专题06 等腰三角形（四大题型35题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 等腰三角形 （四大题型35题） 目录 题型一：等腰三角形的定义 1 题型二：等腰三角形的判定 4 题型三：等边三角形 17 题型四：线段垂直平分线（预测） 30 题型一：等腰三角形的定义 1．(23-24七下·上海长宁区·期末)已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据题意得出两腰之和为，两腰之差为0，结合三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：∵底边长为a， ∴两腰之和为， ∴，解得：， ∵等腰三角形两腰长相等， ∴两腰之差为0， ∴， ∴那么a的取值范围是． 故选：B． 2．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 3．(23-24七下·上海嘉定区·期末)已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 4．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)已知等腰三角形的周长为12，其中一条边为3，那么它的腰长为 ． 【答案】4.5 【分析】本题考查等腰三角形，构成三角形的条件，分3为腰长或底边长两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，则底边长为：， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， ∴3为底边长， ∴腰长为； 故答案为：4.5． 5．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)已知等腰三角形的两条边长为和，那么等腰三角形的周长等于 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当是腰时，则三角形的周长是． 故答案为：． 6．(23-24七下·上海宝山区·期末)如果等腰三角形的一边的长是，另一边的长是，那么这个等腰三角形的腰长是 cm． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，判断腰长为或时，三条边能否构成三角形即可． 【详解】解：当长为的边长为腰时： 三角形三边为3，3，7，，不能构成三角形； 当长为的边长为腰时： 三角形三边为3，7，7，能构成三角形， 因此这个等腰三角形的腰长是， 故答案为：7． 7．(23-24七下·上海普陀区·期末)如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 题型二：等腰三角形的判定 8．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，， 即和都是等腰三角形； 故①正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 与不一定相等，故②错误． 在中，和的平分线相交于点， ， ， ；故③正确； 的周长为：； 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义，三角形内角和定理．解题的关键是掌握相关定义与性质． 9．(23-24七下·上海闵行区·期末)如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    【答案】7 【分析】本题考查平行直线的性质和等腰三角形的性质，先根据角平分线和平行直线的性质证明，从而到，再根据的周长进行换算，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长等于11， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 10．(23-24七下·上海杨浦区·期末)已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又 ， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．(23-24七下·上海奉贤区七校联考·期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度． 【答案】108 【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，令∠B＝∠C＝x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 令∠B＝∠C＝x， 由折叠的性质可得∠D＝∠B＝x. ∵AE＝ED， ∴∠EAD＝∠D＝x. ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE=. ∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°， ∴∠AEB=∠EFD＝. ∵∠AEB＝∠AED， ∴∠AED＝， ∴∠FED＝x. 在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D＝180°， 即， 解得x＝36°， ∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝108°． 故答案为：108． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质，能用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED是解答本题的关键． 12．在中，，点在边上，点在边上，，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】40或20/20或40 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用， 先根据三角形外角性质，得出，则设，进而得到，，，最后根据为等腰三角形，进行分类讨论即可． 解决问题的关键是依据题意画出图形，并进行分类讨论． 【详解】解：如图所示，，， ， ， 可设，则，， 根据三角形内角和定理可得，， 分三种情况： ①当时，有， 解得； ②当时，有， 解得； ③当时，有，方程无解， 综上所述，的度数为或， 故答案为：20或40． 13．(22-23七下·上海宝山区·期末)如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      【答案】 【分析】设，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据题意得出，则，进而即可求解． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 14．(22-23七下·上海杨浦区·期末)如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知，，再根据等腰三角形的性质可知，即可解答． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 15．(22-23七下·上海松江区·期末)在中，平分，，，，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】先根据角的平分线的性质，平行线的性质，证明，再说明的周长为，即可得出结果． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故的周长为， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角的平分线的性质，平行线的性质，证明是本题的关键． 16．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【答案】；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键． 由角平分线的定义得，由等式的性质得，结合外角的性质可得，从而，然后利用三线合一即可求解． 【详解】解：结论： 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 故答案为：；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一． 17．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质得到得到，根据等腰三角形的三线合一证明． 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 18．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 19．(22-23七下·上海嘉定区迎园中学·期末)如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；等腰三角形的性质 【分析】根据角平分线的意义可得，两直线平行内错角相等可得，再根据等量代换得到，再根据等腰三角形的性质即可得到最终结果． 【详解】解：因为平分， 所以（角平分线的意义）． 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）． 因为是的中点， 所以（等腰三角形的性质）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，等角对等边，等腰三角形的性质． 【点睛】本题综合考查了平行线和角平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 20．(22-23七下·上海宝山区·期末)如图，中，，点D在边延长线上，点E在边上，且，延长线段交边于点F．      (1)说明是等腰三角形的理由； (2)如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据，得出，，根据，得出，证明，得出即可； （2）先证明，得出，分两种情况，或，分别求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵为的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在或， 当时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知，是等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，并注意分类讨论． 题型三：等边三角形 21．(23-24七下·上海外国语实验学校·期末)下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 22．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解题意，得出为等边三角形是解题关键． 