精品解析：河南省周口市沈丘县第一高级中学2024-2025学年高一上学期第一次诊断性考试数学试题

沈丘一高高一年级上期第一次诊断性考试 数学试题 一、单选题（共8题、每题5分） 1. 已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0或1 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，，则与集合M，N的关系是（　　） A. 但 B. 但 C. 且 D. 且 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数,若对于,恒成立,则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共三题、每题6分） 9. 以下判断正确的有（ ） A. 函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B. 与是不同函数 C. 若，则 D. 函数的最小值为2 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”. C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 若､为实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件 11. 已知，，且，则（ ） A. 的取值范围 B. 的取值范围是 C. D. 的最小值是 三、填空题（共三题、每题5分） 12. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为______． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是________. 14. 当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为____． 四、解答题 15. 已知集合，. （1）化简集合A，B； （2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围. 16. （1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围． （2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1． 17. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 18. 求值域： （1）； （2）； （3）. 19. 展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本） （2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈丘一高高一年级上期第一次诊断性考试 数学试题 一、单选题（共8题、每题5分） 1. 已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出集合，然后直接求出交集即可． 【详解】解：集合，，则， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及交集的运算，属于基础题. 3. 已知集合，，若，，则与集合M，N的关系是（　　） A. 但 B. 但 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】设，整理可得，由此可知但． 【详解】解：设， 则， 但， 故选B． 【点睛】本题考查元素和集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定可求出结果. 【详解】由全称命题的否定可得命题“，”的否定是，. 故选：D. 5. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】考虑两个条件对应的集合的包含关系后可得两者的条件关系. 【详解】：等价于或. 故：. 又：等价于. 因为为的真子集， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应的集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应的集合与对应的集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应的集合互不包含. 6. 设函数,若对于,恒成立,则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意采用分离参数化为，求在上的最小值即可. 【详解】函数,若对于,恒成立， 在恒成立， ，即 ， 设， 若恒成立，只需， 易知在单调递减， 所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数在某个区间上恒成立求参数的取值范围，解决此类问题可分离参数法，转化为求函数的最值，此题属于中档题. 7. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，利用换元法即可求解. 【详解】由， 令，则， 则，即， 故选：B 8. 对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】易得，再根据基本不等式可得，则要使不等式恒成立，只要即可，从而可得出答案. 【详解】解：当时，， 而， 故，与题意矛盾， 所以不成立； 当时，则， 若，则，， 则不等式不恒成立， 当时，则， 则，当且仅当时，取等号， 要使不等式恒成立， 则， 解得或（舍去）， 所以， 所以的最小值是1． 故选：A. 二、多选题（共三题、每题6分） 9. 以下判断正确的有（ ） A. 函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B. 与是不同函数 C. 若，则 D. 函数的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】A.利用函数的定义判断；B.利用函数的定义判断；C.直接求解判断；D.利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A：函数的图象与直线的交点可以为或，故A项正确； 对于B：，，两函数定义域和对应关系都相等是同一函数，故B项错误； 对于C：，，故C项正确． 对于D：因为，所以， 当且仅当时取到等号，又因为无解，故等号取不到，故D项错误； 故选：AC 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则”. C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 若､为实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断A、B、D；根据全称命题的否定变换形式可判断B； 【详解】选项A：根据反比例函数的性质可知：由， 能推出，但是由，不能推出， 例如当时，符合，但是不符合，所以本选项是正确的； 选项B：根据命题的否定的定义可知： 命题“若，则”的否定是“存在，则”. 所以本选项是正确的； 选项C：根据不等式的性质可知： 由且能推出， 反之，推不出且， 例如，显然成立，但且不成立， “且”是“”的充分不必要条件，所以本选项是不正确的； 选项D：若成立，取，而， 即命题“若，则”是假命题， 若成立，取，而， 即命题“若，则”是假命题， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：ABD 11. 已知，，且，则（ ） A. 的取值范围 B. 的取值范围是 C. D. 的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可，同时注意的前提，对B构造得到最小值，同时注意，对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可，对D依然把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可求出最值. 【详解】因为,且,所以， 当且仅当时取等号，注意到，则解得, 即,所以的取值范围为，故A错误; 又,且仅当时取等号, 解得，又，故B错误， 由,得, 所以，， 所以， 当且仅当，即或，无法取到，故，故C正确； ， ,当且仅当,即时取等号, 此时取得最小值，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题对基本不等式需要达到灵活运用，利用基本不等式构建一元二次不等式求范围，分离常数构造满足基本不等式的情形求解最值，同时一定要注意取等条件是否能达到. 三、填空题（共三题、每题5分） 12. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解即可. 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，解得， 综上， 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到函数满足，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则函数满足，即，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 14. 当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式先求最小值为4，然后解不等式即可。 【详解】，，且满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得最小值为4， 由恒成立，所以，化简得，解得. 则的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，. （1）化简集合A，B； （2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果； （2）由交集定义求得，根据可分为和两种情况构造出不等式求得结果. 【详解】（1）， （2）由（1）知： 当时，，解得：；当时，，解得： 综上所述： 【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误. 16. （1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围． （2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1． 【答案】(1) m； (2)0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}； a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}； a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}． 【解析】 【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m的取值范围； （2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集． 【详解】（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0， 由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0， 化简得﹣4m﹣3＜0，解得m， 所以实数m的取值范围是m； （2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且1， 解得x＜1或x， 所以不等式的解集为{x|x＜1或x}； a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0， 解得x＜1， 所以不等式的解集为{x|x＜1}； a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且1， 解得x＜1， 所以不等式的解集为{x|x＜1}． 综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}； a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}； a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题． 17. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. 【小问2详解】 因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. 【小问3详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 18. 求值域： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求出的范围，则可得的范围，进而可得函数值域； （2）令，将原函数转化为的值域，利用二次函数的性质即可求解； （3）变形得，先求出的范围，则可得的范围，进而可得函数值域． 【详解】解：（1）， 则， ， 即函数值域为； （2）令， 则， ， 根据二次函数的性质，其在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以函数的值域为； （3）， ， ， ， ， 所以函数的值域为； 【点睛】本题考查函数的值域的求解，含有根号的可尝试换元法，分式函数可尝试分离常数，考查学生的转化能力和计算能力，是中档题． 19. 展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本） （2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元． 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可， （2）分和求出的最大值，比较即可得答案. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 综上，， 【小问2详解】 当时，， 函数的对称轴是，则函数在上递增， 所以当时，函数取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 因为 所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $