的平移 题型12一次函数与方程 题型13一次函数与不等式 题型14求图形的面积 题型15一次函数的实际应用——分配问题 题型16一次函数的实际应用——利润问题 题型17一次函数的实际应用——行程问题 题型18一次函数与几何综合 ( 题型01 )函数的概念 1．（23-24八年级下·广西·期末）下列各关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；根据函数概念逐一进行判断即可． 【详解】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； 对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量x、y，若对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：B、C、D三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故三个选项中的图象都能表示y是x的函数， A选项中，当x为正数时，对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故该选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】全体实数 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 根据分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：因为为任意实数时，，所以自变量的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． 4．（23-24八年级下·广西·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西·期末）函数的自变量取值范围是 ． 【答案】 【分析】当函数表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论． 【详解】解：由题可得，， 解得， ∴函数的自变量取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ( 题型0 2 )函数解析式 1．（23-24八年级下·广西·期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021－2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客举行夏日大回馈活动，特推出两种“夏季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费40元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费15元． 设小宇一年内来此健身中心健身的次数为x（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． (1)请直接写出，与x之间的函数关系式． (2)当小宇一年内来此健身中心健身的次数在什么范围时，选择方案2所需费用较少？并说明理由． 【答案】(1)， (2)当小宇一年内来此健身中心健身的次数大于8次时，选择方案2所需费用较少 【分析】（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 即：，与x之间的函数关系式分别为，； （2）解：当时，选择方案2所需费用较少 解，得， 即：当小宇一年内来此健身中心健身的次数大于8次时，选择方案2所需费用较少． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，解不等式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广西·期末）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降”可得向上登高可得气温下降了，即可写出函数关系式． 【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知一个长方体的体积是，它底面的两条边长分别是和，高是． (1)写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据长方体体积公式即可得到答案； （2）把代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：把代入得：． 【点睛】本题考查列函数关系式及求函数值，解题的关键是掌握长方体体积公式． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），是变量；是常量． 【分析】（1）根据三角形的周长公式可得，化简即可； （2）根据常量和变量的概念，即可求解． 【详解】解：（1）根据三角形的周长公式可得：，即 与之间的函数关系式为： （2）根据常量和变量的有关概念，可得： ，是变量；是常量 【点睛】此题考查了函数的解析式，常量与变量的概念，解题的关键是熟练掌握函数的解析式以及常量与变量的概念． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）函数中，当自变量 时，函数值y等于0． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入，即可求出结论． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：． ( 题型0 3 )函数的三种表示 1．（23-24八年级下·广西·期末）一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为，其中关于常量和变量的表述正确的是（    ） A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是，变量是C，r 【答案】D 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义，根据定义进行判断即可． 【详解】解：根据题意得：函数关系式中常量是，变量是C、r． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西·期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】根据常量，变量的定义解法即可． 【详解】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，y是变量， 故选：C． 【点睛】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量，熟记定义是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西·期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，则变量是（    ） A．5 B．5和x C．x D．x和y 【答案】D 【分析】根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量， 而购买的本数x，总费用y是变化的量，因此x和y是变量， 故选：D． 【点睛】本题考查了常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确判断的前提． 4．（23-24八年级下·广西·期末）甲以每小时30km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间的关系式可表示为s＝30t，则下列说法正确的是（　　） A．数30和s，t都是变量 B．s是常量，数30和t是变量 C．数30是常量，s和t是变量 D．t是常量，数30和s是变量 【答案】C 【分析】根据变量的定义即可求解 【详解】解：在s＝30t中，数30是常量，s和t是变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的定义，熟练掌握定义即可求解． ( 题型0 4 )函数图象的识别 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）匀速地向如图所示的空容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，设注水时间为x，容器底部到水面的高度为y，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据容器下面圆柱底面积较大，上面圆柱底面积较小即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，下面圆柱底面积较大，上面圆柱底面积较小，所以一开始水面高度y上升的慢，当下面圆柱注满水后，然后水面高度y上升的会快点， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】函数有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，结合选项即可作出判断． 