根据题意，分两种情况：当点A与点重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的判定和性质，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 当点A与点重合时， ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A与点重合时，， ∴； 当点A与点F重合时，如图所示： ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点A与点F重合时，， 综上可得： 故选：C． 23．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 24．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 25．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 26．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 27．(23-24七下·上海奉贤区部分学校·期末)已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 28．(22-23七下·上海长宁区·期末)如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于 ． 【答案】18 【分析】由平行与平分的条件加上，可得是等边三角形，则可求得其周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，得到等边三角形是解题的关键． 29．(23-24七下·上海重点中学·期末)在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、． (1)与有怎样的关系？请说明你的理由． (2)把改成什么条件，还能得到中的结论？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)是边的中线或是的平分线 【分析】（1）由等边三角形的性质CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由CE＝BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E＋∠CDE，即有∠E＝∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE； （2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ； （2）解：∵是等边三角形， 等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合， 可把改为：是边的中线或是的平分线，（1）的结论仍然成立． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握． 30．(23-24七下·上海长宁区·期末)在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 题型四：线段垂直平分线（预测） 31．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质，垂直平分线的性质以及三角形周长，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 根据等腰三角形性质得到，根据垂直平分线的性质得到，利用三角形公式即可计算长． 【详解】∵周长为16， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 32．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 33．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【详解】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 34．如图，已知，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法．保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，三角形的面积等知识，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可，熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解决此题的关键． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点D，连接AD， ∴D为边的中点， ∴， 根据三角形等底同高面积相等的性质可得， ∴点D即为所求． 35．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 试卷第34页，共34页 试卷第33页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 等腰三角形 （四大题型35题） 目录 题型一：等腰三角形的定义 1 题型二：等腰三角形的判定 4 题型三：等边三角形 17 题型四：线段垂直平分线（预测） 30 题型一：等腰三角形的定义 1．(23-24七下·上海长宁区·期末)已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 3．(23-24七下·上海嘉定区·期末)已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 4．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)已知等腰三角形的周长为12，其中一条边为3，那么它的腰长为 ． 5．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)已知等腰三角形的两条边长为和，那么等腰三角形的周长等于 6．(23-24七下·上海宝山区·期末)如果等腰三角形的一边的长是，另一边的长是，那么这个等腰三角形的腰长是 cm． 7．(23-24七下·上海普陀区·期末)如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 题型二：等腰三角形的判定 8．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．(23-24七下·上海闵行区·期末)如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    10．(23-24七下·上海杨浦区·期末)已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 11．(23-24七下·上海奉贤区七校联考·期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度． 12．在中，，点在边上，点在边上，，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 13．(22-23七下·上海宝山区·期末)如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      14．(22-23七下·上海杨浦区·期末)如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么 ．    15．(22-23七下·上海松江区·期末)在中，平分，，，，则的周长为 ．    16．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 17．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 18．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 19．(22-23七下·上海嘉定区迎园中学·期末)如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 20．(22-23七下·上海宝山区·期末)如图，中，，点D在边延长线上，点E在边上，且，延长线段交边于点F．      (1)说明是等腰三角形的理由； (2)如果是等腰三角形，求的度数． 题型三：等边三角形 21．(23-24七下·上海外国语实验学校·期末)下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 22．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 23．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 24．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 25．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    26．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 27．(23-24七下·上海奉贤区部分学校·期末)已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 28．(22-23七下·上海长宁区·期末)如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于 ． 29．(23-24七下·上海重点中学·期末)在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、． (1)与有怎样的关系？请说明你的理由． (2)把改成什么条件，还能得到中的结论？ 30．(23-24七下·上海长宁区·期末)在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 题型四：线段垂直平分线（预测） 31．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 32．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 33．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 34．如图，已知，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法．保留作图痕迹） 35．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$