4.4 一次函数的应用 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用 第四章 一次函数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 待定系数法确定一次函数的表达式 建立一次函数的模型解实际应用题 一次函数与一元一次方程的关系 两个一次函数图象的应用 知1－讲 感悟新知 知识点 确定一次函数表达式 1 类型 函数表达式 待定系数 所需的条件 正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标 一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标 1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件 或与k，b 有关的具体条件等 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1.待定系数法：先设出表达式中的未知数，再根据条件求出未知数，从而写出这个表达式的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称待定系数 . 2.运用待定系数法求函数表达式需要注意两点：一是所取的点必须在函数图象上，二是必须正确代入、准确计算 . 感悟新知 知1－讲 2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。 感悟新知 知1－讲 根据函数的图象设函数表达式的技巧 (1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)； (2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。 知1－练 如图4-4-1，直线l 是一次函数的图象，看图回答问题. 求：(1)求该一次函数的表达式； (2)当y＝5 时，x的值． 例1 考向：利用待定系数法求函数表达式 知1－练 解题秘方：由图象求一次函数的表达式时，选取的点必须是函数图象上的点，一般是图象和坐标轴的交点，以便求解。 知1－练 解：设该一次函数的表达式为y =kx+b。 因为直线l 过点(0， － 1)，所以b= － 1。 又因为直线l 过点(2，0)，所以2 k+b= 0。 将b=－ 1 代入2 k+b= 0，解得k = ， 所以该一次函数的表达式为y =x－1。 求：(1)求该一次函数的表达式； 知1－练 解：当y＝5时，x－1＝5，解得x＝12． (2)当y＝5 时，x的值． 知1－练 感悟新知 1-1.如图，求直线l 所对应的函数表达式。 变式训练 知2－讲 知识点 建立一次函数的模型解实际应用题 2 利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解； 知2－讲 (2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知2－讲 特别提醒 1.实际问题中的函数图象一般是射线或线段，需结合题意理解它们的图象是射线或线段的原因. 2.应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义. 知2－练 [母题 教材P96例2]已知汽车油箱中的 余油量Q(L)是行驶时间t(h)的一次函数. 某天该汽车外出时，油箱中的余油量 与行驶时间的变化关系如图4-4-2. (1)根据图象，求油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式，并求出t的取值范围； (2)从开始算起，如果汽车每时行驶40 km，当油箱中余油20 L 时，该汽车行驶了多少千米？ 例2 知2－练 解题秘方：通过函数图象获取信息，首先要看懂横轴、纵轴所代表的意义，其次要学会将图象上特殊点（如图象与x 轴、y轴的交点）的坐标转换成数学语言，建立数学模型，最后作答。 知2－练 (1)根据图象，求油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式，并求出t的取值范围； 解：设油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之 间的函数表达式为Q＝kt＋b(k ≠ 0). 由图4 -4-2 可知点(0，60)，(4，40)在 函数图象上，所以b＝60. 知2－练 将(4，40)代入Q＝kt＋60，得40＝4k＋60， 解得k＝－5. 故油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式为Q＝－5t＋60. 令Q＝0，得－5t＋60＝0，解得t＝12. 所以t的取值范围为0 ≤ t ≤ 12. 知2－练 (2)从开始算起，如果汽车每时行驶40 km，当油箱中余油20 L 时，该汽车行驶了多少千米？ 解：当Q＝20时，有 20=－5t+60， 解得 t＝8，40×8＝320(km). 因此，该汽车行驶了320 km. 知2－练 感悟新知 2-1.某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是 0.4 万元 . 图中的直线 l1 表示该品牌电脑一天的销售收入 y1(万元)与销售量 x(台)的关系，已知商场每天的房租、水电、工资等固定支出为 2 万元 . 变式训练 知2－练 感悟新知 (1)直线 l1 对应的函数表达式是 __________，每台电脑的销售价是 ____万元； (2)写出该商场一天的总成 本 y2(万元)与销售量 x(台)之间的函数表达式：______________ ； y1＝0.8x 0.8 y2＝0.4x＋2 知2－练 感悟新知 (3)通过计算说明：每天销售量是多少台时，该商场可以不赚不亏 . 解：当y1＝y2时，0.8x＝0.4x＋2，解得x＝5. 故每天销售量是5台时，该商场可以不赚不亏． 感悟新知 知3－讲 知识点 一次函数与一元一次方程的关系 3 一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解 感悟新知 知3－讲 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 知3－讲 感悟新知 特别提醒 求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 . 