专题02 一次函数压轴题（20题，五星难度）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题02 一次函数压轴题 （20题，五星难度） 一、填空题 1．(24-25八下·上海风华初级中学·期末模拟)如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 2．(24-25八下·上海交大二附中·期末模拟)已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 二、解答题 3．(22-23八下·上海进才中学北校·期末)如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 4．如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 5．(23-24八下·上海徐汇中学·期末模拟)如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 6．(23-24八下·上海闵行区民办复旦万科实验学校·期末模拟)已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 7．(23-24八下·上海浦东新区建平中学·期末模拟)已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 9．(23-24八下·上海黄浦区部分学校·期末模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 10．如图，已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，点是轴上一动点． (1)求直线的解析式； (2)连结、．若，求点的坐标； (3)连结、交线段于点，且．求的面积． 11．(23-24八下·上海普陀区·期末模拟)如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 12．(23-24八下·上海虹口区·期末)已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 13．(23-24八下·上海闵行区·期末)已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 14．(22-23八下·上海浦东模范中学·期末)已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 15．(24-25八下·上海风华初级中学·期末模拟)已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 16．(24-25八下·上海兰生中学·期末模拟)一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．(24-25八下·上海交大二附中·期末模拟)如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 18．(24-25八下·上海黄浦区·期末模拟)探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 19．(24-25八下·上海交大附集团·期末模拟)如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 20．(24-25八下·上海莘松中学·期末模拟)【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题02 一次函数压轴题 （20题，五星难度） 一、填空题 1．(24-25八下·上海风华初级中学·期末模拟)如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标；然后，将点的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∴点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，则． ∵点均在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴该直线方程是． ∵点的横坐标相同，都是3， ∴当时，，即，则， ∴． ， ∴当时，， 即点的坐标为． ∴的坐标为． 故答案为：． 2．(24-25八下·上海交大二附中·期末模拟)已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出、两点的坐标，进而求出的面积，再根据和的面积相等分情况列出等式解答即可． 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 二、解答题 3．(22-23八下·上海进才中学北校·期末)如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)8 (3)， 【分析】（1）求出时的值，即可得解； （2）先求出点的坐标，进而求出，的长，勾股定理求出的长，等积法，求出的长，勾股定理求出的长，过点作于点，再用等积法求出的长，然后利用面积公式求出的面积即可． （3）同法（2），利用等积法求出函数解析式即可，根据点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），确定定义域即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与坐标轴交于A、B点， 当时，，解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 过点作于点， 则：，即：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴； ∵点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出点的坐标，利用等积法和勾股定理求线段的长． 4．如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点坐标为或或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线中，即可求出； （2）利用三角形的面积公式即可得出与之间函数关系式，并写出的取值范围； （3）利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ； （2）点，点， 的面积为 ， ， 直线与轴交于点， ， ； （3）点，点， 则 ，，， Ⅰ、当时，， 解得：或， 或； Ⅱ、当时，， 解得：， ； Ⅲ、当时，， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，能为等腰三角形，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．(23-24八下·上海徐汇中学·期末模拟)如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或或． 【分析】（1）先求出B点的坐标，将A和B的坐标代入即可求出的解析式； （2）先求出的长，再通过，可求出的长； （3）当，，分别为等腰三角形的底边的时候进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵点A坐标为，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设的解析式：， 将和分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式：． （2）解：如图，过点F作轴于点G，延长交x轴于P点， ∵直线沿直线翻折交y轴于点C， ∴，，， 在中，， ∴，（对顶角相等）， 同理（1）可得， ∴， ∴在中，，则，， ∴在中，，则，， 同理（1）可得，， ∴F点的横坐标为， ∵F在直线上， ∴把代入中，F点的纵坐标为， ∴， ∴． （3）解：①如图，当： 在（2）的情况下， ∴此时， ∴在（2）的点F，点A，点O组成的三角形为等腰三角形， ∴当时，， ②如图，当时： 过点F作于点H， 则， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴此时， ③如图，当时： 过点F作于点K， 可得，中，，， ∵，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴F点的横坐标为，， ∴此时， 点F在点A左侧，x轴下方时，点F的坐标为， 综上所述：满足条件的点F的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠、含角的直角三角形和等腰三角形，第三问的重难点在于分类讨论，属于中等题． 6．(23-24八下·上海闵行区民办复旦万科实验学校·期末模拟)已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点坐标的计算方法可求出点的坐标，根据直角三角形中勾股定理可求出，由此可求出的度数； （2）如图所示，过点作于点，设，在中，根据含角的直角三角形的特点可求出的，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的判定和性质，动点的运动规律，分类讨论：①，为等腰三角形；②如图所示，，是等腰三角形；③如图所示，，是等腰三角形；根据等腰三角形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵， ∴在，，即， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作于点，    ∵点在一次函数的图像上，设， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，，， ∴，， ∵，即是等腰三角形，且， ∴点是中点， ∴，则，且， ∴，则是等边三角形，即， ∵， ∴，整理得， ∴，， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由（1）可知，，则， ∵点分别是射线上一动点，如图所示，    ①，为等腰三角形， 取的中点，则，过点作，交与点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则，即是等腰三角形， ∵是中位线，且，，， ∴，则， ∴根据（2）中的证明过程可得，是等边三角形， ∴， ∴点与原点重合，即； ②如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∴， ∴； ③如图所示，，是等腰三角形，过点作轴于点，作轴于点，    ∴，， ∴，且， 在中，，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴四边形是矩形，则，且是等边三角形，即， 在中，， ∴，则， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握一次函数图像的性质，勾股定理，几何图形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 7．