专题07 等腰三角形压轴题（期末预测20题，难）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 等腰三角形 压轴题 （期末预测20题，难） 1．在等腰中，，点在直线上，在直线上找一点，使得，连接、． (1)如图1，当点在边上，点在边上，若，，求出的度数； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，请写出与的数量关系，并加以证明； (3)若点在直线上，点在射线上，，请画出草图，并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或或，图见解析 【分析】（1）先求出，由已知可得，根据三角形外角的性质可得，然后根据，可求出，进而可求出的度数； （2）设，，则，由得，再由得，然后根据可得出结论； （3）分四种情况进行讨论：①当点在的延长线上时，设，，则，，由得，由，得，然后根据可求出的度数；②当点在的延长线上时，设，，则，，由，得，由，得，进而可得，，然后可求出的度数；③当点在上时，设，，则，根据三角形内角和定理求得和，进而根据即可求解；④当点在的延长线上，点M在上时，设，求出可得，然后在中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：与的数量关系是：． 证明如下： 设，，则， ， ， ， ， ， ， 即：． （3）解：的度数为或或． 理由如下： ①当点在的延长线上时， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②当点在的延长线上，点M在延长线上时， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：； ③当点在上时， 设，，则， ， ， ， ， ； ④当点在的延长线上，点M在上时， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或或或 【分析】（1）由角平分线的定义可得，由平行线的性质即可得到； 根据三角形内角和定理可求出，由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）分三种情况：当时；当时；当时（此时应分点线段上或点在射线上）．根据三角形内角和定理、三角形外角性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ； ， ， ， ， ，即； （2）平分，， ， ， ， ， 当时，如图，    则， ， ，即； 当时，如图，    则， ，即； 当，且点在线段上，如图，   ， ，； 当，且点在射线上，如图，   ，即， ， ，即． 综上，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识并善于利用分类讨论思想解决问题． 3．在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，22.5或45 【分析】（1）由同角的余角相等可得，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的判定即可得证； （2）①根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当时；当时；当，分别进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②∵， ， 当时，即， 解得， 即的值为22.5， 当时，， 解得， ∵， 不合题意，故舍去； 当，， 解得， 综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，的值为22.5或45． 【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键． 4．已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出的形状． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答． 5．已知：，点A在直线上，点B、C都在上（点B在点C的左侧），连接，，平分． (1)如图，求证：；    (2)如图，点K为上一点，连接，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；    (3)在（2）的条件下，在直线上取一点F，连接，使得．若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义即可证明． （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求． （3）利用题中等量关系建立方程，分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图：    如图1，设，则，在中，根据内角和定理得： ， ∵， ∴， 在△AFK中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，设， ∵， ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形，角平分线的定义，抓住角之间的关系是求解本题的关键． 6．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 7．已知是等边三角形，． (1)当点、分别在、上时， ①如图1，请说明； ②如图2，若平分，平分，请判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，在的外部，且点在的延长线上，反向延长交射线于点，若平分，平分，则与是否相等？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）解：①根据三角形的外角定理得出，即．推出，即可得出． ②根据角平分线的定义得出，．则．再根据得出，即可得出结论； （2）先推出．根据角平分线的定义得出，．再通过证明．得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， 即． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ②． 理由：∵平分，平分， ∴，． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 由（1）可知， ∴， ∴． （2）解：． 理由：∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线，平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题关键的掌握等边三角形三个角都是60度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的判定定理和性质． 8．如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转α角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，探究α、β之间的数量关系； (3)若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据图形翻折的性质，结合三角形的内角和定理即可解决问题． （2）根据点的位置，分类讨论即可解决问题． （3）根据点的位置，画出示意图，分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． 由翻折可知，， ∴． （2）解：当点在射线下方时， ∵，， ∴． 由折叠可知， ，， 又∵，， ∴． 即． 当点在射线上方时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 综上所述，α、β之间的数量关系为：或． （3）解：当点在射线下方时， 由（2）知，． 又∵， ∴当时， 则， 解得（舍去）． 当时， 则， 解得． 当时， 则， 解得． 当点在射线上方时， ∵， ∴． 故当是等腰三角形时， 只能， ∴， 解得． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，翻折的性质等知识，明确题意，分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键． 9．