4.2 认识一次函数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 “均匀”变化现象 一次函数与正比例函数 根据情境列一次函数关系式 知识点 “均匀”变化现象 知1－讲 1 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 知1－讲 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知1－讲 特别解读 在函数中“均匀”变化是两方面的，一方面自变量每次增加固定的数值，另一方面因变量每次改变的量相同。 知1－练 某公交公司的16 路公交车每月的支出费用为4 000 元， 每月的乘车人数x(单位：人)与这趟公交车每月的利润(利润= 收入费用- 支出费用)y (单位：元）的变化关系如下表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)。 例1 考向：解决“均匀”变化问题 知1－练 请回答下列问题： (1)自变量为 ________，因变量为 ______； (2)求y 与x 之间的函数关系式； (3)当每月乘车人数为4 000 人时，每月利润为多少元？ x/人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … y/元 －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 … 知1－练 感悟新知 解题秘方：根据表格中的数量变化可得答案； (1)自变量为 ___________________， 因变量为 ___________________； 每月的乘车人数 公交车每月的利润 知1－练 感悟新知 解题秘方：根据乘车人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式； (2)求y 与x 之间的函数关系式； 因为从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加 5 00 人，其每月的利润就增加1 000 元， 所以每位乘客坐一次车需要1 000÷500=2 (元)。 故函数关系式为y =2(x-5 00)-3 000=2 x－4 000。 知1－练 感悟新知 解题秘方：把x =4 000 代入函数关系式求出y 的值即可。 (3)当每月乘车人数为4 000 人时，每月利润为多少元？ 当x =4 000 时，y =2×4 000-4 000=4 000。 因此当每月乘车人数为4 000人时，每月利润为4 000元。 知1－练 1-1. 在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y (单位：cm)与所挂物体的质量x (单位：kg)的几组对应值。 变式训练 知1－练 感悟新知 (1)本题反映的是弹簧长度y 与所挂物体质量x 这两个变量之间的关系，其中自变量是__________________ 。 所挂物体质量x 知1－练 感悟新知 (2) 写出弹簧长度y 与所挂物体质量x 的关系式， 并计算当弹簧的长度为46 cm 时，所挂物体的质量是多少千克(在弹簧的允许范围内)。 观察表格发现，不挂物体时弹簧的长度为28 cm，且所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧就伸长2 cm，所以y＝28＋2x。 当y＝46时，46＝28＋2x，解得x＝9， 所以所挂物体的质量为9 kg。 知识点 一次函数与正比例函数 知2－讲 2 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝ kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数.例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知2－讲 特别提醒 1. 一次函数y＝kx＋b 的结构特征： (1)自变量x 的次数是1； (2)一次项系数k≠0； (3) 常数项b可以是任意实数. 2. 对一次函数而言，自变量每增加1 ，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。 知2－讲 知2－练 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2) ； (4) y=－ . 例1 考向：利用一次函数的定义解涉及一次函数的问题 题型1 一次函数的定义在辨识中的应用 知2－练 思路导引： 知2－练 (1)y＝－2x2； (2)y＝； 解：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. 因为y＝＝x＋，k＝，b＝， 所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. 知2－练 解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. (3)y＝3x2－x(3x－2) (4) y=－ 先化简，再判断 因为 y=－ 中， － 不是整式，所以它不是一次函数 . 知2－练 2-1. 下列函数中，y是x的一次函数的是( ) A. y＝－3x＋5 B. y＝－3x2 C. y＝ D. y＝π A 变式训练 知2－练 感悟新知 2-2.已知 x，y 是两种相关联的量，下面函数中的 x，y 成正比例关系的是(     ) A. y=x B. = C. x+y=10 D. =y A 知2－练 已知函数y=(m－3)x3-|m| +m+2。 (1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？ (2)当m 为何值时，y 是x 的一次函数？ 例3 题型2 一次函数的定义在求字母的值中的应用 知2－练 感悟新知 解题秘方：对于形如 y=kxn+b( k， b 为常数)的函数，若它是一次函数，则有 k ≠ 0， n=1；若它是正比例函数，则有 k ≠ 0，n=1， b=0. 根据条件列出方程，一定不能忽略条件 k ≠ 0. 知2－练 (1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？ (2)当m 为何值时，y 是x 的一次函数？ 解：由题意得解得m=－2。 所以当m= － 2 时，y 是x 的正比例函数。 由题意得解得m=±2。 所以当m=±2 时，y 是x 的一次函数。 知2－练 感悟新知 3-1.已知 y=(k－3) x+k2－9 是关于 x 的正比例函数，求当 x=－4 时， y的值 . 解：因为当k2－9＝0，且k－3≠0时，y是x的正比例函数， 所以当k＝－3时，y是x的正比例函数． 所以y＝－6x. 当x＝－4时，y＝－6×(－4)＝24. 变式训练 知3－讲 知识点 根据情境列一次函数关系式 3 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 特别提醒 确定一次函数关系式的方法： 1.按等量关系写出含有两个变量的等式； 2.将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式. 知3－讲 感悟新知 [母题 教材P81例1 ]写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y(单位：cm2)与此边上的高 x(单位：cm)的关系； (2)汽车行驶前，油箱中有油65 L，已知汽车每行驶10 km耗油1.5 L，油箱的余油量y(单位：L)与已行驶的距离x (单位：km)之间的关系； (3)设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y(单位：cm3)与底面边长x(单位：cm)之间的关系. 例3 知3－练 感悟新知 解题秘方：紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，然后再写成一次函数的形式 . 感悟新知 解：由三角形的面积=× 底× 高，得y = ×8×x, 即y =4 x，y 是x 的一次函数，也是x 的正比例函数。 (1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y(单位：cm2)与此边上的高 x(单位：cm)的关系； 知3－练 感悟新知 解：由余油量= 原油量－耗油量，得y =65－x，即y = － 0.15x+6 5，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数。 (2)汽车行驶前，油箱中有油65 L，已知汽车每行驶10 km耗油1.5 L，油箱的余油量y(单位：L)与已行驶的距离x (单位：km)之间的关系； 知3－练 感悟新知 解：由长方体的体积= 底面积× 高，得y =x2×10，即y =10x2，y 不是x 的正比例函数，也不是x 的一次函数。 (3)设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y(单位：cm3)与底面边长x(单位：cm) 之间的关系. 知3－练 感悟新知 4-1.甲、乙两地相距200 km, 现有一列火车从乙 地出发，以 80km/h 的速度向甲地行驶 . 设x(单位：h)表示火车行驶的时间， y(单位： km)表示火车与甲地的距离 . (1)写出 y 与 x 之间的表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数； 解：根据题意，得y＝－80x＋200， 所以y是x的一次函数． 变式训练 知3－练 知3－练 感悟新知 (2)当 x=1.5 时，求 y的值 . 解：当x＝1.5时，y＝－80×1.5＋200＝80. 认识一次函数 关系式 一次函数 y＝kx＋b(k≠0) 特 殊 正比例函数 关系式 y＝kx(k≠0) b＝0 $$