【详解】解：A、B、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义， 只有C选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义． 故选：C． 【点睛】此题考查函数的定义，解题关键在于注意掌握在函数变化的过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． ( 题型 05 )函数图象的应用 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示． (1)小明从家跑步去体育场用了______，体育馆距离家有______km． (2)文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ (3)小明从家到文具店的平均速度是多少？ 【答案】(1)，； (2)文具店离体育馆，小明在文具店停留了； (3)小明从家到文具店的平均速度是． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）求出小明从家到体育场再到文具店的路程，再除以时间即可求解； 本题考查了函数的图象，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得，小明从家跑步去体育场用了，体育馆距离家有， 故答案为：，； （2）解：由图象可得，文具店离体育馆， 小明在文具店停留了； （3）解：小明从家到体育场再到文具店的路程为， ∴小明从家到文具店的平均速度为． 2．（23-24八年级下·广西·期末）小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（    ） A．小明全家去翠湖时的平均速度为 B．小明全家停车游玩了4.5小时 C．小明全家返回时的平均速度为 D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，小明全家去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖，据此可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，据此可判断D． 【详解】A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； B． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意； C． 小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·广西·期末）某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了7分钟，其离家的路程（单位：m）与出行的时间x（单位：）变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（   ） A．仍会迟到2分钟到校 B．刚好按时到校 C．可以提前3分钟到校 D．可以提前2分钟到校 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，从图象中获取正确信息是解答的关键．先根据图象中数据求得出骑单车的速度，以及步行的时间和路程，再求得骑单车在步行路程中的时间，进而可求解． 【详解】解：由图象知，小涵同学骑单车的速度为， ∴若小涵同学开始直接骑单车，前600米所用时间为， 则可节省， ∵先步行一段路后改骑单车，到校时迟到了7分钟， ∴若他出门时直接骑单车（车速不变），则他刚好按时到校， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西·期末）如图，折线描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　） A．汽车共行驶了90千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了2小时 C．汽车自出发后前3小时的平均速度为30千米/时 D．汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度是50千米/时 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数的图象，关键是审清题意，尤其看清楚横轴和纵轴表示的量，此种题型便可迎刃而解．根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵汽车共行驶了：（千米）， ∴选项A不符合题意； B、∵汽车在整个行驶过程中停留了个小时， ∴选项B不符合题意； C、∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：（千米/时）， ∴选项C符合题意； D、∵汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度为（千米/时）， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某星期日上午10：00，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的2倍．下图表示小星离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系，下列说法正确的是（    ）    A．小星在图书馆看书的时间是70分钟 B．小星家与图书馆的距离为4千米 C．小星的步行速度是5千米/小时 D．小星回到家的时刻是上午 【答案】D 【分析】提取图像中相关信息解题即可． 【详解】解：小星在图书馆看书的时间是分钟，所以A不正确； 由纵坐标，小星家与图书馆的距离为2千米，所以B选项不正确； 小星的步行速度是千米/小时，所以C选项不正确； 小星回到家的时刻是上午时，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查函数图像，会正确识图，找到相关信息是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 7．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由函数图象可得，，再根据三角形的面积公式计算即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，点到的路程为，点到点的路程为， 即，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的面积为， 故选：． ( 题型 06 )正比例函数 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义即可得解．一般地，对于两个变量x、y，若x、y之间的关系式可以表示成（其中k、b为常数，且）的形式，那么称y是 x的一次函数，特别的，当时，称y是 x的正比例函数.题中告诉我们是正比例函数，所以，即． 熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵y关于x的函数是正比例函数， ∴, 故答案为：0． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项所给点的横坐标代入中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，则该点在函数的图象上，若不相等，则该点不在函数的图象上． 本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故A本选项错误； B、∵当时，， ∴此点在正比例函数图象上，故本选项正确； C、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误； D、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误． 故选B． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）正比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【分析】此题考查正比例函数的性质，根据比例系数，得到图象过一，三象限，正确理解正比例函数的比例系数与图象的关系是解题的关键 【详解】解：∵, ∴正比例函数的图象过第一，三象限， 故选：A 5．（23-24八年级下·广西防城港·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键． （1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为， 把，代入，得， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ， ∴y 随x的增大而减小， ∴当时，． 6．