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②当为或或时，是等腰三角形． (2)当，或，或，时，是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论． （1）①利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形； ②分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解； （2）分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， 理由如下：∵绕点C按顺时针方向旋转得， ∴，， ∴是等边三角形； ②当为或或时，是等腰三角形． ∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． （2）∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时， ∴， ∴， ∴，； ②，时， ∴， ∴， ∴，； ③，时， ∴， ∴，， ∴，；， ∴当，或，或，时，是等腰直角三角形． 10．已知： 如图1，是的角平分线， E是延长线上一点，． (1)若， 则 °； (2)在图1中，我们发现，无论∠ADE 为何值时，总有 ， 规定：若两个角α、β满足： (k为正整数)，则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如： ∵ 是的“2级准余角”， 若中，， 则是“2级准直角三角形”  ． ①下列说法正确的有 ．（多选题） A．是的“2级准余角”； B．是的“3级准余角”； C． 若是“2级准直角三角形”， 则一定是等腰三角形； D． 若是“3级准直角三角形”，则一定不是直角三角形； ②如图2， 已知，， 若是的“3级准余角”，求的度数； ③如图3， B为直线上一点， 点A 在直线外，， 在直线上是否存在点P，使是“2级准直角三角形”? 如果存在，请直接写出的度数，如果不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) (2)①②③存在，的度数分别是 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题关键， （1）根据三角形外角的性质结合角平分线定义完成解答即可； （2）①根据k级准直角三角形定义结合三角形内角和定理判断即可； ②根据k级准直角三角形定义结合平行线的性质计算即可； ③根据①中结论，分两种情况分别根据k级准直角三角形定义计算即可； 【详解】（1）解：是的角平分线， ； （2）解：①A、 是的“2级准余角”，正确； B、 是的“3级准余角”，正确； C、若是“2级准直角三角形”，设，即 ， ， 则一定是等腰三角形，正确； D、若是“3级准直角三角形”， 设，即， ， 当时，，， 则也有可能是直角三角形，故原说法错误； 故说法正确的是：； ② ， 是的“3级准余角”， ， 解得：； ③存在，理由如下： 当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”， ， 由①知为等腰三角形， 当时，； 当时，则； 当时，则； 当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”， ， ， 由①知为等腰三角形， 时，； 综上所述， 的度数分别是． 11．已知为等腰三角形． (1)若，求的度数； (2)若，的平分线与边的高交于点F，与边交于点D，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或或 (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、三角形外角、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质； （1）结合题意，分等腰三角形顶角为、、三种情况，结合等腰三角形、角平分线和三角形外角的性质计算，即可得到答案； （2）分等腰三角形顶角为、、三种情况，再根据三角形外角、三角形内角和、等腰三角形三线合一的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）当为等腰三角形顶角时，得； 当为等腰三角形顶角时，得， ∴； 当为等腰三角形顶角时，得， ∴的度数为或或； （2）当为等腰三角形顶角时，，如下图： ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵为边的高， ∴， ∴， 当为等腰三角形顶角时， ∵ ∴ ∴ ∴， 如图： ∵为的平分线， ∴， ∵为边的高， ∴， ∴， 当为等腰三角形顶角时，得， ∴ ∴， 如图： ∵为的平分线， ∴， ∵为边的高， ∴， ∴， ∴的度数为或或． 12．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 13．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） ；；（2）；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 14．在等腰中，． (1)如图1，点在边上，连接，若，，求的度数． (2)如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：． (3)在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，设，则，再根据可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）先证出，再根据等腰三角形和直角三角形的性质可得，然后在取一点，使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）利用过点作，过点作交于点， 构造，得出，，则点是定点，又，利用两点之间距离最短，则当、、依次共线时，最小为，过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型得，得，利用，列式求出，通过证明得出，，再证明，得出，即可求出，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，， ∴， 如图，在取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点是定点， ∵，利用两点之间距离最短， ∴当、、依次共线时，最小为，此时如图， 过点作延长线于点， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 得：， ∵，， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间的距离，熟练根据题意正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 16．如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． (1)当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． (3)点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交直线于点，得到，求出，即可得到； （2）不变化，理由如下，过点作，得到，得出，求出，即可得到答案； （3）延长交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质求出，即可得到． 【详解】（1）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不变化，理由如下， 如图，过点作， ，， ， ， ，，， 平分， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 17．已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 18．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等． （1）根据，，，得出，证明，得出，证出，根据求解即可． （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，结合，得出，证明，即可得． （3）如图延长使，连接，证明，得出，结合，得出，根据，，得出，证明，得出，即可得，根据，得出，即可得，即． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中： ， ， ， ， ， ． （2）证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图延长使，连接， ∵点是中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 19．