(23-24八下·上海浦东新区建平中学·期末模拟)已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 8．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 9．(23-24八下·上海黄浦区部分学校·期末模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 10．如图，已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，点是轴上一动点． (1)求直线的解析式； (2)连结、．若，求点的坐标； (3)连结、交线段于点，且．求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）过点作轴交于，证明，求出，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，由，可设直线的解析式为，将点代入求解即可； （3）作点关于直线的对称点，连接与轴交于，与线段交于，设，，由勾股定理得，①，②，联立①②可得，，即可求，再求三角形的面积即可． 【详解】（1）如图1，过点作轴交于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）设直线的解析式为， ， 解得， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， ， 当时，则有， 解得：， ，； （3）如图2，作点关于直线的对称点，连接与轴交于，与线段交于， 由对称性可知，， ，， ，， 设，， ①，②， 联立①②可得，（不合题意的值已舍去）， ， ， ． 11．(23-24八下·上海普陀区·期末模拟)如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 12．(23-24八下·上海虹口区·期末)已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 13．(23-24八下·上海闵行区·期末)已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 14．(22-23八下·上海浦东模范中学·期末)已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 15．(24-25八下·上海风华初级中学·期末模拟)已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)6， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出的坐标，三角形的面积公式求出的面积，等积法求出点到直线的距离即可； （2）过点作轴的平行线，作，证明，进行求解即可； （3）根据，过点作的平行线，等距平移，在的上方作的平行线，两条平行线与双曲线的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， 则：， ∴； ∴点到直线的距离为． （2）过点作轴的平行线，作， 则：，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； （3）①过点作的平行线，设解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； ②将直线向上平移个单位，得到直线， 则：当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 16．(24-25八下·上海兰生中学·期末模拟)一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先令，解方程得到，然后根据勾股定理求出的长，根据等边三角形的性质证明，得到点的坐标为；设直线的解析式为．解方程组即可得到结论； （2）求出，过点作轴于点H，求出，，根据，即可求解； （3）设出点，分，，三种情况，列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入，则； 令，解得：； ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点A作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点纵坐标为2， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线上， 则，解得：， ∴， 如图，过点作轴于点H， 则， ∴， ∴， ； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，即， 则， 解得：， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，等腰三角形的性质，要充分利用函数图象的性质是解决此题的关键． 17．(24-25八下·上海交大二附中·期末模拟)如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 【答案】(1)4 (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）由函数解析式得C的坐标为，由得，则B的坐标为，即可求得直线的解析式，再令求出y的值即可得m的值； （2）设点D的坐标为，由，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）分以下两种情况：①当E在D左侧时，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，即可得解；②当E在D右侧时，设与相交于点F，设，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并用含n的代数式表示出点F，再由，根据勾股定理得出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴、y轴分别相交于B、C两点， ∴C的坐标为， ∵， ∴， ∴B的坐标为， 代入解析式中：， 解得， ∴一次函数解析式为：， ∵一次函数的图像经过点， ∴； （2）解：∵， ∴点， 设点D的坐标为， ∴ ∵，， ∴， 整理得 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：分以下两种情况： ①当E在D左侧时， ∵， ∴， ∵点，点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵C的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点E的坐标为； ②当E在D右侧时，设与相交于点F，设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，代入C、E坐标得：， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点F同时在直线、上， ∴， 解得， ∴F的坐标为：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为：或． 【点睛】本体是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交或平行问题，勾股定理，平行线的判定等，解题的关键是熟练掌握相关知识及分类讨论思想在解题过程中的运用． 18．(24-25八下·上海黄浦区·期末模拟)探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得    解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图：    同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的上方，如图 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ⑤⑥联立解得：， ∴；    当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴．    综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 19．(24-25八下·上海交大附集团·期末模拟)如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 【答案】(1)点坐标为； (2)； (3)点坐标为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角的判定与性质，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，则，由旋转性质可知：，，证明，然后根据全等三角形的性质可得，，再由线段和差求解即可； （）先求出解析式为，解析式为，由点是内一点，列出不等式组，然后解不等式组即可； （）设交轴于点，如图，当时，过作轴于点，证明四边形是矩形，，则，同上理可得直线解析式为，当时，，即有，则，然后利用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，则， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴设解析式为，解析式为， ∵点是内一点， ∴，即， 解得：； （3）解：设交轴于点， 如图，当时，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同上理可得：直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 综上可知：点坐标为． 20．(24-25八下·上海莘松中学·期末模拟)【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 试卷第60页，共60页 试卷第59页，共60页 学科网（北京）股份有限公司 $$