专题04 全等三角形的性质及其判定（五大题型45题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 全等三角形的性质及其判定 （五大题型45题） 目录 题型一：全等三角形及其性质 1 题型二：全等的性质和SSS综合 4 题型三：全等的性质和SAS综合 10 题型四：全等的性质和ASA（AAS）综合 29 题型五：添加条件使三角形全等 50 题型一：全等三角形及其性质 1．(23-24七下·上海徐汇区·期末)下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 2．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么 ． 3．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 4．(23-24七下·上海长宁区·期末)一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 5．(22-23七下·上海外国语大学附属外国语学校·期末)如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    题型二：全等的性质和SSS综合 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7.如图，中，，，若，，则 ．    8．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 9．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 10．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，是上一点，，，请填写理由，说明． 解：因为（已知），所以（    ）． 又因为（已知），所以（等式性质）． 即． 所以（    ）． 在与中，， 所以（    ）． 所以______（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 题型三：全等的性质和SAS综合 11．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 12．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么 度． 13．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 14．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 15．(23-24七下·上海廊下中学·期末)如图，已知在中，点分别在上，，且．试说明的理由； 16．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如图，在中，，交于F，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 17．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 18．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，点E，F在上，，，． (1)试说明的理由； (2)连接，试说明的理由． 19．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知等腰，D是边上一点（不与点A、B重合），E是线段延长线上一点，． (1)说明的理由； (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），与是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点H，使得，连接，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 20．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 21．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，，试说明的理由． 解：，（已知） ____________________．（____________________） （已知）， ，（等式性质） ．（____________________） 在与中 ， （____________________） ，（____________________） 又， ．（____________________） 22．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 23．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． (1)试说明与全等的理由； (2)试说明和相等理由． 24．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 题型四：全等的性质和ASA（AAS）综合 25．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 26．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．    27．(23-24七下·上海交大附中附属集团·期末)如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为，连接，如果的面积是，的长是，那么 ．（用含字母和的代数式表示） 28．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 29．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 30．(23-24七下·上海宝山区·期末)如图，中，平分，于点，交于点，如果，，那么 ．    31．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知在中，，点D、E在边上，且试说明的理由．    解：因为（已知） 所以（  ） 同理：________=________ 在与中 所以（    ） 所以（    ） 32．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，． (1)说明与全等的理由． (2)如果是等边三角形，那么是等边三角形吗？试说明理由． 解 ：记，． 因为（      ）， 即． 又因为（已知）， 所以 （等式性质）． （完成以下说理过程） 33．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 34．(23-24七下·上海闵行区·期末)如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 35．(23-24七下·上海廊下中学·期末)如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 36．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 37．(23-24七下·上海普陀区·期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 38．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在中，已知，，点D在边上，连接，过点B作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F．试说明的理由． 解：因为（ ）． 同理：． 因为， 所以． 又因为， 所以． 因为（ ）， 所以∠ ∠ ． （完成以上说理过程） 39．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，在四边形中，，，连接、，且平分，延长交的延长线于点．试说明． 解：因为（已知）, 所以（___________________）, 在和中 所以， 所以_______=_________（___________）， ∵平分（已知）， （角平分线的定义）， ∴_______=________（等量代换）． （请完成以下说理过程） 题型五：添加条件使三角形全等 40．(23-24七下·上海杨浦区·期末)只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A． B． C． D． 41．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 42．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，，，垂足分别为点D、点E，与交于点F，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填写一个）． 43．(22-23七下·上海徐汇区·期末)如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    44．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；    45．(22-23七下·上海民办浦东交中初级中学·期末)如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 全等三角形的性质及其判定 （五大题型45题） 目录 题型一：全等三角形及其性质 1 题型二：全等的性质和SSS综合 4 题型三：全等的性质和SAS综合 10 题型四：全等的性质和ASA（AAS）综合 29 题型五：添加条件使三角形全等 50 题型一：全等三角形及其性质 1．(23-24七下·上海徐汇区·期末)下列判断正确的是（    ） A．等腰三角形任意两角相等 B．等腰三角形底边上中线垂直底边 C．任意两个等腰三角形全等 D．等腰三角形三边上的中线都相等 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定即可得解． 【详解】解：A、等腰三角形任意两底角相等，故错误，不合题意； B、等腰三角形底边上中线垂直底边，故正确，符合题意； C、任意两个等腰三角形不一定全等，故错误，不合题意； D、等腰三角形三边上的中线不一定相等，若为等边三角形，则满足，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，还涉及了全等三角形的判定，属于基础知识． 2．