（23-24八年级下·广西·期末）正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过一、三象限． 【详解】解：由题意可知函数的图象过一、三象限． 故答案为一、三． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，根据函数式判断出函数图象的位置是解题的关键． ( 题型 07 )一次函数的概念 1．（23-24八年级下·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24八年级下·广西·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数，根据定义依次判断，熟记一次函数的形式是解题的关键． 【详解】解：A、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意； B、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意； C、此函数是一次函数，故此选项符合题意； D、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的函数是一次函数，则n的值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义，得：， 解得， ∴当时，这个函数是一次函数， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，正确理解一次函数的“一次”的意义是解答本题的关键． 5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入一次函数，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：0． 6．（23-24八年级下·广西防城港·期末）下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是将点的坐标代入一次函数解析式中，本题属于基础题型．将各点的坐标代入一次函数中，若左右两边相等即该点在图象上． 【详解】解：A．将代入，则，故不在图象上； B．将代入，则，故在图象上； C．将代入，则，故不在图象上； D．将代入，则，故不在图象上； 故选：B． 7．（23-24八年级下·广西·期末）已知与成正比，当时，，求当时的值． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数关系式为：，只需一组对应量就可确定解析式．也考查了给定自变量会求对应的函数值． 设，把，代入，求出k的值，确定x，y的关系式，然后把，代入解析式求对应的函数值即可． 【详解】解：∵y与成正比例， ∴设， 把，代入， 可得 ∴， ∴ ∴当时，． ( 题型 08 )一次函数的图象 1．（23-24八年级下·广西·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 2．（23-24八年级下·广西·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据经过第几象限，从而判断的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、三、四象限，得，自相矛盾，故舍去； B、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，故舍去； C、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，自相矛盾，故舍去； D、、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，符合，该选项是正确的； 故选：D 3．（23-24八年级下·广西·期末）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限可判断出的符号，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选C． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）直线不经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了一次函数图像分布，根据，判定一次函数的图像分布在第二、第三、第四象限，故不经过第一象限解答即可． 【详解】解：中， ∴一次函数的图像分布在第二、第三、第四象限， ∴不经过第一象限， 故答案为：一． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过象限是（    ） A．第一、第二、第三象限 B．第一、第二、第四象限 C．第一、第三、第四象限 D．第二、第三、第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．由，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一次函数的图象与性质解题，一次函数，当时，图象经过一、三象限，当时，图象经过二、四象限，当时，一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数图象与y轴交于原点，当时，一次函数图象与y轴交于负半轴，据此解题． 【详解】解：一次函数，，， 一次函数图象经过一、二、三象限， 故选项A符合题意，选项B、C、D均不符合题意． 故选：A． 7．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知函数. (1)若这个函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）根据题意列不等式组即可得到结论． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式以及一次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， 且， ， 的取值范围是． 8．（23-24八年级下·广西·期末）已知直线不经过第三象限，则k的取值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，直线不经过第三象限即有三种可能性：①直线经过第一、二、四象限；②直线只经过第二、四象限；③直线只经过第一、二象限．然后分别进行求解即可． 【详解】解：直线不经过第三象限， 分三种情况讨论： ①直线经过第一、二、四象限，则, 解得：； ②直线只经过第二、四象限，则必经过原点， ； ③直线只经过第一、二象限，则直线与x轴平行且在x轴上方， ， ； 综上所述，k的取值的范围是：； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像的位置与系数的关系是解决此题的关键． 9．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A点坐标：__________，B点坐标：________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求写步骤）； (3)求出的面积． 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3)的面积是 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，明确题意，利用一次函数的性质和数形结合思想进行解答是解题的关键． （1）根据题目中的一次函数解析式，利用“轴上所有点的纵坐标均为，轴上所有点的横坐标均为”即可求出点和点的坐标； （2）在平面直角坐标系中，根据、两点的坐标画出直线即可； （3）由点、点的坐标可以求得、的长度，然后根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 解得， 一次函数与轴的交点的坐标为； 令，得， 一次函数与轴的交点的坐标为； （2）解：一次函数的图象是一条直线， 在平面直角坐标系中，根据、两点的坐标画出直线，即可得到该函数的图象， 函数图象如图所示； （3）解：由点、点的坐标可知： ，， ， 的面积是． 10．（23-24八年级下·广西北海·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与轴的交点坐标问题，熟记轴上点的坐标特征是解题的关键．根据轴上点的坐标特征，令即可求解． 【详解】解：令，则， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：D． 11．（23-24八年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中， (1)点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，再用描点法作图即可； （2）由平移方式得，分别把、代入求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入一次函数中， 得， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 该一次函数图象如图： （2）解：由点向左平移3个单位长度，得到点， 当直线经过点时，， 解得， 当直线经过点时，， 解得， 综上所述，m的取值范围是． 