知3－练 感悟新知 如图 4-4-3，根据一次函数 y=kx+b 的图象，求： (1)关于 x 的方程 kx+b=0 的解； (2)当 x=1 时，代数式 kx+b 的值； (3)关于 x 的方程 kx+b=－3 的解 . 例3 考向：利用一次函数与一元一次方程的关系解与方程相关的问题 知3－练 感悟新知 解题秘方：根据数形结合思想、一元一次方程及一次函数的图象即可解决 . 解：当 x=2 时， y=0， 所以方程 k x+b=0 的解为 x=2. (1)关于 x 的方程 kx+b=0 的解； 知3－练 感悟新知 解：当 x=1 时， y=－1， 所以代数式 k x+b 的值为 －1. (2)当 x=1 时，代数式 kx+b 的值； (3)关于 x 的方程 kx+b=－3 的解 . 当 x=－1 时， y=－3， 所以方程 k x+b=－3 的解为 x=－1. 知3－练 感悟新知 3-1.一次函数 y=kx+b(k ≠ 0， k，b 是常数)的图象如图所示，则关于 x 的方程 kx+b=4 的解是(     ) A.x=3 B.x=4 C.x=0 D.x=b A 变式训练 知4－讲 知识点 两个一次函数图象的应用 4 1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义. 知4－讲 观察图象获取相关信息用表格表示如下： 看图象 获取信息 两个一次函数，当自变量的值为x0 时，函数值都为y0或当函数值为y0时，自变量的值都为x0 当自变量的值x>x0时，函数值y1>y2，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值x<x0时，函数值y1<y2，即对同一自变量x的值，图象在下面的函数值小 知4－讲 特别提醒 在观察图象时，要注意“三看”： 一看变量，即要看清变量表达的是什么意义(包括单位)； 二看两轴，即要看清x轴所要表达的意义(包括单位)，y轴所要表达的意义(包括单位)； 三看交点，即要看清图象与两轴的交点或两图象的交点所要表达的意义. 感悟新知 知4－讲 2. 两个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的交点表示两条 直线的公共点，即点同时在两条直线上 图象交点的含义 几何意义 代数意义 实际意义 两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立 不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同 知4－练 如图4-4-4，l1 表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2 表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系，根据图象回答下列问题。 例4 考向：利用两个一次函数的图象解决实际问题 知4－练 (1)每当x=1 时，销售收入= ________万元，销售成本= ________万元，盈利(收入- 成本)= ________万元。 (2)一天销售 _______ 件时，销售收入等于销售成本。 (3)求l2 对应的函数表达式。 (4)你能写出利润W 与销售量间的函数表达式吗？ (5)一天销售多少件时，该公司盈利3 万元？ 知4－练 思路导引： 知4－练 (1)每当x=1 时，销售收入= ________万元，销售成本= ________万元，盈利(收入- 成本)= ________万元。 (2)一天销售 _______ 件时，销售收入等于销售成本。 1 1.5 －0.5 2 求销售收入等于销售成本时x的值，即求两个一次函数图象的交点的横坐标 知4－练 (3)求l2 对应的函数表达式。 解：设l2 对应的函数表达式为y =kx+b (k ≠ 0)。 因为函数图象经过点(0，1)，(2，2)， 所以b=1，2 k+b=2，解得 = 。 所以l2 对应的函数表达式是y = x+1。 知4－练 (4)你能写出利润W 与销售量间的函数表达式吗？ 解：因为l1 经过原点(0，0)和(2，2)， 所以易得l1 对应的函数表达式为y =x。 所以利润W 与销售量间的函数表达式为 W=x－( x+1)= x － 1。 知4－练 (5)一天销售多少件时，该公司盈利3 万元？ 解：对于W= x － 1，当W=3 时， x － 1 =3， 解得x =8。 因此，一天销售8 件时，该公司盈利3 万元。 知4－练 感悟新知 4-1. [ 期中·青岛市南区] 甲无人机从地面起飞，乙无人机 从 距离地面 20 m高的楼顶起飞，10 s 内甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位： m)与无 人 机上升的时间 x(单位： s)之间的关系如图所示 . 变式训练 知4－练 感悟新知 (1) 分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y 与无人机上升的时间 x 之间的函数表达式； 解：设甲无人机y与x之间的函数表达式为y＝k1x. 将(5，40)代入，得5k1＝40，解得k1＝8. 所以甲无人机y与x之间的函数表达式为y＝8x. 设乙无人机y与x之间的函数表达式为y＝k2x＋b. 由函数图象可知，点(0，20)和点(5，40)在函数图象上，所以b＝20. 将(5，40)代入y＝k2x＋20，得5k2＋20＝40，解得k2＝4. 所以乙无人机y与x之间的函数表达式为y＝4x＋20. 感悟新知 (2)当两架无人机的高度差为10 m 时 , 求它们的上升时间 . 一次函数的应用 一次函数 的应用 两个变量的对应值 图象上点的坐标 求函数表达式 与一元一次方程 之间的关系 两个图象的交点 设直线l所对应的函数表达式为y＝kx＋b。 由题图知直线l过(2，0)，(0，2)两点，则有 0＝2k＋b，2＝b。 将b＝2代入2k＋b＝0，解得k＝－1。 所以直线l所对应的函数表达式是y＝－x＋2。 分情况讨论：当甲无人机高于乙无人机10 m时，8x－(4x＋20)＝10，解得x＝； 当乙无人机高于甲无人机10 m时，4x＋20－8x＝10，解得x＝。 综上可知，当两架无人机的高度差为10 m时，它们的上升时间为 s或 s。 $$