4.3 一次函数的图象 (课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.3 一次函数的图象 第四章 一次函数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 函数的图象 正比例函数的图象和性质 一次函数的图象和性质 知识点 函数的图象 知1－讲 1 1. 函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 对应 函数 描点 自变量 函数值 横坐标 纵坐标 组成的 图形 函数的 图象 感悟新知 2. 画函数图象的一般步骤 知1－讲 步骤 内容 注意 列表 列表给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 感悟新知 续表 知1－讲 步骤 内容 注意 连线 按照各点横坐标由小到大的顺序把这些点依次连接起来 要用平滑的线将所描的点顺次连接起来 知1－讲 特别提醒 函数图象与函数关系式之间的对应关系： 1. 函数图象上任意点的坐标(x，y)均满足该图象对应的函数关系式，即函数图象是由满足该函数关系式的所有点组成的图形； 2. 满足函数关系式的任意一对x，y 的值所对应的点(x，y)一定在该函数图象上。 知1－练 (1) 画出函数y＝2x－1的图象； (2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上. 例1 考向：利用函数的图象与点的坐标间的关系解相关问题 知1－练 (1)画出函数y＝2x－1的图象； 解题秘方：画函数图象的一般步骤：列表→ 描点→ 连线； 解：列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … －5 －3 －1 1 3 … 取点时，一般先取横坐标为 0 的点，再取该横坐标左右对称的其他点 . 知1－练 描点、连线就得到函数y＝2x－1的图象(如图4-3-1). 知1－练 (2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上. 解题秘方：判断一个点是否在函数图象上的方法是将点的坐标代入函数表达式，看是否满足该函数表达式 . 解：当x＝5时，y＝2×5－1＝9，所以点(5，9)在此函数的图象上. 当x＝7时，y＝2×7－1＝13 ≠ 15, 所以点(7，15)不在此函数的图象上. 知1－练 感悟新知 1-1. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y=－x+2的图象 . 解：画出的图象如下． 变式训练 (2)若点P(a，2)在函数y=-x+2 的图象上，则a=_______。 0 感悟新知 知2－讲 知识点 正比例函数的图象和性质 2 1.正比例函数的图象及其画法 图象 正比例函数 y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线 y=kx 特别解读： 有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制， 并不一定是一条直线， 可能是一条射线、 一条线段或一些点 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1.用两点法画函数图象时，因为图象过原点，所以(0，0)这点必选，而(1，k) 这点因函数关系式而定，选取时，最好使所选点的横、纵坐标为整数，这样比较容易描点 . 2.如果某函数图象是直线且经过原点( 坐标轴除外 )，那么它对应的函数是正比例函数 . 感悟新知 知2－讲 续表 画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx 的图象 . 一般选(0，0)和(1， k)两点比较简便 特别解读：正比例函数 y=kx中， |k| 越大，直线与 x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡； |k| 越小，直线与 x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓 感悟新知 知2－讲 2.正比例函数的性质 类别 k>0 k<0 图象 知2－讲 特别提醒 对于正比例函数y=kx，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知其中一者，则可知其他两者 . 知2－讲 续表 k>0 k<0 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 知2－讲 特别解读： y=kx中的 |k| 越大，直线与x 轴的夹角(锐角)就越大， y 的值随 x 值的增加而增加(或减小)得越快 . 知2－练 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝5x和y＝x的图象. 解题秘方：按“两点法”找(0，0)和(1，k)作图. 解：列表： x 0 1 y＝5x 0 5 y＝x 0 1 描点、连线，如图4-3-2. 例2 考向1：画正比例函数的图象 知2－练 2-1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y=－x，y=－0.6x的图象. 解：如图所示. 变式训练 知2－练 考向2：利用正比例函数的图象和性质比较函数值的大小 已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B (－2，y2)，则y1______y2(填“>”“<”或“=”). ＞ 例3 解题秘方：正比例函数中比较函数值大小的方法： (1)求值比较法；(2)用“形”上的点的位置比较“数”的大小；(3)利用函数的增减性比较大小 . 知2－练 解：方法一 把点A、B的坐标分别代入y＝3x， 当x＝－1 时，y1＝3×(－1)＝－3； 当x＝－2 时，y2＝3×(－2)＝－6. 因为－3>－6，所以y1>y2. 方法二 画出正比例函数y＝3x的图象， 在函数图象上标出点A、B，如图4-3-3所示. 因为y1在y2的上方，所以y1>y2. 知2－练 方法三 根据正比例函数的增减性比较函数值的大小. 因为k＝3>0，所以y随x的增大而增大， 因为－1>－2，所以y1>y2. 知2－练 3-1. 如图已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y=－2x 的图象上，若x1<x2，则y1 与y2 的大小关系是( ) A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. y1 ≥ y A 感悟新知 知3－讲 知识点 一次函数的图象和性质 3 1.