夕阳西下，初夏的海风额外清凉，小强一家要乘车回家，在公交车站，小强看见一个阿姨在兜售风车，便从中挑选一个风车，观察发现风车的基本结构可以看着是一副如图放置的三角板（图）．回到家后，小强爸爸在纸上，画出图形，给小强布置了如下题目． 已知，，，，起始时，的直角边与的斜边重合．点是与公共的中点（图）． (1)在起始位置时（图），连接，则 °； (2)保持不动，将绕着点顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，直线与直线的于点，直线分别与直线、的交于点、点． 试求的度数（用含的式子表示）； 与有一组边互相垂直时，试直接写出的度数； 试说明在旋转过程中，的和为一个常数，并求出这个常数． 【答案】(1) (2)   或或    【分析】（1）依题意得， ，在起始位置时，点与点重合，由此可得的度数； （2）先求出，，根据三角形外角性质得，可得的度数； 根据旋转角为得：当与有一组边互相垂直时，有以下三种情况：当时，则，根据可得出的度数；当时，可直接得出的度数；当时，则，根据可得出的度数；综上所述即可得出的度数； 由三角形内角和定理得，则，再由问题（2）得，由此可得出的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，，如图所示： 在起始位置时，点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：如图所示： ，，，，， ，， 是的一个外角， ， 为的一个外角， ， 即； 旋转角为， 当与有一组边互相垂直时，有以下三种情况： 当时，如图所示： ， 是的一个外角， ； 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， 是的一个外角， ， 综上所述：的度数为或或； 在旋转过程中，，理由如下： 在中，， ， 由(2)得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，旋转的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，旋转的性质是解决问题的关键． 20．已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或 【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等证明即可． (2)延长交于点Q，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可． (3)分点P在H的左侧和右侧，利用平行线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）如图，∵，， ∴ ∵， ∴． （2）如图2，延长交于点Q， ∵， ∴，， ∵和的角平分线交于点F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． （3）当点P在点H的左侧时，． 根据题意，得, ∵平分, ∴， ∵, ∴， ∴， , ∵， ∴， ∴； 当点P在点H的右侧时， 根据题意，得, ∴， ∵平分, ∴， ∵, ∴， ∴， , ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键． 试卷第52页，共53页 试卷第53页，共53页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 等腰三角形 压轴题 （期末预测20题，难） 1．在等腰中，，点在直线上，在直线上找一点，使得，连接、． (1)如图1，当点在边上，点在边上，若，，求出的度数； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，请写出与的数量关系，并加以证明； (3)若点在直线上，点在射线上，，请画出草图，并直接写出的度数． 2．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 3．在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 4．已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 5．已知：，点A在直线上，点B、C都在上（点B在点C的左侧），连接，，平分． (1)如图，求证：；    (2)如图，点K为上一点，连接，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；    (3)在（2）的条件下，在直线上取一点F，连接，使得．若，求的度数． 6．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 7．已知是等边三角形，． (1)当点、分别在、上时， ①如图1，请说明； ②如图2，若平分，平分，请判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图3，在的外部，且点在的延长线上，反向延长交射线于点，若平分，平分，则与是否相等？请说明理由． 8．如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转α角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，探究α、β之间的数量关系； (3)若是等腰三角形，请直接写出的度数． 9．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 10．已知： 如图1，是的角平分线， E是延长线上一点，． (1)若， 则 °； (2)在图1中，我们发现，无论∠ADE 为何值时，总有 ， 规定：若两个角α、β满足： (k为正整数)，则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如： ∵ 是的“2级准余角”， 若中，， 则是“2级准直角三角形”  ． ①下列说法正确的有 ．（多选题） A．是的“2级准余角”； B．是的“3级准余角”； C． 若是“2级准直角三角形”， 则一定是等腰三角形； D． 若是“3级准直角三角形”，则一定不是直角三角形； ②如图2， 已知，， 若是的“3级准余角”，求的度数； ③如图3， B为直线上一点， 点A 在直线外，， 在直线上是否存在点P，使是“2级准直角三角形”? 如果存在，请直接写出的度数，如果不存在，请简要说明理由． 11．已知为等腰三角形． (1)若，求的度数； (2)若，的平分线与边的高交于点F，与边交于点D，求的度数（用含的式子表示）． 12．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 13．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 14．在等腰中，． (1)如图1，点在边上，连接，若，，求的度数． (2)如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：． (3)在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值． 15．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 16．如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． (1)当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． (3)点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 17．已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 18．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 19．夕阳西下，初夏的海风额外清凉，小强一家要乘车回家，在公交车站，小强看见一个阿姨在兜售风车，便从中挑选一个风车，观察发现风车的基本结构可以看着是一副如图放置的三角板（图）．回到家后，小强爸爸在纸上，画出图形，给小强布置了如下题目． 已知，，，，起始时，的直角边与的斜边重合．点是与公共的中点（图）． (1)在起始位置时（图），连接，则 °； (2)保持不动，将绕着点顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，直线与直线的于点，直线分别与直线、的交于点、点． 试求的度数（用含的式子表示）； 与有一组边互相垂直时，试直接写出的度数； 试说明在旋转过程中，的和为一个常数，并求出这个常数． 20．已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$