专题03 三角形的概念及内角和（五大题型50题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 三角形的概念及内角和 （五大题型50题） 目录 题型一：三角形的有关概念 1 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 7 题型三：与叫平行线有关的三角形内角和问题 13 题型四：三角形内角和定理的应用 22 题型五：三角形外角的定义及其性质 31 题型一：三角形的有关概念 1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 3．（23-24七年级下·上海·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 4．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 6．（24-25七年级下·上海浦东新·期末模拟）如果三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的一个顶点．那么这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末模拟）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 8．（24-25七年级下·上海·期末模拟）已知的三边长分别是、、，化简： ． 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 10．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 11．（23-24七年级下·上海虹口·期末模拟）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 13．（23-24七年级下·上海虹口·期末模拟）如图，已知，，，，那么 ． 14．（23-24七年级下·上海浦东新·期末模拟）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 15．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 16．（23-24七年级下·上海崇明·期末模拟）如图，已知，，那么吗？说明理由． 题型三：与叫平行线有关的三角形内角和问题 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末模拟）在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，则的度数为 度． 19．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 °．    20．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么 ． 21．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么 ． 22．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是 ． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 24．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 25．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 题型四：三角形内角和定理的应用 26．（23-24七年级下·上海静安·期末模拟）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 27．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，则 ． 28．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，，那么按角分类，是 三角形． 29．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 30．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在 中，如果，那么这个三角形是 （形状）的三角形． 31．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 32．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 33．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图所示，，点A，E，D在直线上，点B，C在直线上，满足平分，，平分，若，那么 ．    34．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在中，，点D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在边上的点E处，如果是等腰三角形，那么 ． 35．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 题型五：三角形外角的定义及其性质 36．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 37．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 38．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则 ． 40．（24-25七年级下·上海·期末模拟）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为 ． 41．（24-25七年级下·上海·期末模拟）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，，那么 ． 42．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，，，，则 ． 43．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 44．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，是的角平分线，如果，，那么 ． 45．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，是的平分线，，试说明． 解：因为是的平分线（已知）， 所以_________=_________（         ）， 因为（已知）， 所以_________=_________（          ）， 因为（                     ）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（               ）． 46．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 47．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 48．（24-25七年级下·上海金山·期末模拟）如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 49．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 50．（24-25七年级下·上海黄浦·期末模拟）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 试卷第12页，共12页 试卷第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 三角形的概念及内角和 （五大题型50题） 目录 题型一：三角形的有关概念 1 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 7 题型三：与叫平行线有关的三角形内角和问题 13 题型四：三角形内角和定理的应用 22 题型五：三角形外角的定义及其性质 31 题型一：三角形的有关概念 1．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积和三角形的高，过点作于点，根据三角形的面积公式得出，再根据可得结论．掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系，三角形任意两边的和大于第三边，熟记三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【详解】解：A．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，所以该三条线段能组成三角形，故该选项不符合题意； D．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵A选项， ∴可以构成三角形， ∵B选项， ∴不可以构成三角形， ∵C选项， ∴可以构成三角形， ∵D选项， ∴可以构成三角形， 故选：B． 4．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边为， 根据题意可得：， ， 可以作为此三角形第三边长的是：4， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海浦东新·期末模拟）如果三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的一个顶点．那么这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的定义，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键； 根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形． 钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部； 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：三角形的三条高所在的直线的交点在三角形某一顶点， 那么这个三角形是直角三角形． 故选：B 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末模拟）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解． 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期末模拟）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，故最小值为6，解答即可． 本题考查了矩形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】设第三边长为x，根据题意，得即， 故最小值为6， 故答案为：6． 10．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解： ， ， 故答案为：． 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 11．（23-24七年级下·上海虹口·期末模拟）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 12．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论：①当绕点顺时针旋转时，②当绕点逆时针旋转时；根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 13．（23-24七年级下·上海虹口·期末模拟）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】/28度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·上海浦东新·期末模拟）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 15．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 16．（23-24七年级下·上海崇明·期末模拟）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 题型三：与叫平行线有关的三角形内角和问题 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末模拟）在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，则的度数为 度． 