一次函数的图象及其画法 图象 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx 的图象相互平行，我们称它为直线 y=kx+b 感悟新知 知3－讲 续表 画法 (1) 两点法： 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b 与两坐标轴的交点，即(0， b)与(－ ，0 )画直线 (2) 平移法： 一次函数 y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx沿 y 轴向上( b>0)或向下( b<0)平移｜ b｜ 个单位得到；反之，正比例函数y=kx的图象也可以通过沿y 轴平移一次函数y=kx+b 的图象得到 感悟新知 知3－讲 2.一次函数的图象和性质 一次函数y＝kx＋b的图象和性质与k，b 的符号间的关系： k，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的 位置 知3－讲 续表 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1.由 k，b 的符号可以确定直线y=kx+b(k，b为常数，k ≠ 0)所经过的象限；反之，由直y=kx+b(k，b 是常数，k ≠ 0)所经过的象限也可以确定 k，b 的符号 . 2. k 决 定 一 次 函 数y=kx+b(k，b 为常数，k ≠ 0)的增减性，b 决定函数图象与 y 轴交点的位置 . 感悟新知 知3－讲 3. 一次函数图象的平移规律 原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记 y＝kx＋b 向上平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b＋n 上加下减 向下平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b－n 向左平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x+n)+b 左加右减 向右平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x－n)+b 知3－讲 感悟新知 特别解读 一次函数的增减性，只取决于k 的符号，与b无关。 感悟新知 知3－讲 拓展：同一平面直角坐标系中两直线(l1：y =k1x+b1 (k1 ≠ 0)，l2:y =k2x+b2(k2 ≠ 0) )的位置关系： k1，k2，b1，b2 的关系 l1 与l2 的关系 k1 ≠ k2 l1 与l2 相交 k1 ≠ k2，b1=b2 l1 与l2 相交于y 轴上的同一点(0，b1)或(0，b2) k1=k2，b1 ≠ b2 l1 与l2 平行 k1=k2，b1=b2 l1 与l2 重合 知3－讲 感悟新知 拓宽视野 若k1，k2互为相反数，且b1 =b2 ，则l1 与l2关于y 轴对称。 知3－练 [母题 教材P92随堂练习T1]在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象： (1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2. 然后观察图象，你能得到什么结论？ 例4 考向：利用一次函数的图象和性质解决问题 题型1 “两点法”在画一次函数图象中的应用 解题秘方：紧扣一次函数图象的画法作图. 知3－练 解：列表如下： x 0 1 y1 －1 1 x 0 1 y2 0 2 x 0 1 y3 2 4 描点、连线，即可得到它们的图象， 如图4-3-4. 知3－练 从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线，因为这组函数的表达式中k的值都是2. 结论：一次函数中的k值相等(b值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线. 它们可以通过互相平移得到. 知3－练 感悟新知 4-1.填表，并在如图的平面直角坐标系中画出 一 次 函数 y=x+2 的图象 . (1)列表： (2)描点、连线： 1 x －1 0 y=x+2 ________ ________ 2 解：如图． 变式训练 知3－练 已知点(－2，y1)，(－ 1，y2)，(1，y3)都在直线y=2x-3 上，则y1，y2，y3的值的大小关系是 ____________。 例5 题型2 一次函数的性质在比较函数值大小中的应用 思路导引： 知3－练 答案：y 3>y 2>y1 解：因为函数y =2 x-3 中，k =2>0，所以y 的值随x 值的增大而增大。 因为点(－2，y1)，(-1， y2)，(1 ， y3 )都在直线y =2 x － 3 上，且-2<-1<1，所以y 3 > y 2>y1。 知3－练 感悟新知 5-1. [模拟·扬州] 在函数y=(－ k2 － 1)x+3 的图象上有A(1， y1 )，B(-1， y2 )，C(－ 2， y3 )三个点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系用“<”连接为 ___________。 y1< y2< y3 变式训练 知3－练 已知一次函数y=kx－1 (k ≠ 0)，若y 随x 的增大而减小，则它的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例5 题型3 一次函数的图象和性质的综合 解题秘方：先根据一次函数的增减性得出k 的正负，再结合b 的值判断函数图象的位置。 知3－练 答案：A 解：因为一次函数y=kx－1 (k ≠ 0)，y 随x 的增大而减小，所以k < 0。 所以图象一定经过第二、四象限。 因为b= － 1，所以该一次函数的图象一定过第二、三、四象限，不经过第一象限。 知3－练 感悟新知 6-1. 已知直线y=kx +b (k，b 是常数)经过点(1，1)，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是 _________________ (写出一个即可)。 2(答案不唯一) 变式训练 知3－练 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－3x－2 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式为( ) A. y＝－3x－9 B. y＝－3x－2 C. y＝－3x＋2 D. y＝－3x＋9 例7 题型4 利用一次函数图象的平移求函数表达式 知3－练 解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解. 解：将直线y＝－3x－2 向左平移1 个单位得 直线y＝－3(x＋1)－2，即y＝－3x－5， 再向上平移3 个单位，即将直线y＝－3x－5 向上平移3个单位，得直线y＝－3x－5＋3，即y＝－3x－2. 答案：B 左加右减(只改变x) 上加下减(只改变b) 知3－练 感悟新知 7-1.直线 y=－2x+b 过点(2，1)，将它向下平移 2 个单位后所得直线的表达式是________________ . y＝－2x＋3　 变式训练 一次函数的图象 函数图象 点的坐标与表达式 图象之间的关系 正比例函数 一次函数 画法 性质 $$