精品解析：广西桂林市第五中学等校2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题

广西2025年春季高一年级开学检测 数学卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 与的终边相同且范围在上的角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的值域为{1,9}，解析式为，这样的函数的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 4. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 36 5. f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A. f(x)>g(x)>h(x) B. g(x)>f(x)>h(x) C. g(x)>h(x)>f(x) D. f(x)>h(x)>g(x) 6. 抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（ ） A. 与独立 B. 与互斥 C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明・《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是，一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：，，）（ ） A. 68天 B. 70天 C. 71天 D. 73天 8. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（ ） A. 是函数的图象 B. 是函数的图象 C. 是函数的图象 D. 是函数的图象 10. 下面结论正确的有（ ） A. 若，且，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”的否定是， 11. 已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为20，圆心角的弧度数是3，则该扇形的面积为______． 13. 已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为______． 14. 已知，记的最大值为，最小值为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 a 第3组 20 第4组 第5组 2 b 合计 频率分布直方图 （1）写出a，b，x，y的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率． 16. （1）已知角终边上一点，求的值； （2）求的值； （3）已知，求式子的值． 17. 已知幂函数是奇函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的值域. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 19. 若函数满足：对于任意正数都有，且，则称为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若为“速增函数”，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足，满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025年春季高一年级开学检测 数学卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：； 故选：B 2. 与的终边相同且范围在上的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合给定的范围即可确定终边相同的角. 【详解】由，故在上终边相同的角为. 故选：A 3. 已知函数的值域为{1,9}，解析式为，这样的函数的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】函数的值域为，即，，解得，，故当定义域为，，，，，，，，中任何一个均满足题意，共9个，故选D. 4. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质得到的方差，进而得到标准差. 【详解】的方差为4，故的方差为， 故标准差为. 故选：C 5. f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A. f(x)>g(x)>h(x) B. g(x)>f(x)>h(x) C. g(x)>h(x)>f(x) D. f(x)>h(x)>g(x) 【答案】B 【解析】 【详解】由函数性质可知，在区间，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，所以，故选B． 6. 抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（ ） A. 与独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明・《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是，一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：，，）（ ） A. 68天 B. 70天 C. 71天 D. 73天 【答案】B 【解析】 【分析】，两边取常用对数，解方程，得到答案. 【详解】由题意得，两边取常用对数得， 即，. 故选：B 8. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，所以 ，故；同理， ，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（ ） A. 是函数的图象 B. 是函数的图象 C. 是函数的图象 D. 是函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】中，令，解得或，同理中，令，解得或，故，再图象中，画出，确定是函数的图象，是函数的图象. 【详解】中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 同理中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 因为，所以， 作出直线，如下： 显然，是函数的图象，是函数的图象. 故选；BC 10. 下面结论正确的有（ ） A. 若，且，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”的否定是， 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求范围判断A；应用特殊值法，取即可判断B；根据已知有，判断C；由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论判断D. 【详解】A：由，当且仅当时取等号，对； B：由，此时，故“”不是“”的充分条件，错； C：由题设，，则，， 所以是第一象限角或第三象限角，对； D：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，，对. 故选：ACD 11. 已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即， 构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以，. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为20，圆心角的弧度数是3，则该扇形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据条件先求解出扇形的半径，再由扇形的面积公式求得结果. 【详解】设扇形的半径为，所以扇形的弧长， 因为扇形的周长为，所以，所以， 所以扇形的面积为， 故答案为：. 13. 已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】原式转化为判断的交点问题，分和两种情况讨论结合指对函数对称性，导数的几何意义进而得解. 【详解】令得，即，令， 当时，即时，若两函数有且仅有一交点， 由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在这条直线上，且该点为两函数的公切点， 设切点为，则，则有，即，解得， 由得，，所以，解得，即，，即，； 当时，即时，由指数函数和对数函数特征可判断与要有公切点， 此切点必定落在这条直线上，设切点为，， 则有，即，解得，由得， 所以，解得，即，，即，； 由指数函数和对数函数特征可知： 当时，与有3个交点； 当时，与有1个交点； 故时，即时，时，与有一交点. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信息相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了分类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究！ 14. 已知，记的最大值为，最小值为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 a 第3组 20 第4组 第5组 2 b 合计 频率分布直方图 （1）写出a，b，x，y的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图计算可得结果； （2）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果. 【小问1详解】 样本容量，所以第组的频数为，， 所以， 所以第组的频率为，所以，， ，. 【小问2详解】 由（1）可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，共15种情况． 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， 有,共9种情况． 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是． 16. （1）已知角终边上一点，求的值； （2）求的值； （3）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义求出，再结合诱导公式化简求得结果； （2）利用对数的运算性质即可求值； （3）根据指数幂的运算求解出的值，然后由立方和公式求解出结果. 【详解】（1）由角终边上一点，得， 故； （2）原式 =； （3）因为，等式两边平方可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 17. 已知幂函数是奇函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）求，的值域. 【答案】（1）， ；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到幂函数单调递增，推出，解得，根据，得到或；分别将和代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果； （2）先由（1）化简为，令，将函数化为，根据二次函数单调性，即可求出结果. 【详解】（1）因为幂函数 ， 所以单调递增，所以，即， 解得，又，所以或， 当时，，满足，因此是奇函数； 当时， ，显然是偶函数； 所以，； （2）因为，所以， 令，因为，所以， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此；又当时，；当时，； 因此，所求函数值域为：. 【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，设甲获胜为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案. 【小问1详解】 根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则，， 设甲获胜为事件，则，而，，互斥， 故 【小问2详解】 根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件， 则，而，互斥， 所以 【小问3详解】 根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件， 分两种情况讨论： 若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 故 19. 若函数满足：对于任意正数都有，且，则称为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若为“速增函数”，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足，满足，求的值. 【答案】（1）不是“速增函数”，不是“速增函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“速增函数”的定义，通过举反例即可判断； （2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解； （3）构造函数，由已知代入运算可得，又在上单调递增，则得，进而可得的值. 【小问1详解】 对于函数，当时，不符合， 故不是“速增函数” 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. 【小问2详解】 为“速增函数”，有，即在恒成立， ，， ，时有， ，， ，即， 对一切正数m，n恒成立，，， 的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，又由题意得，即， 由得， 令，，则， ， ， 在上单调递增，， ， 【点睛】关键点点睛：（3）小问构造函数，由已知代入运算可得，再利用单调性，求得的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $