专题05 三角形压轴题（期末预测20题，难）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题05 三角形压轴题 （期末预测20题，难） 1．如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 2．（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 3．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究： 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)活动探究一：如图，将绕点旋转的过程中，探究和的数量关系为__________． (2)活动探究二：如图，将绕点转动至如图所示位置时，连接、，探究与面积的数量关系，并说明理由． (3)活动探究三：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，若，的面积为，求的长度． 4．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 5．一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 6．如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，若，求的度数； (2)连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_____（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 8．已知：是等边三角形，是等腰三角形，其中，过点作，分别交于，交于，连接． (1)若，求证： 是等边三角形； ． (2)若，即、分别是线段、上任意一点，还会成立吗？请说明理由． 9．已知，点M在CB的延长线上． (1)【问题情景】如图1，求证：． 证明：过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程； (2)【尝试运用】如图2，延长至D，过点D作，再作的平分线，交的邻补角的平分线于点E，请探究与的数关系并证明你的结论； (3)【拓广探索】如图3，P是平面内一点，且不在直线上，，，的度数为多少？请直接写出答案______（用含m、n的式子表示）． 10．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 11．如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．    (1)求证：； (2)当点在直线上运动时， ①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； ②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 12．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．    (1)若α，求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______． 13．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 14．如图，在中，．    (1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． (3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 15．某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程： 问题发现 如图，，分别是钝角的边，上的点，为内部的一点，分别以，为腰作等腰和，且，，交于点，，请根据下图的各角和点的位置情况．    （1）当时，的值为_______，的度数为______． 猜想论证 （2）当时，的值是否会发生变化?的度数与存在什么数量关系?请分别进行说明． 拓展思考 （3）当为钝角，且点落在直线上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出与满足的数量关系，不必说明理由；如果不成立，直接写出结论，不必证明． 16．【阅读材料】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，结合平面镜反射的性质提出探究问题：怎样摆放平面镜可使入射光线与反射光线平行?为解决该问题，兴趣小组设计了如下探究方案： (1)使用两块平面镜（如图2），若入射光线与反射光线平行，则两块平面镜，的夹角为多少度?请说明理由． (2)使用三块平面镜（如图3），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、与、满足什么关系?请说明理由． (3)使用四块平面镜（如图4），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、、与、满足什么关系?请直接写出结论． 17．已知：在中，，是的角平分线，平分交于点D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点B作，交线段的延长线于点E，垂足为点H，点M在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点F作于点G，连接，若，且四边形的面积为36，求的面积． 18．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 19．【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 20．如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题05 三角形压轴题 （期末预测20题，难） 1．如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】（1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明、，因此，，所以，，即可得的长； （3）在x轴的负半轴上取，可证明、，因此，所以，即可证明所得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴； （2）解：过D作于N点，如图， ∵，，， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：， 证明：同（2）可得， 在x轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，有一定难度，正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点M，使，连接，可判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点M，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （3）在延长线上取一点，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论． 【详解】解：（1）延长到点M，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），证明： 如图所示，延长到点M，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，在延长线上取一点，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 3．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究： 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)活动探究一：如图，将绕点旋转的过程中，探究和的数量关系为__________． (2)活动探究二：如图，将绕点转动至如图所示位置时，连接、，探究与面积的数量关系，并说明理由． (3)活动探究三：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，若，的面积为，求的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）证明即可求解； （）作于点，的延长线于点，可证明，即得，进而由即可求解； （）过点作的延长线于点，可证明，得，，即得，进而可证，得到，即得，再根据得，即可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于点，的延长线于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 5．一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 【答案】(1)5，35 (2)10或25或40 (3)105 【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值； （3）找出与，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论． 【详解】（1）解：如图（1），当时，， 平分，， ， 又为的一个外角， ， ； 如图（2），当时，， ， ， ， ． 故答案为：5，35． （2）解：①如图（3），当时， ， ， ； ②如图（4），当时， ，， ， ； ③如图（5），当时， ， ， 综上所述：当为10或25或40时，有两个内角相等． （3）解：是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是解题的关键． 6．如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，若，求的度数； (2)连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_____（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】（1）过点作，证明，再利用平行线的性质可得结论； （2）①当时，，结合平行线的性质可得，可得 ．进一步可得结论；②如图，当在左边时，当在右边时，如图，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【详解】（1）解：如图1，过点作． ． ∵， ∴， ． ． ∴， ， ． （2）解：①当时，， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． ， 平分． ②或；理由如下： 如图，当在左边时， ∵，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右边时，如图， 同理可得： ； 综上 或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，垂直的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键. 7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 8．已知：是等边三角形，是等腰三角形，其中，过点作，分别交于，交于，连接． (1)若，求证： 是等边三角形； ． (2)若，即、分别是线段、上任意一点，还会成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析；见解析 (2)还成立，理由见解析 【分析】（1）延长到，使，连接，通过证明，得到，得出是等边三角形，通过证明，得到，，求出，通过证明，得到，即可得到答案； （2）延长到，使，连接，通过证明，得到，，求出，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， 是等腰三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即是等边三角形，； （2）解：还成立，理由是： 延长到，使，连接， 是等边三角形， ， 是等腰三角形，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中 ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度． 9．已知，点M在CB的延长线上． (1)【问题情景】如图1，求证：． 证明：过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程； (2)【尝试运用】如图2，延长至D，过点D作，再作的平分线，交的邻补角的平分线于点E，请探究与的数关系并证明你的结论； (3)【拓广探索】如图3，P是平面内一点，且不在直线上，，，的度数为多少？请直接写出答案______（用含m、n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或或或 【分析】（1）如图：过A点作，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后通过等量代换即可解答； （2）如图：过点A作，过点E作，则；再根据角平分线的性质可得，设，则；然后根据平行线的性质、等量代换表示出与的关系即可解答； （3）根据点P的位置分六种情况，分别画出图形，再根据平行线的性质、角平分线的定义弄清楚的关系即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过A点作， ， ， ∴． （2）解：，证明如下： 过点A作，过点E作 ∵， ∴， ∵平分， 平分， ∴， 设，则， ∵， ∵， , ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图1，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． ②如图2，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． ③如图3，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． ④如图4，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴，即 ∴． ⑤如图5，当时，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴，即 ∴． ⑥如图6，当时，过点P作 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴，即 ∴． 综上，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等量代换等知识点，正确作出辅助线、构造平行线以及分类讨论思想是解答本题的关键．   10．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析②见解析 【分析】（1）证明，得到，再根据点F为中点，即可得证； （2）①证明，得到，，设交于点，交于点，根据，得到，即可得出结论；②延长至点，使，连接，证明，进而推出，得到，延长交于点，推出，进而得到点重合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴； （2）①，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，， 设交于点，交于点，    则：， ∵， ∴， ∴， 综上：； ②延长至点，使，连接，    ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 延长交于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点重合，即：F，C，M三点共线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 11．如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．    (1)求证：； (2)当点在直线上运动时， ①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； ②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①的周长存在最小值，此时的长为2；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，即可得证； （2）①，得到，进而得到的周长，根据垂线段最短，得到时，最短，利用三线合一进行求解即可；②分点在的延长线上和在的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，    ∴ ∵等边， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∴的周长， 由垂线段最短可知，当时，最短， 故的周长最小， 当时，在等边中，由三线合一可得：点为的中点， ∴此时的长为， ∴的周长存在最小值，此时的长为2； ②分以下情况讨论： 当点在的延长线上时， 由（1）知，， ∴只能， ∴ 由题意知， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在的延长线上时， ∵， ∴只能， ∴ 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    综上所述：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 12．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．    (1)若α，求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______． 【答案】(1)； (2) ； (3)4． 【分析】（1）过点作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）过点作，过点作，延长交于点，由角平分线的定义可设，，由三角形的外角性质可求 ，进而求解； （3）设直线与交于点，与交于点，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，，，可得 ，即可得关于的方程，计算可求解值． 【详解】（1）解：过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点作，过点作，延长交于点，    ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴ ，    ∵， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为 ； （3）解：如图，设直线与交于点，与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴ ， ，    ∵， ∴同（）得， ∴， ∴ ， 即 −， ∴ ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，外角性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 13．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此； （2）过点P作交于点E，F，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可； （3）连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，先证明，继而确定点F的轨迹为直线上的部分线段，当，即点F与点M重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图 ∵点P为内心， ∴， 设， 在中，， 即， ∴， 在中，， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：过点P作交于点E，F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点P为内心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 即：． （3）解：连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M， ∵P为内心， ∴平分， ∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点F的轨迹为直线上的部分线段， ∴当，即点F与点M重合时，取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵P为内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 14．