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质．先由得出，，由等边对等角可知，进而三角形内角和等于即可求出． 【详解】解： ， ，， ， ， 故答案为：． 3．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意可得：， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， ②当时， ， 解得：， 此时厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：2或． 4．(23-24七下·上海长宁区·期末)一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 5．(22-23七下·上海外国语大学附属外国语学校·期末)如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    【答案】或 【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， ， ， ①当时，，， ，解得：， ②当时，，， ，解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 题型二：全等的性质和SSS综合 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据尺规作图可知，可证，得到，即可得到结论． 【详解】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得， ， ， ， 故选：A ． 7.如图，中，，，若，，则 ．    【答案】20 【分析】由题意可直接利用“”证明，即得出，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定和性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键． 8．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点，先证明，再证明即可． 【详解】解：如图，将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点， 在和中， ， ， ，， ， 在与中， ， ． 9．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先根据条件证明 ，得到为等腰三角形，再通过证明，得到，得到为的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等边对等角）． 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在和中， ， 所以（）． 得（全等三角形对应角相等）． 所以（等腰三角形的三线合一）． 10．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，是上一点，，，请填写理由，说明． 解：因为（已知），所以（    ）． 又因为（已知），所以（等式性质）． 即． 所以（    ）． 在与中，， 所以（    ）． 所以______（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 【答案】等边对等角、等角对等边、、、全等三角形对应边相等、等腰三角形三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，先由等腰三角形的判定与性质得到，再由三角形全等判定与性质得到 ，最后由等腰三角形三线合一求解即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：解：因为（已知），所以（等边对等角）． 又因为（已知），所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在与中，， 所以（）． 所以 （全等三角形对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 故答案为：等边对等角、等角对等边、、、全等三角形对应边相等、等腰三角形三线合一． 题型三：全等的性质和SAS综合 11．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，．熟知这些判定定理是解题的关键． 全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B．符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选C． 12．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，根据题意证得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 13．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 14．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 先根据平行线的性质得出，再推出，即可根据得出． 【详解】解： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即． 在与中， 所以． 15．(23-24七下·上海廊下中学·期末)如图，已知在中，点分别在上，，且．试说明的理由； 【答案】详见解析 【分析】本考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和证明是等边三角形，得到，从而证明即可得到． 【详解】证明：， 又， ， 是等边三角形， ， 在和中 ， ， ． 16．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如图，在中，，交于F，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由，得到为等腰三角形，，，利用三角形外角性质得，再利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）延长，取点使得，连接，证明，得到，，可证为等腰三角形，得到，设，则，再根据边长关系列方程即可求解． 【详解】（1）解： ， 为等腰三角形，， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：延长，取点使得，连接，如图， ， ， ，， 又， ， 为等腰三角形，， 设，则， ， ，， ，解得， ． 故． 17．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 18．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，点E，F在上，，，． (1)试说明的理由； (2)连接，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定． （1）证明即可得出结论； （2）由可得，，再根据等腰三角形性质和判定证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ （2）如图： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 19．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知等腰，D是边上一点（不与点A、B重合），E是线段延长线上一点，． (1)说明的理由； (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），与是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点H，使得，连接，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，结合，利用三角形内角和定理证明即可； （2）根据（1）得，结合，，证明，得到，，继而得到即．继而得到，故，得证． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2）解：根据题意，作图如下， 根据（1）得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴即． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，对等角相等，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 20．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或 时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得 ． 综上所述，或 时，与全等． 21．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，，试说明的理由． 解：，（已知） ____________________．（____________________） （已知）， ，（等式性质） ．（____________________） 在与中 ， （____________________） ，（____________________） 又， ．（____________________） 【答案】；等边对等角；等角对等边; ；全等三角形的对应角相等；三线合一 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边对顶角．根据题意补充证明过程，即可求解． 【详解】解：，（已知） ．（等边对等角） （已知）， ，（等式性质） ．（等角对等边） 在与中 ， （） ，（全等三角形的对应角相等） 又， （三线合一）． 故答案为：；等边对等角；等角对等边; ；全等三角形的对应角相等；三线合一． 22．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等． （1）根据题意画出图形，通过证明，得出，即可得出； （2）通过证明，得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴．    23．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边向外作等边三角形，连接、． (1)试说明与全等的理由； (2)试说明和相等理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据即可证明． （2）根据全等三角形的性质可得，又由，，即可得． 