3.2 平面直角坐标系 (课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

3.2 平面直角坐标系 第三章 位置与坐标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 平面直角坐标系及相关概念 点的坐标表示 点的坐标特征 建立平面直角坐标系 知1－讲 感悟新知 知识点 平面直角坐标系及相关概念 1 1. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系)。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 感悟新知 知1－讲 2. 相关概念 (1) 坐标轴：水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴； (2) 原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。 感悟新知 知1－讲 3. 象限：如图3-2-1，在平面直角坐标系中，两条 坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内 感悟新知 知1－讲 特别解读 x轴、y轴都是数轴，都有原点、正方向和单位长度 .数学中的平面直角坐标系的两条坐标轴的单位长度一般视为相同，但实际问题中，受两轴上数量意义的影响，两坐标轴上的单位长度可以有所不同 . 知1－练 如图3-2-2，平面直角坐标系的画法正确的是( ) 例1 考向：利用平面直角坐标系的定义识别平面直角坐标系 知1－练 解题秘方：根据平面直角坐标系的三要素：两条数轴、有公共原点、互相垂直识别。 答案：B 解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的；C 中横轴上的-1 应在负半轴上，应取向右为正方向；D 中横轴的单位长度不一致。 知1－练 1-1. 关于平面直角坐标系的说法正确的是( ) A. 平面直角坐标系是由两条共原点的数轴构成的 B. 平面直角坐标系是由两条垂直的数轴构成的 C. 平面直角坐标系的正方向没有规定 D. 平面直角坐标系中两坐标轴的单位长度可以不相同 D 变式训练 感悟新知 知2－讲 知识点 点的坐标表示 2 内容 图示 点的坐标 对于平面内任意一点 P，过点P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a， b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对( a， b)叫做点 P 的坐标 . y 轴上的点的横 坐标为零 x 轴上的点的纵坐标 为零 感悟新知 知2－讲 平面 上的 点与 有序 实数 对的 关系 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。因此，平面上的点与有序实数对一一对应 y 轴上的点的横 坐标为零 x 轴上的点的纵坐标 为零 续表 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 平面直角坐标系中点 P(a，b)到 x 轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|，到原点的距离为 . 知2－讲 感悟新知 特别提醒 点的坐标(a，b)中a，b的顺序不能颠倒，先写横坐标再写纵坐标，中间用逗号隔开，(b，a)与(a，b) (a ≠ b)表示两个不同的点。 知2－练 如图3-2-3，在平面直角坐标系中。 (1)写出A，B，C三点的坐标； (2)描出点D(2，-3)，E(-2，4)， F(0，-2)。 例2 考向：利用点的坐标表示写坐标和描点 知2－练 思路导引： 知2－练 解：(1)A(4，3)，B(-3，0)，C(-4，-1)。 (2)如图3 - 2 - 3 所示。 知2－练 感悟新知 2-1. 如图所示，已知平面直角坐标系。 (1)写出点A，B，C，D，E 的坐标； 解：A(3，3)，B(－5，2)， C(－4，－3)，D(4，－3)， E(5，0)。 变式训练 知2－练 感悟新知 (2) 描出点P(-2，-1)，Q(3，-2)，S(2，5)，T(-4，3)。 解：如图所示。 知3－讲 知识点 点的坐标特征 3 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(+，-)即x>0，y>0 点M在第二象限 M(-，+)即x<0，y>0 点M在第三象限 M(-，-) 即x<0，y<0 点M在第四象限 M(+，-)即x>0，y<0 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 (原点除外) 在x轴正半轴上 M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上 M(-，0)即x<0，y=0 点M在y轴上 (原点除外) 在y轴正半轴上 M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上 M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处 M(0，0) 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 两点连线与坐标轴 平行 MN//x 轴(MN ⊥ y 轴) M(x1，y1)，N(x2，y2 ) 两点纵坐标相等，即y1=y2 MN//y 轴(MN ⊥ x 轴) M(x1，y1)，N(x2，y2 ) 两点横坐标相等，即x1=x2 知3－讲 续表 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限角平分线上的点 (拓展) 点M 在第一、三象限角平分线上 M(x，y)且x=y，即横坐标与纵坐标相等 点M 在第二、四象限角平分线上 M(x，y)且x= -y，即横坐标与纵坐标互为相反数 知3－讲 图示 在平面直角坐标系中，若点A(-m，n)在第二象限，则点B(n，-mn)所在的象限是( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例3 题型1 根据点的坐标特征判断点所在的象限 知3－练 考向：利用点的坐标特征解决问题 知3－练 解题秘方：先根据第二象限内点的坐标特征确定-m，n的正负，进而确定-mn 的正负，再判断点B 所在的象限。 