【答案】85或135/135或85 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义，分两种情况讨论，第一种情况：为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：第一种情况：为锐角，如图示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，为钝角，如图示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：85或135． 19．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 °．    【答案】 【分析】根据题意可知，，，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理，求出，然后结合垂直的定义，推出，即可求出的度数． 【详解】解：比大， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形内角和等于是解题关键． 20．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么 ． 【答案】15 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 故答案为：15． 21．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可得，，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别是的内角，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再求出的度数即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由对顶角相等得到，然后根据即可得到； （2）根据题意分点G在点F右边和点G在点F左边两种情况讨论，首先得到，然后分别根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，当点G在点F左边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点G在点F右边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 24．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理； 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出，根据三角形外角的性质并结合已知求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，（垂线的定义） ，（三角形外角的性质）， ， 是的角平分线， ， （三角形内角和定理）， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；． 25．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 题型四：三角形内角和定理的应用 26．（23-24七年级下·上海静安·期末模拟）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 27．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】此题主要考查三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．由求得，可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，，那么按角分类，是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键．根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵中，如果，，， ∴， ∴三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 29．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 30．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在 中，如果，那么这个三角形是 （形状）的三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是熟记三角形内角和为．根据三角形的内角和是计算． 【详解】 解：． 又， 则， 即． 即该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 31．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟记任意三角形的内角和是是解题关键． 根据三角形内角和为定理进行求解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 32．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角得，根据折叠的性质得，继而得到，，，然后分三种情况：①若；②若；③若，分别建立关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵把折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ①若，则， 即， 解得：，不符合题意； ②若，则， 即， 解得：， ∴； ③若，则， 即， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 33．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图所示，，点A，E，D在直线上，点B，C在直线上，满足平分，，平分，若，那么 ．    【答案】/度 【分析】本题考查平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，再利用角平分线性质得到，利用平行线性质得到即可解题． 【详解】解： ，， ， 平分， ， ， 即， ， 平分， ， ． 故答案为：． 34．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在中，，点D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在边上的点E处，如果是等腰三角形，那么 ． 【答案】或/110或80 【分析】如图，是等腰三角形，分情况讨论：当时，当时，如图，当时，再结合三角形的内角和定理与轴对称的性质可得答案. 【详解】解：如图，是等腰三角形，    当时， ∴， ∴， 由对折可得：， 当时，如图，    ∴， ∴， 由对折可得：， 当时， ∴， ∴， 由对折可得：， 此时，不符合题意，舍去； 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用， 能够进行分类讨论是解本题的关键. 35．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②或 (2)理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”． （3）解：当P在线段上时，如图： ，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴（舍去）． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 题型五：三角形外角的定义及其性质 36．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【详解】∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角为钝角，这个外角为锐角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 37．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质，数形结合表示出角度即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，如图所示：    由三角形外角性质可知；； 分别平分， ；； ， ， ， 连接并延长，如图所示：    ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及角平分线定义及外角性质，数形结合，准确表示各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． 38．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质等．延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：延长交直线n于点D，如图所示． ∵， ∴． 在中，． 故选：C． 39．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 延长、相交得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长、相交得到， ， ∴， ， ， 故答案为：． 40．（24-25七年级下·上海·期末模拟）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，分两种情况讨论，由平行线的性质可求解． 【详解】解：由已知可得，，， 分以下两种情况讨论： 当与相交于点E时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相交于点F时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 41．（24-25七年级下·上海·期末模拟）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，掌握三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键． 由平行得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 43．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 44．（24-25七年级下·上海·期末模拟）如图，是的角平分线，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，先由三角形外角的定义及性质求出，再由角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 45．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，是的平分线，，试说明． 解：因为是的平分线（已知）， 所以_________=_________（         ）， 因为（已知）， 所以_________=_________（          ）， 因为（                     ）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（               ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，平行线判定，利用角平分线性质得到 ，利用等腰三角形性质得到 ，利用三角形外角性质得到，进而得到，即可说明． 【详解】解：因为是的平分线（已知）， 所以 （角平分线性质）， 因为（已知）， 所以 （等边对等角）， 因为（三角形外角定理）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 46．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 47．（24-25七年级下·上海杨浦·期末模拟）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 48．（24-25七年级下·上海金山·期末模拟）如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此先求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵， ∴． 49．（24-25七年级下·上海闵行·期末模拟）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 50．（24-25七年级下·上海黄浦·期末模拟）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 试卷第44页，共45页 试卷第45页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 $$