【点睛】本题考查用描点法作函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化−平移、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． ( 题型 09 )一次函数的解析式 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，牢记待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键． 将给定点的坐标代入一次函数的表达式中，可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点，与y轴相交于点B． (1)求出m的值． (2)过点B作直线与x轴的正半轴相交于点C，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形，（1）把代入求解即可； （2）由（1）得，直线的解析式为，求得，，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点， ∴把代入得，， 解得； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明得到，进而求得点D坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：延长交x轴于点D，    由入射角等于反射角得，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 代入中，得， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西·期末）王阿姨去超市买苹果，右表记录了5个数量值所对应的总价，其中x表示数量，y表示总价，根据表中的数据写出y与x的表达式为（    ） 1 2 3 4 5 … 元 12 24 36 48 60 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了待定系数法求一次函数解析式，根据记录表由待定系数法就可以求出与的函数表达式．在解答时利用待定系数法求出函数的解析式是关键． 【详解】解：设与的函数表达式为，由记录表得： ， 解得：． 故与的函数表达式为． 故选：D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）已知一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的k和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：把，代入一次函数得： ，解得． ( 题型 10 )一次函数的性质 1．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知一次函数 ，下列描述正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点是 C．函数图象不经过第二象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象与性质逐一分析即可求解． 【详解】解：当时，，所以图象不经过点，故A选项不符合题意； 当时，，所以图象与轴交于点，故B选项不符合题意； 一次函数经过第一、三、四象限，故C选项符合题意； ∵，∴函数值随的增大而增大，故D选项不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知点，在直线上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次项系数确定一次函数的增减性，由，结合一次函数的增减性即可得出结论． 【详解】， 函数y随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知是一次函数图象上的两点，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先判断出与异号，再根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵， ∴与异号， ∴对于一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）直线上有三个点，，．则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据函数解析式判断出一次函数的增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】， ， 随的增大而增大， ， 故选：B 5．（23-24八年级下·广西百色·期末）一次函数的图象经过两个点和，则与的大小关系是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，当中时，y随x的增大而增大，由此可解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过两个点和，， ∴． 故选A． ( 题型 11 )一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 【答案】25 【分析】利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可．此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：25． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期末）将直线向上平移4个单位，可得到直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记图象的变换规律是解题关键：上加下减，左加右减． 【详解】解：将直线向上平移4个单位，可得到直线， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．图象与轴的交点为 D．图象不经过第三象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A错误； 的图象向下平移2个单位长度得到的图象，故B错误； 把代入得：， 解得：， ∴图象与轴的交点为，故C错误； 图象经过一、二、四象限， 即图象不经过第三象限，故D正确． 故选：D． 4．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】本题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．利用一次函数平移规律，上加下减得出平移后函数解析式，变形后即可求得线段的长度． 【详解】解：把直线沿轴向上平移4个单位，得到直线为， 当时，， 解得 ，即． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，使其与直线的交点位于第二象限，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的图象向上平移个单位可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度，可得：， 联立两直线解析式得， 解得， 即交点坐标为， 交点在第二象限， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0是解题的关键． ( 题型 12 )一次函数与方程 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 2．（23-24八年级下·广西·期末）已知一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】图象与x轴交点横坐标就是方程的解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点横坐标，观察图象可知一次函数图象与x轴交点坐标是（-6,0）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想把解方程问题转化为求一次函数图象与x轴交点问题． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，已知直线与直线交于点． (1)当为何值时，； (2)若时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，能直接利用函数图象得出不等式的解集是解题的关键． （1）由可得，解方程即可； （2）根据图象，找出直线落在直线下方的部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1），， 当时，， 解得； （2）由（1）可知点的坐标为， 由图象可知当时，． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（，为常数，且）的图像交轴于点，且与直线都经过点，下列结论 ①关于的一元一次方程的解为； ②直线与轴交于点； ③当时，； ④方程组的解为其中正确的结论有（    ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与二元一次方程的关系，函数的图像中两条直线的交点坐标确定不等式的解集即可．根据一次函数的图像交轴于点，即可判断①；将代入直线求出解析式，令求出y值，即可判断②；根据图像及连函数交点，即可判断③与④． 【详解】解：一次函数（k、b为常数，且）的图像与轴于点， 时，， 关于的一元一次方程的解为；故①正确； 将代入直线，则， 解得：， 一次函数的解析式为， 令，则， 直线与轴交于点；故②正确； 一次函数与直线都经过点， 方程组的解为，故④正确； 由图像可知，当时，一次函数的图像在直线的上面， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； 故选：D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期末）若直线与直线于相交于第三象限内一点，求m得取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线相交的问题，点所在象限的特点以及解不等式组和解二元一次方程组，根据题意，联立两直线解析式求出交点的坐标，再根据交点在第三象限内即列出不等式组求解即可． 【详解】解：关于x，y的方程组， ∴它的解是， 又∵直线与直线相交于第三象限内一点， ∴， 解得：． 6．（23-24八年级下·广西·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ， 方程组的解为． 故答案：． ( 题型 13 )一次函数与不等式 1．（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知一次函数，且函数图象经过点．    (1)求的值； (2)画出该函数的图象； (3)根据函数的性质或图象，确定取何值时，． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)． 【分析】（）把代入一次函数解析式即可求解； （）利用两点法作图即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的图象以及一次函数和不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 当时，， 如图所示，过点，画直线，所得直线即为一次函数的图象：    （3）解：由图象可得，时，， ∴当时，． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一次函数的图象在轴下方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：当不等式时，一次函数的图象在轴下方， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像相交于点，点的横坐标为．      (1)直接写出点的坐标及一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)为射线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数，一次函数与一元一次不等式的关系，函数图像上点的坐标特点等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质，明确一次函数与一元一次不等式的关系是解题关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）先将不等式变形，再根据一次函数与不等式的关系即可求解； （3）先求出，设点，点，列出关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标为，且点在正比例函数的图像上， ， ， 将，代入一次函数得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由得， 由函数图得得：当时，， 不等式的解集为； （3）解：把x=0代入得， 点， ， ， ， 设点， 轴， 点， ， 解得：， ． 6．（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象找出一次函数的图象位于一次函数的图象上方部分对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， 由图象可知，当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． ( 题型 14 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，两条直线的交点坐标，坐标与图形，解题的关键是数形结合，求出一次函数解析式． （1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出点，然后根据三角形面积的计算公式求出结果即可． 【详解】（1）解：设一次函数为， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故一次函数表达式为：． （2）解：由， 解得， ∴点， ∴的面积为：． 2．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，动点在直线上运动．求：    (1)直线的解析式； (2)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识；熟练掌握一次函数解析式的求法，利用点纵坐标为分别求出横坐标是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求出的面积，再根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，且， 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是； （2）解：∵，当时，， ∴，且， ∴， ∴的面积为， 设点的坐标为， ∴的面积为， 解得或， 当时，；当时，； 则点的坐标为或． 3．（23-24八年级下·广西·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求出点A和点B坐标，进一步即可求出的面积； （3）根据图象即可确定x的取值范围． 【详解】（1）∵将点代入，得， 解得； 将点代入，得， 解得， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）∵在中，令，得， ∴． ∴， ∵在中，令，得， ∴． ∴，    ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由函数图象可知，当时，． ∴当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与三角形的面积，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与待定系数法求解析式是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广西·期末）已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，先将变形为得到一次函数和的交点为A（2，6），将A（2，6）分别代入到和，求出一次函数表达式，再令y=0，得到B，C两点的坐标，从而求得三角形的面积即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， ∴一次函数和的交点为A（2，6）． 将A（2，6）代入得6=2k+4，解得k=1， ∴y=x+4， 令y=0，即x+4=0，解得x=-4， ∴B（-4，0）， 将A（2，6）代入得6=-3×2+b，解得b=12， ∴y=-3x+12 令y=0，即-3x+12=0，解得x=4， ∴C（4，0）， ∴BC=8， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，二元一次方程组的解就是两条一次函数的交点，还考查了待定系数法求解析式、求与坐标轴的交点坐标以及求三角形的面积． ( 题型 15 )一次函数的实际应用——分配问题 1．（23-24八年级下·广西·期末）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． (1)请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？ 