专题01 一次函数（四大题型55题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题01 一次函数 （四大题型55题，难度三星） 目录 题型一：一次函数的概念 1 题型二：一次函数的图象 3 题型三：一次函数的性质 14 题型四：一次函数的应用 27 题型一：一次函数的概念 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（其中是常数）的函数是一次函数；把握两个要点：是整式，是关于自变量的一次式；根据一次函数的定义即可判断． 【详解】解：A、不是整式，故不是一次函数； B、是关于自变量的二次式，故不是一次函数； C、是整式，且是关于自变量的一次式，故是一次函数； D、不是整式，故不是一次函数； 故选：C． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 4．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列四个函数中，一次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故A错误； B、，是一次函数，故B正确； C、，自变量x的最高次数为，不是一次函数，故C错误； D、中，自变量次数不为1，不是一次函数，故D错误． 故选：B． 5．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果点在一次函数的图象上，那么 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根据一次函数解析式求一次函数值，根据一次函数解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，此题得解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴． 故答案为：5． 题型二：一次函数的图象 6．（23-24八年级下·上海·期末）下列函数中，其图象不经过第一象限的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以分析判断解决问题． 【详解】解：A、函数，，，则交在y轴的负半轴，则图象不经过第一象限，故本选项符合题意； B、函数，，，则交在y轴的正半轴，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； C、函数，，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； D、函数，，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 7．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，把代入得，，即一次函数与y轴的交点为，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 即一次函数与y轴的交点为， ∴一次函数在y轴上的截距是3， 故选：C． 8．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题．解答该题时，需熟练掌握截距的定义：与坐标轴交点的纵坐标或横坐标． 根据在y轴上的截距是“与y轴交点的纵坐标”解答． 【详解】解：当时，， ∴所以直线在轴上的截距是1． 故选：C． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一次函数的截距是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数与坐标轴交点的特点是解题的关键． 先令，求出的值；再令，求出的值即可得出结论． 【详解】解：∵令，则； 令，则， ∴一次函数的截距是1或． 故答案为：1或． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 根据平移时k的值不变，只有b发生变化即可得到结论． 【详解】解：原直线的； 向下平移3个单位长度，得到了新直线，那么新直线的， ∴新直线的解析式为． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与直线 平行， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．代入，求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 故直线的截距是6， 故答案为：6． 16．（23-24八年级下·上海长宁·期末）直线的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，关键是明白截距的概念，以及求法． 一次函数的截距就是当时，的取值． 【详解】解：∵， ∴当时，． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·上海宝山·期末）一次函数的图像在y轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数（）的图象与y轴相交于，b即为此函数在y轴上的截距． 先根据一次函数的解析式判断出b的值，再根据一次函数的性质进行解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴此函数图象在y轴上的截距是． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 【答案】3 【分析】题考查的是一次函数图象的平移，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵原直线解析式为即，新直线的解析式为， ∴将直线向下平移3个单位长度得到直线． 故答案为：3． 20．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键．根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．根据一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，可得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【分析】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）根据题意得到，解得即可； （2）设一次函数的表达式为，再由图象过点，可求出，从而可求表达式． 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 24．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知直线经过点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点，如图所示， ∴不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围， 即． 故答案为：． 25．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 题型三：一次函数的性质 26．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 27．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 28．（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要是考查了学生对一次函数以及反比例函数的图像与性质的理解和掌握情况，解答此题关键是利用比例系数的正负来判断图像的上升与下降即可．根据一次函数以及反比例函数的图像与性质求解即可． 【详解】解：A．,在每个象限内，随的增大而减小； B．,随的增大而减小； C．,随的增大而增大； D．是平行于x轴的一条直线，值不变． 故选：B． 29．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 30．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移不改变的值，可设平移之后的直线的解析式为：，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移之后的直线的解析式为：， 将代入直线解析式得：， ∴平移后的直线的表达式是， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·上海松江·期末）若是直线上的两点，则 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小，掌握该性质是解题的关键． 根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴直线上的点x的随着的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 32．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：一次函数的函数值随着的值增大而减小， ， ； 故答案为：． 33．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据直线与直线没有交点，且过点得，解方程组即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：∵直线与直线没有交点，且过点， ∴，解得：， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可求解． 【详解】解：设平移后的直线表达式是， ∵直线平移后经过点， ∴， 解得， ∴平移后的直线表达式是， 故答案为：． 35．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据“直线的截距等于1，”计算求出b值，然后代入点即可得解． 【详解】解：直线的截距等于1， ， 直线经过点， ，解得， 这条直线的表达式是， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图像平行，待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握一次函数图像平行时，值相等， 根据一次函数图像与直线平行，可设所求的函数解析式为，将点代入表达式，求出值，就求出了函数解析式． 【详解】解：一次函数的图像平行于直线， 该函数值为1， 设该直线解析式为，该函数图像经过点， ，解得：， 一次函数解析式为：． 故答案为：． 37．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 38．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．直接把代入到一次函数解析式中求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为：3． 39．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析；当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半 (4)两；见解析 (5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4 【分析】（1）根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （3）根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可； （4）根据图象得出答案即可； （5）根据函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：先长方形的周长为：， 只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：，定义域为； （2）解：新长方形的面积为： 只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是，它的定义域是； （3）解：列表： … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 描点，连线，如图所示： 观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半． （4）解：这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽； （5）解：存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 40．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键． 由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可． 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 41．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围； （3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式． 【详解】（1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性． 42．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 题型四：一次函数的应用 43．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【详解】解：设函数解析式为：， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， （千米）， 故答案为：100． 44．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 【答案】(1) (2)原计划每天制作把 【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，设原计划每天制作把，则实际每天制作把，根据“因此提前1天完成”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入函数解析式得：， 解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，， 设原计划每天制作把，则实际每天制作把， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴原计划每天制作把． 45．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 46．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． 47．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； （2）根据题意得出，然后设，结合图形得，即可求解； （3）设点，根据勾股定理确定，分两种情况分析：当时，当时，分别利用一次函数的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； （2）∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 48．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 49．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是16厘米 (3)刚好停止流水时是10:25 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【详解】（1）解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； （2）解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． （3）解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 50．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 51．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 52．（23-24八年级下·上海闵行·期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 【答案】(1)， (2)甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，利用待定系数法求直线的解析式，以及求函数值，读懂题目信息，理解函数图象是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；根据乙每送一件货物22元，可设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出； （2）根据甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，得出甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．再把代入，代入，计算即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：； ∴关于的函数解析式为； ∵乙每送一件货物22元， ∴设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：甲、乙两人一个月送货量分别是件和件． 把代入，得； 把代入，得； 答：甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元． 53．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键． （1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可； （2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解； （3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)活动一，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设平常价格为m元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分别计算出三种活动所需费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设平常价格为m元， 根据题意得 解得 故答案为：50． （2）根据题意得， 故答案为：． （3）活动一：800元 活动二：（元） 活动三：（元） ∵ ∴活动一所需费用最少． 55．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以写出与的函数关系式； （2）根据购买种树苗的数量不少于种树苗的数量的2倍，可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的购买方案和此时的费用． 【详解】（1）解：由题意可得， 即与的函数关系式为； （2）∵购买种树苗的数量不超过种树苗的数量的2倍， ， 解得，， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 答：购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元． 试卷第46页，共46页 试卷第45页，共46页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题01 一次函数 （四大题型55题，难度三星） 目录 题型一：一次函数的概念 1 题型二：一次函数的图象 3 题型三：一次函数的性质 14 题型四：一次函数的应用 27 题型一：一次函数的概念 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 4．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列四个函数中，一次函数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果点在一次函数的图象上，那么 ． 题型二：一次函数的图象 6．（23-24八年级下·上海·期末）下列函数中，其图象不经过第一象限的函数是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 9．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一次函数的截距是 ． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 12．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 13．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 14．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 15．（23-24八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是 ． 16．（23-24八年级下·上海长宁·期末）直线的截距是 ． 17．（23-24八年级下·上海宝山·期末）一次函数的图像在y轴上的截距是 ． 18．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 20．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 21．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 22．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 24．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知直线经过点，那么不等式的解集是 ． 25．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 题型三：一次函数的性质 26．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 30．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 31．（23-24八年级下·上海松江·期末）若是直线上的两点，则 （填“>”、“=”或“<”）． 32．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 33．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为 ． 34．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是 ． 35．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 36．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 ． 37．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 38．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 ． 39．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 40．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 41．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 42．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 题型四：一次函数的应用 43．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 44．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 45．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 46．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 47．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 48．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 49．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 50．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 51．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 52．（23-24八年级下·上海闵行·期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 53．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 55．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$