【详解】（1）∵和都是等边三角形 ，，， ． （2）， ， 又，， ， ∵和都是等边三角形， ， ． 24．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 题型四：全等的性质和ASA（AAS）综合 25．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 26．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．    【答案】2或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，，    ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 27．(23-24七下·上海交大附中附属集团·期末)如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为，连接，如果的面积是，的长是，那么 ．（用含字母和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形全等综合，涉及等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 利用手拉手模型，即可得证；由及三角形全等的判定得到；由的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，；由且，即可得到． 【详解】解：与都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， 在和中， ， 是等边三角形， ， 且 故答案为：． 28．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明 ，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解∶ ， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 29．(23-24七下·上海长宁区·期末)如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 【答案】90 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及等腰三角形三线合一． 延长相交于点G，通过证明得出，进而得出，最后根据等腰三角形三线合一，即可解答． 【详解】解：延长相交于点G， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 30．(23-24七下·上海宝山区·期末)如图，中，平分，于点，交于点，如果，，那么 ．    【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 首先得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 31．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知在中，，点D、E在边上，且试说明的理由．    解：因为（已知） 所以（  ） 同理：________=________ 在与中 所以（    ） 所以（    ） 【答案】等边对等角；；；；全等三角形的对应边相等．（答案不唯一） 【分析】根据等边对等角的性质可得，，然后利用“角角边”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：因为（已知） 所以（等边对等角） 同理： 在与中 所以 所以（全等三角形的对应边相等） 故答案为：等边对等角；；；；全等三角形的对应边相等．（答案不唯一）． 32．(23-24七下·上海徐汇区位育中学·期末)如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，． (1)说明与全等的理由． (2)如果是等边三角形，那么是等边三角形吗？试说明理由． 解 ：记，． 因为（      ）， 即． 又因为（已知）， 所以 （等式性质）． （完成以下说理过程） 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边对等角得出，结合三角形的外角性质以及，得出，又因为，则证明； （2）先根据三角形的外角性质得出，通过角的等量代换得出，同理证明，结合等边三角形的性质则，根据等边三角形的判定，则是等边三角形． 【详解】（1）解：如图： ， 理由如下： ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ （2）解 ：记，． ∵（三角形的外角性质）， ∴． ∵（已知）， ∴（等式性质）． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形． 33．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（）． 得（全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（等腰三角形三线合一性质） 34．(23-24七下·上海闵行区·期末)如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．(23-24七下·上海廊下中学·期末)如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明； （2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可． 【详解】（1）解：，， 又，， ， ， ， ， 即 ， 在与中， ， ； （2）如图，过点E作，垂足为H ， ， ， ， ， ， ， ， ，，   ， ， ， 36．(23-24七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    37．(23-24七下·上海普陀区·期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得 ， ，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 38．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在中，已知，，点D在边上，连接，过点B作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F．试说明的理由． 解：因为（ ）． 同理：． 因为， 所以． 又因为， 所以． 因为（ ）， 所以∠ ∠ ． （完成以上说理过程） 【答案】见详解 【分析】先根据，可得，再由可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确的找到三个条件是解题的关键． 【详解】解：∵（ 三角形内角和定理 ）． 同理：． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵（ 对顶角相等 ）， ∴． ， ， 又， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 39．(23-24七下·上海浦东新区（五四制）·期末)如图，在四边形中，，，连接、，且平分，延长交的延长线于点．试说明． 解：因为（已知）, 所以（___________________）, 在和中 所以， 所以_______=_________（___________）， ∵平分（已知）， （角平分线的定义）， ∴_______=________（等量代换）． （请完成以下说理过程） 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先根据平行线的性质证明，再证明，得出，再证明，根据等腰三角形的判定得出，最后根据等腰三角形的性质，即可证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中 ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， ∵平分（已知）， （角平分线的意义）， ∴（等量代换）， ∴， ∵， ∴． 题型五：添加条件使三角形全等 40．(23-24七下·上海杨浦区·期末)只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理之一判断即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】A. ，添加，满足，能确定，不符合题意； B. ，添加，满足，能确定，不符合题意； C. ，添加，满足，不能确定，符合题意；     D. ，添加，满足，能确定，不符合题意； 故选C． 41．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【分析】解：①，，， 和不一定全等， 故①不符合题意； ②，，， ， 故②符合题意； ③， ， ， ，， ， 故③符合题意； ④，，， ， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 42．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，在中，，，垂足分别为点D、点E，与交于点F，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴ ∴添加条件 ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 43．(22-23七下·上海徐汇区·期末)如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】可以添加条件为，利用等角对等边得到，再利用全等三角形的判定条件，即可证明，本题为开放题，答案不唯一． 【详解】解：可添加条件， 理由如下：， ， 在与中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定条件，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 44．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 45．(22-23七下·上海民办浦东交中初级中学·期末)如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 试卷第50页，共51页 试卷第51页，共51页 学科网（北京）股份有限公司 $$