【答案】(1) (2)至多要派5名工人制造甲种零件才合适 【分析】本题考查一次函数与实际问题，一元一次不等式的实际应用． （1）根据每天所获利润等于每天制造甲种零件的数量乘以每个零件的利润加上每天制造乙种零件的数量乘以每个零件的利润列式即可； （2）根据（1）每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式列出不等式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，则安排人制造乙种零件， 根据题意： 即； （2）解：根据题意：令 解得：， 在中， ∵， ∴y的值随x的值的增大而减少， ∴要使，需， 答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适． 2．（23-24八年级下·广西·期末）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y； (2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】（1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解． （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨 ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数 ∴且为3的倍数 （2）解：∵， ∴ （3） ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． ( 题型 16 )一次函数的实际应用——利润问题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）老友粉入选广西非物质文化遗产名录，为满足消费者需求，某超市购进A、B两种品牌老友粉并全部销售．两种品牌老友粉的进价和售价如下表： 价格 类别 A 品牌老友粉 B 品牌老友粉 进价（元/袋） 9 11 售价（元/袋） 13 13 (1)若超市购进A、B两种品牌老友粉共300袋，共需资金2900元，求A、B 两种品牌老友粉各购进多少袋？ (2)若超市计划购进A、B两种品牌老友粉共450袋，且A品牌老友粉进货数量不超过B 品牌老友粉进货数量的一半，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)超市购进A种品牌老友粉200袋，B种品牌老友粉100袋 (2)超市应购进A种品牌老友粉150袋，B种品牌老友粉300袋才能获得最大利润，最大利润是1200元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用及一次函数的实际应用． （1）设购进A品牌老友粉袋，则购进B品牌老友粉袋，根据用元购进A、B品牌老友粉共300袋，得出方程组解答即可； （2）设超市获得利润为元，购进A种老友粉袋，则购进B品牌老友粉袋，根据A品牌老友粉进货数量不超过B 品牌老友粉进货数量的一半，列出不等式求出a的范围，再列出利润的关系式，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设购进A品牌老友粉袋，则购进B品牌老友粉袋， 根据题意得：， 解得：， 答：超市购进A种品牌老友粉200袋，B种品牌老友粉100袋； （2）解：设超市获得利润为元，购进A种老友粉袋，则购进B品牌老友粉袋， 则， 解得：； 根据题意得： ， 随a的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为：（元） 此时，（袋） 答：超市应购进A种品牌老友粉150袋，B种品牌老友粉300袋才能获得最大利润，最大利润是1200元． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 【答案】(1)， (2)1300 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一次函数的性质； （1）根据剩余的现金等于总现金减去购买费用可得函数解析式，再根据批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克，以及最大现金数的购买量可得自变量的取值范围； （2）根据一次函数的增减性可得答案 【详解】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：， 其中，x的取值范围是：； （2）解：由（1）可知， ∴随x的增大而减小， 当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大， 即， 答：函数的最大值为1300. 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； (2)当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及 三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论． 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶， 据题意得： 解得：， ∵公司所获利润为W元， ∴ ∴ ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为，此时， ∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元， 若，则， 当时，选择方案一购买更合算； 若，则， 当时，选择两优惠方案所需费用相同； 若，则，   当时，选择方案二购买更合算． ∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 4．（23-24八年级下·广西北海·期末）根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A、B两种书籍，若订购A种书籍本，B种书籍本，共花元；若订购A种书籍本，B种书籍本，共花费元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务二 （2）若该校计划购进这两种书籍共本，且A种书籍的数量不少于本，设购买这批书籍所需费用为w元，B种书籍购买本，求w元与之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种书籍每本的进价为20元，B种书籍每本的进价为15元；（2）学校应购买A种书籍40本，B种书籍60本才能使购买费用最少．最少费用为1700元 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的性质．找准正确的数量关系是解题的关键． 任务一：根据题意列出正确的二元一次方程组求解即可； 任务二：根据题意和任务一中的结果，写出w与之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可分析求出． 【详解】任务一：设A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 由题意得： 解得：． 答：A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 任务二：由题意可知， 购买B种书籍本，则购买A种书籍本． A种书籍的数量不少于本， ， 解得：． 根据题意得：， 随着的增大而减少， 当时，取得最小值，此时， 最小值为：． 5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． ( 题型 17 )一次函数的实际应用——行程问题 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象． (1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶186千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)150千米，千米； (2)，17千瓦时． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数值的知识， （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； （2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米． 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米； （2）设，把点，代入， 得， ∴， ∴， 当时，， 所以当时，函数表达式为，当汽车已行驶186千米时，蓄电池的剩余电量为17千瓦时． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．    (1)小明骑自行车速度为______； (2)求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式； (3)当小明离家的距离为时，求x的值． 【答案】(1)200 (2) (3)x的值为1或41 【分析】(1)根据图象中的数据，可知小明家与图书馆的距离，根据速度=路程÷时间即可计算出小明骑自行车的速度； (2)先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与x轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与x轴的交点，即可计算出y与x的函数解析式； (3)分两种情况，分别求出x的值即可． 