解：因为点A(-m，n)在第二象限，所以-m ＜ 0，n ＞ 0。所以-mn ＜ 0。 所以点B(n，-mn)在第四象限。 答案：D 知3－练 3-1. [ 中考·宿迁] 点P ( x 2+ 1 ， - 3) 在第__________象限。 四 变式训练 知3－练 已知点P(3a+1，a-5)，解答下列各题。 (1)若点P 在x 轴上，求点P 的坐标； (2)若点Q的坐标为(-2，3)，直线PQ∥ y 轴，求点P 的坐标。 例4 题型2 根据点的坐标特征求点的坐标 知3－练 解题秘方：(1)根据x 轴上点的纵坐标为0 求出a 的值，再计算出横坐标即可； (2)根据与y 轴平行的直线上的点的横坐标相同求出a 的值，再计算出纵坐标即可。 知3－练 解：(1)因为点P(3a+ 1 ，a- 5)在x 轴上， 所以a- 5 = 0 ，解得a= 5 。所以3a+ 1 = 3 × 5 + 1 = 16 。 所以点P 的坐标是(16 ，0)。 (1)若点P 在x 轴上，求点P 的坐标； 知3－练 (2)因为P(3a+ 1 ，a- 5)，点Q 的坐标为(-2，3)，直线PQ ∥ y 轴，所以3a+ 1 = - 2 ，解得a= - 1 。 所以a- 5 = - 1 - 5 = - 6 。 所以点P 的坐标为(- 2 ，- 6)。 (2)若点Q的坐标为(-2，3)，直线PQ∥ y 轴，求点P 的坐标。 知3－练 感悟新知 4-1. 若点P 是平面直角坐标系中第二象限内的点， 且点P 到x 轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是( ) A. (-2，3) B. (-2，-3) C. (-3，2) D. (3，-2) C 变式训练 知3－练 感悟新知 4-2. 在平面直角坐标系中， 点M (m+3，2 m + 4 ) 在y 轴上， 则点M 的坐标是 _________________。 (0，-2) 感悟新知 知4－讲 知识点 建立平面直角坐标系 4 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 一般用点O 表示 记得标上对应的x，y 感悟新知 知4－讲 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上   (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 知4－讲 感悟新知 特别解读 1.根据条件建立适当的直角坐标系是确定点的坐标的必经过程，只有在建立适当的直角坐标系的基础上，点的位置才能被确定，这是数形结合思想的体现 . 2.“适当”意味着要充分利用图形的特点，如垂直关系、对称关系、平行关系、中点等 . 3.建立平面直角坐标系的方法是不唯一的，选择不同的位置作为原点 ,其他位置的坐标是不同的 . 知4－练 如图3-2-4，在长方形ABCD中，已知AB=6，AD=4，在长方形ABCD外画 △ ABE，且使AE=BE=5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标。 例5 考向：利用适当的坐标系解决坐标问题 题型1 建立适当的坐标系表示几何图形各顶点的坐标 知4－练 解题秘方：本题建立平面直角坐标系的方式不唯一，以DC所在的直线为x 轴和过CD中点且垂直于CD的直线为y 轴建立平面直角坐标系，AB 与y 轴交点为F，连接EF，长方形四个顶点的坐标容易求出，利用等腰三角形“三线合一”以及勾股定理求得EF 的长，进而可求点E 的坐标。 知4－练 解：(答案不唯一)如图3-2-5，以CD的中点为坐标原点O，以CD所在直线和过点O与CD垂直的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，且y 轴交AB 于点F， 则AB ⊥ y 轴，且F 为AB 的中点。 因为AB=6，AD=4， 所以易知点A 的坐标是(-3，4)，点B 的坐标是 (3，4)，点C的坐标是(3，0)，点D的坐标是(-3，0)。 知4－练 连接EF，因为AE=BE，F 是AB 的中点，所以 EF ⊥ AB，AF=AB= ×6=3。所以EF 在y 轴上。 在Rt △ AEF 中，EF= = =4。 所以EO=4+4=8。所以点E的坐标是(0，8)。 知4－练 感悟新知 5-1. 如图， 在梯形ABCD 中，AB ∥ CD，BC ⊥ AB，AB= 5 ，BC=4，CD=3。在图中建立适当的直角坐标系， 并写出各顶点的坐标。 变式训练 知4－练 感悟新知 解：以点B为坐标原点，以AB边所在直线为x轴，BC边所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示。 因为AB∥CD，BC⊥AB，AB＝5，BC＝4，CD＝3，所以A(－5，0)，B(0，0)，C(0，4)，D(－3，4)。 感悟新知 知4－练 如图3-2-6是某学校的平面示意图（网格中每个小正方形的边长为1），试建立平面直角坐标系，用坐标表示各建筑物的位置。 例6 题型2 建立适当的坐标系确定点的位置 感悟新知 知4－练 解：本题答案不唯一。如：如图3-2-7，以旗杆所在 位置为坐标原点O，以网格线中过点O的水平线为x 轴，过点O的铅垂线为y 轴建立平面直角坐 标系，各建筑物的位置分别为旗杆 (0，0)，校门(-4，0)，图书馆(-4，4)， 教学楼(-2，3)，实验楼(-1，-3)，餐厅 (1，4)，体育场(2，2)，学生公寓(3，-3)。 知4－练 感悟新知 6-1. 如图是小区位置简图， 网格中每个小正方形的边长为1 个单位长度， 请建立适当的平面直角坐标系，写出六个小区的坐标。 变式训练 知4－练 感悟新知 解：(答案不唯一)建立平面直角坐标系如图所示。 港澳城(－1，2)，水榭花都 (－3，0)，朝阳家园(2，0)，滨海华庭(0，－1)，阳光家园(0，－2)，盛世嘉苑 (－2，－2)。 平面直角坐标系 平面直角 坐标系 构成 坐标轴 象限 应用 坐标 建立平 面直角 坐标系 $$