如图，在中，．    (1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． (3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或或或． 【分析】（1）由等腰三角形的判定及性质得 ，设，由线段的和差得 ，由即可求解； （2）过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）设，可求，，，由三角形的内角和结合由旋转和折叠的性质得，，①当时，由外角的性质得，从而可求，由求出，由求出，即可求解；②当时，由外角的性质和三角形内角和得，再由求出，由 求出，即可求解；③当时，由外角的性质和三角形内角和得，由求出， 求出，即可求解；④当时，由三角形内角和定理得 ， ，由求出，由求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形， ， ， 设， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， 解得：， ， ， 故的长度为； （2）解：如图，过作交于，   ， ， E为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 由（1）得：， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ， ， ， ； （3）解：如图，直线交直线于，直线交直线于、交直线于，    设， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ，，， ， ， ； 为的角平分线， ， ， 由旋转和折叠得： ， ， ， ①如上图，当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当时， 直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图，当时， 直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ； ④如图，当时，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的值为或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据两直线的夹角不同进行分类讨论是解题的关键． 15．某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程： 问题发现 如图，，分别是钝角的边，上的点，为内部的一点，分别以，为腰作等腰和，且，，交于点，，请根据下图的各角和点的位置情况．    （1）当时，的值为_______，的度数为______． 猜想论证 （2）当时，的值是否会发生变化?的度数与存在什么数量关系?请分别进行说明． 拓展思考 （3）当为钝角，且点落在直线上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出与满足的数量关系，不必说明理由；如果不成立，直接写出结论，不必证明． 【答案】（1），；（2）的值不会发生变化，，说明见解析；（3）（2）中；； 【分析】（1）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形内角和定理即可得到答案； （2）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形内角和即可得到答案； （3）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形外角性质即可得到答案；根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理即可求出与满足的数量关系． 【详解】解：（1） ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ，则； 故答案为：，； （2）的值不会发生变化；； ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ，则； （3）当是钝角时，如图所示：    由（2）中；； ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ， 是的一个外角， ； 在等腰中，，则设；在等腰中，，则； ， ， ， ，，则在中，， ， ． 【点睛】本题考查利用三角形全等探讨角度关系，涉及三角形全等的判定与性质、手拉手模型、三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 16．【阅读材料】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，结合平面镜反射的性质提出探究问题：怎样摆放平面镜可使入射光线与反射光线平行?为解决该问题，兴趣小组设计了如下探究方案： (1)使用两块平面镜（如图2），若入射光线与反射光线平行，则两块平面镜，的夹角为多少度?请说明理由． (2)使用三块平面镜（如图3），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、与、满足什么关系?请说明理由． (3)使用四块平面镜（如图4），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、、与、满足什么关系?请直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）过点作，根据平行线的性质得出，，根据，，求出，即可求出； （2）经过三次反射标记各反射点，如图所示，作， 证明， 证明，，再进一步解答即可； （3）如图，分别作，，而，可得，证明，证明，,，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ，， 根据题意得：，， ， ∴， ， 即． （2）解：经过三次反射标记各反射点，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ， ， 同理：， ∴ ； 而，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，分别作，，而， ∴， ∴， 同理可得：， , 而， ∴ 而，， ∵， ∴， ∴． 17．已知：在中，，是的角平分线，平分交于点D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点B作，交线段的延长线于点E，垂足为点H，点M在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点F作于点G，连接，若，且四边形的面积为36，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的内角和，角平分线的定义结合三角形的外角，进行求解即可； （2）先证明，得到，进而推出，即可得证； （3）过点M分别作于R，于K，于T，连接．先证明，得到，，再证明，推出，进而得到，推出，再根据，得到即可． 【详解】（1）解：∵， ∴．     又∵分别平分和， ∴，． ∴ ； （2）证明：∵ ∴ 又∵，， ∴．     ∴．     又∵，， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 过点M分别作于R，于K，于T，连接． ∵ ∴ 又∵ ∴．     ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴． ∴ ∵ ∴设． ∴ ∴ 又∵ ∴．     ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 18．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）作的平分线，交于Q，证明，可得，，证明，可得，同理可得，，再证明，即可得到结论； （3）在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接，依次证明，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作的平分线，交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴； （3）证明：如图2， 在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 20．如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)直线与的位置关系是垂直．理由见解析 (2)当时，使得． (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识点，是掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即即可解答； （2）先根据画出图形，根据平行线的性质、旋转的性质解答即可； （3）分和两种情况，分别根据三角形内角和定理、旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是垂直．理由如下： 如图所示，与交于点O，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是垂直． （2）解：如图，延长交于点G，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知：时，使得． （3）解：由题意可知，， ①如图：当， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即当旋转时，中有两个角相等．    ②当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即当旋转时，中有两个角相等；    综上所述：中有两个内角相等，此时旋转角的度数为或． 试卷第62页，共62页 试卷第61页，共62页 学科网（北京）股份有限公司 $$