【详解】（1）解：由图象可得，小明家与图书馆的距离为， 小明骑自行车的速度为：， 故答案为：200； （2）解：小明从图书馆回到家用的时间为：， ， 小明从图书馆返回家的过程中，设y与x的函数解析式为， ∵点，在该函数图象上， 解得， 即小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为：； （3）解：当小明从食堂去图书馆离家的距离为时， 此时他距离食堂，所用的时间 小明从图书馆返回家的过程中，当时， ， 解得， 综上，当小明离家的距离为时，x的值为1或41． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出函数解析式． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离与行驶时间的对应关系如图所示．    (1)A，B两城相距_________千米，_________车先出发（填甲或乙）； (2)分别求甲、乙两车在行驶过程中离开A城的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)在两车同时行驶过程中，当甲、乙两车相距时，求行驶时间x的值． 【答案】(1)300，甲 (2)， (3)2小时或3小时 【分析】（1）根据图象即可得出结论； （2）根据图象中的信息用待定系数法分别求出甲乙两车对应的函数解析式； （3）由题意可得，两车同时行驶过程中，即乙出发后到乙到达终点的过程中，分两种情况：当甲车在乙车前面20千米时，当乙车在甲车前面20千米时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：A，B两城相距300千米，甲车先出发， 故答案为：300，甲； （2）设甲对应的函数解析式为：， 由图象可得： 解得：， 即甲对应的函数解析式为：， 设乙对应的函数解析式为， 由图象可得：， 解得：， 即乙对应的函数解析式为： （3）由题意可得，两车同时行驶过程中，即乙出发后到乙到达终点的过程中， 当甲车在乙车前面20千米时，，解得：， 当乙车在甲车前面20千米时，，解得：， 即： 2小时或3小时时，甲、乙两车相距20千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，进行分类讨论，利用数形结合的思想解答． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地．甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y 与行驶时间x之间的函数图象．根据图象解答以下问题： (1)直接写出A，B两地之间的距离； (2)求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请求出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． 【答案】(1)30千米 (2)点M的坐标为，表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米 (3)或 【分析】（1）根据图象可得出A、B两地之间的距离； （2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义； （3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距5千米的时间，然后写出两个取值范围即可． 【详解】（1）解：∵时，甲距离B地30千米， ∴A、B两地的距离为30千米． （2）解：由图可知，甲的速度：千米/时， 乙的速度：千米/时， ，千米． ∴点M的坐标为，表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米． （3）解：设x小时时，甲、乙两人相距， ①若是相遇前，则，解得． ②若是相遇后，则，解得． ③若是到达B地前，则，解得． ∴当或时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． 【点睛】本题考查了函数图像，一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，一元一次不等式组的运用，解答时认真分析函数图象，弄清函数图象的意义是解题的关键． ( 题型 18 )一次函数与几何综合 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或或． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可. （2）过点P作于点H，设点，然后根据三角形的面积公式，进一步即可得出t的取值 （３）设，，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：∵直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴，，， 三角形的面积； （2）过点P作于点H，如图1， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， ∵， ∴， ∵点P在线段DF上，且不包括端点， ∴． （3）设，，且，， ①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作轴交y轴于点G，过点N作于点H， 则，，，，， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作轴交y轴于点G，交BC于点H， 则，，，， ， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或， 解得：或， ∴或； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想是解题关键. 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）直线．与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作于点A，且点C在第一象限内，在第一象限内有一点，使． (1)求点A、B、C三点的坐标 (2)求t的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，明确，则是解题的关键． （1）过点作轴于点，令和分别代入中即可求出与的坐标，利用，求出点的坐标； （2）根据题意，设直线为，代入的坐标即可求得，得到直线为，代入即可求得的值． 【详解】（1）解：令代入中， ∴， ∴， 令代入中， ∴， ∴， 过点C作轴于点D， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵在第一象限内有一点，使， ∴， 设直线为， 代入C的坐标得，，解得， ∴直线为， 点代入得，， ∴t的值为13． 3．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，函数的图象交x轴于点 A ，交y轴于点 B ，若点P 为线段上一动点，过P分别作轴于点 E ，轴于点 F ，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的性质，等腰三角形三线合一，垂线段最短，解题的关键是利用矩形的性质，用代替的长，以便求出最小值． 【详解】解：当时，，当y=0时，，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 连接，， ∵轴，轴，， ∴是矩形， ∴， 当时，值最小，即值最小， 这时， 故选B． 4．（23-24八年级下·广西·期末）已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是等腰直角三角形，点C在直线上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且； ①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标； ②是否存在点D，使得点E落在直线上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①证明，得到、两点关于轴对称，即可求解； ②当点在点的上方时，证明，即可求解；当点在点的下方时，同理可解． 【详解】（1）解∵，，点A和点B分别在x轴和y轴上 ∴点、的坐标分别为：、， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 则直线的表达式为； （2）解：①点在直线上，且横纵坐标相等，设点， 又点在直线上， ，即， 故点． 当点运动到原点时，由已知可知，， ， ， 轴平分， 又， 、两点关于轴对称． 点； ②存在这样的点，理由如下： 设点，过点作轴，垂足为点， 当点在点的上方时，过点作轴，垂足为点，作轴于点， 如图所示，由（1）可知点，， ，， ， ，， ． ，， ，即点， 点在直线上， ，即． 点； 当点在点的下方时，过点作轴，垂足为， 如图所示， 同理可得：点，． ，， ，即点， 点在直线上， ，即， 点， 综上所述，点的坐标为或． 5．（23-24八年级下·广西·期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论． 【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示． 当时，， ∴点D的坐标为； 当时，， ∴点A的坐标为， ∴点E的坐标为，， ∴， ∴． 同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形）， ∴阴影部分面积之和为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）数学史中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，箭尺最大读数为120厘米．学校项目学习小组仿制了一套浮箭漏，并开展学习探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，收集数据如下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）根据上表的数据，在平面直角坐标系中（图2）描出对应的点； （2）观察上述各点的分布规律，猜想y与x之间满足哪种函数关系？并求出y与x的函数解析式． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，当箭尺读数为90厘米时是几点钟？ 【答案】（1）见解析；（2）解析式为；（3）；（4）当天晚上的． 【分析】（1）将各点在坐标系中直接描出即可； （2）观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解； （3）当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数； （4）当时代入（2）中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加，观察（1）中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上， 设直线解析式为，代入点和点， 得到， 解得， ∴直线的表达式为：； （3）当供水时间达到12小时时，即时，代入中， 解得， ∴此时箭尺的读数为； （4）当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中， 解得(小时)， ∴经过14小时后箭尺读数为90厘米， ∵实验记录的开始时间是上午， ∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为，即对应当天晚上的． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数和四边形综合题，坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出直线的解析式为，得到，然后求出，然后画出图形根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵直线的解析式为分别与轴交于两点， ∴将代入得， ∴ ∴ ∴当时， ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴如图所示，四边形为平行四边形    ∵，， ∴设D点坐标为 ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，分别计算、…的纵坐标得到规律，用规律解决问题即可． 【详解】解：作轴，轴，轴，垂足分别为   的纵坐标是； 设则 ，将坐标代入 得：， 解得：， 的纵坐标是； 设 ，将坐标代入 得： ， 解得：， 的纵坐标是； ， 的纵坐标为． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 【答案】任务1：定；任务2：；任务3：18；任务4：见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，观察出水面的高度值随流水时间的变化规律是满足一次函数关系解答的关键． 任务1：直接由表格数据可得出答案； 任务2：利用待定系数法求解函数解析式即可； 任务3：直接根据所求的函数解析求解即可； 任务4：根据观察出水面的高度值随流水时间的变化规律进行设计即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据，每隔，水面高度都减小， ∴观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为定值， 故答案为：定； 任务2：根据任务1的结论，水面高度与流水时间满足一次函数关系， 故设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 将，；，代入，得， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 任务3：当时，， ∴当流水时间为2小时，水面高度h的值为； 任务4：根据任务1的变化规律，可以在甲容器外壁每隔标记一个刻度，这样水面高度每降低一个刻度，就代表时间经过了． 6．（23-24八年级下·广西·期末）已知点在直线上，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】由点在直线上，得到，由，得到，再由完全平方差公式变形得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， ，则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及一次函数性质、二次根式性质、完全平方差公式等知识，熟记相关知识点与性质是解决问题的关键． 7．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)A点坐标 (2)C点坐标； (3)9 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，关键是掌握以上知识点． （1）在中，令，即可求解；； （2）联立两个函数解析式，即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，过点作于，求得直线、直线与轴的交点坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A， 当时，， A点坐标； （2）解：联立和， 解得：，代入，得， C点坐标； ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ． （3）解：设直线交y轴于点E，过点C作于F，如图，    在中，令，则， ， ∵点，，． ，，， ． 8．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）把，分别代入直线，即可求出对应和的值，即得到、的坐标，解直线和直线的方程组即可求出坐标； （2）设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式； （3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质分情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线，当时，，当 时，， ，， 联立方程组，解得， ， 综上所述，，，； （2）解：设， 的面积为12， ，解得：， ， 设直线的函数表达式是，把，代入得， 解得， ，即直线的函数表达式是； （3）解：存在点，分以下三种情况： ①以为对角线时， ，， 点即为点向上平移6个单位， ； ②以为对角线时， ，， 点即为点向下平移6个单位， ； ③以为对角线时， ，，，四边形是平行四边形， 的中点坐标为的中点坐标， ； 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算． 9．（23-24八年级下·广西·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质； 首先求出点，进而得，，过点D作轴于点E，证，得，，由此求出，据此可得点D的坐标． 【详解】解：对于，当时，， 则点， 又∵点C的坐标为， ∴，， 过点D作轴于点E，如图所示：      ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：A． 10．（23-24八年级下·广西·期末）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    【答案】5 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 91 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $$