专题03 椭圆（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二椭圆易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校椭圆易错题精选 专题二：名校椭圆培优题精选 专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校椭圆易错题精选 1．已知椭圆的左焦点为是上的动点，点，若的最大值为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（多选题）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 7．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 8．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 9．（多选题）如图，曲线是由的图形组合成的，过作曲线的切线，切点分别为，且点在轴左边，则（    ）    A． B．直线与轴平行 C．当在上时，的最大值为3 D．当点在上时， 10．已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 . 11．已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 12．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 . 13．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 14．已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为 ． 15．已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 16．如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 17．如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为上任意一点，的内切圆半径的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线交于两点，为轴上一点，记与的面积分别为，，是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 20．已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 专题二：名校椭圆培优压轴试题精选 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若|，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（   ） A． B．2 C． D．3 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．点在曲线上 B．双纽线的方程为 C． D．点在椭圆上，若，则 5．（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线关于直线对称 B．当时，是两条直线 C．当时，若点是曲线上的任意一点，则 D．当时，曲线上的点到原点距离的最小值为 6．（多选题）历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B．点为该曲线的一个焦点 C．该曲线上任意两点之间的最大距离为 D．该曲线的离心率为 7．（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线上任意一点到原点的距离小于或等于 C．曲线内部（含边界）有6个整点（横，纵坐标均为整数的点） D．. 8．（多选题）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 9．设为坐标原点，椭圆的左顶点和左焦点分别为、，、为上关于轴对称的两点（点在第二象限）且轴，，则的离心率为 ；已知、为上关于轴对称的两点，直线，交于点，若椭圆的长轴长为，则点的轨迹方程为 （结果含）． 10．已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是 ． 11．已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点. （i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 12．已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. (1)求椭圆E的方程； (2)如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； (3)如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 13．已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 14．已知椭圆的离心率为，为C上一点． (1)求C的方程． (2)过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，记（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为，． （ⅰ）求S的取值范围； （ⅱ）求证：为定值． 15．已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 16．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求的方程； (2)若动直线与交于点A，B，，分别为的左、右顶点，直线交于点，求证：点恒在某圆锥曲线上； (3)已知直线与交于两点，直线与直线分别交于点，若平面内存在一点，使得四边形为平行四边形，求点的坐标. 17．已知圆，动直线与圆交于两点，且，点，到直线的距离分别为，动点满足，，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)记为圆上一动点，过点作曲线的切线. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，记与曲线的切点分别为，求的面积. 18．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 19．“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点. (1)在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时， （i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标； （ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值； (2)在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程. 20．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; (2)在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； (3)当 时，求的取值范围. 专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三下·全国·竞赛）给定椭圆：（其中）和直线：交于点、（其中点的横纵坐标分别满足，），点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶点，若直线平分线段，且的长度为4，则的值为（    ） A．14 B．68 C．40 D．49 2．（2024高三下·全国·竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2018高二·全国·竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．（2016高二·全国·竞赛）已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2012高二·全国·竞赛）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 6．（2008高二·全国·竞赛）在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 7．（2009高二·全国·竞赛）以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 8．（2007高二·全国·竞赛）已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 9．（2007高二·全国·竞赛）若方程表示一条非圆的二次曲线，则它表示（    ）． A．椭圆 B．双曲线 C．焦点为的抛物线 D．焦点为的抛物线 10．（2007高二·全国·竞赛）椭圆上的任意一点到焦点距离分别为、，焦距为．若、、成等差数列，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 11． （16-17高三·北京·强基计划）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（17-18高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 13．（17-18高三·北京·强基计划）设实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 14．（18-19高三·北京·强基计划）已知椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则（    ） A． B．2 C． D．以上答案都不对 15．（20-21高三·北京·强基计划）已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（19-20高三·湖北武汉·强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（   ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·福建莆田多选题）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 18．（19-20高三·北京·强基计划多选题）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 19．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 20．（2024高二下·广西·竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 21．（2024高二下·内蒙古·竞赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 22．（2007高二·全国·竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 23．（2010高二·全国·竞赛）一圆形纸片的圆心为点，点是圆内异于点的一个定点，点是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕与交于点，当点运动时，点的轨迹是 ．（只需填曲线的名称） 24．（2010高二·全国·竞赛）直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与椭圆相切，则的最小值为 ． 25．（2011高二·全国·竞赛）若点在椭圆的左准线上，过点且斜率为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ． 26．（2011高二·全国·竞赛）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      27．（2008高二·全国·竞赛）已知椭圆，其离心率是椭圆上两点，为的垂直平分线，交轴于点的中点为，则 ． 28．（2008高二·全国·竞赛）已知圆过的两焦点，，且它们有4个交点，其中1个交点为，若面积为26，椭圆长轴为15，则 ． 29．（2008高二·全国·竞赛）若与相交于A、B两点，且在AB线段上存在一点，使(为原点)，OM倾斜角为，则 ． 30．（2010高二·全国·竞赛）已知，则当取得最小值时椭圆的离心率是 . 31．（2007高二·全国·竞赛）已知是椭圆上的一点，点､分别是椭圆的左，右焦点，点在上，且，那么点分有向线段所成的比是 . 32．（2007高二·全国·竞赛）实数x、y满足，则的最大值是 ． 33．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 34．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为 . 35．（2022高三·浙江金华·竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆在第二象限交于点，交轴于点.设点，若，则的值为 . 36．（23-24高三下·全国·强基计划）在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为 ． 37．（2024高一下·海南海口·竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 38．（2024高二下·吉林·竞赛）已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点在坐标轴上. 圆 的圆心为坐标原 点 ，过点 且倾斜角为的直线与圆 相切. (1)求圆 的方程; (2)过圆 上任意一点 作圆 的切线，与椭圆 交于 两点，均有 成立. 判断椭圆 是否过定点? 说明理由. 39．（2010高二·全国·竞赛）已知椭圆，过原点且倾斜角为和的两条直线分别交椭圆于、和、四点． (1)用、、表示四边形的面积； (2)若、为定值，当时，求的最大值． 40．（2007高二·全国·竞赛）已知椭圆的短轴上端点为P，过点P作椭圆互相垂直的两弦.连接，试求点P在上的射影Q的轨迹方程. 41．（2013高二·全国·竞赛）已知、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)记点，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数． 42．（2024高三下·上海·竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 43．（2013高二·全国·竞赛）在直线上任取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程． 44．（2011高二·全国·竞赛）在中，分别是内角的对边，成等差数列，且，． (1)求顶点的轨迹的方程； (2)是否存在直线，使得过点且与曲线交于不同的两点，且？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 45．（2014高二·全国·竞赛）已知椭圆：经过点，左、右焦点分别为点、，离心率，点，是直线上的两个动点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求线段的最小值． 46．（2024高三上·全国·竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 47．（17-18高三·北京·强基计划）如图，已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆与直线相切． (1)求椭圆的方程． (2)设椭圆的左右顶点分别为，若直线与x轴交于T点，点M为直线l上异于点T的任意一点，直线分别与椭圆交于P，Q两点，连结的直线l与交于N点．是否存在t，使得直线与以为直径的圆总相切？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 48．（18-19高三·北京·强基计划）已知非负实数x，y满足，求的最小值． 49．（16-17高三·北京·强基计划）已知曲线，试证明：对的任意直径，均存在上的动点P，使得均与相切． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二椭圆易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校椭圆易错题精选 专题二：名校椭圆培优题精选 专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校椭圆易错题精选 1．已知椭圆的左焦点为是上的动点，点，若的最大值为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义表示出的最大值，即可求出，从而得解. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得， 所以，所以， 当且仅当三点共线时等号成立（在之间）， 则由题意知此时，即，解得， 所以离心率．    故选：B 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知面积关系可得，即可求解. 【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则， 由题设知，且，故， 所以. 故选：D 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出与，再结合线段的中垂线过原点得到的性质，最后利用勾股定理求出椭圆的离心率. 【详解】已知，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么. 因为线段的中垂线过原点，所以，又因为，所以，那么是以为直角顶点的直角三角形. 在中，根据勾股定理可得，其中， 将，代入，可得，即，化简可得，即. 因为椭圆的离心率，且，所以. 故选：D. 4．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的左焦点，连接，，，由题可知四边形为矩形.设，则，由椭圆的定义知，，.在和中，利用勾股定理联立方程组即可求解. 【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形.设，则， 由椭圆的定义知，，. 在中，，即，得； 在中，，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 5．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 6．（多选题）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】求出椭圆的方程，利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A选项；由椭圆定义可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；设点、，可得出点，代入椭圆方程可得出点的轨迹方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 7．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【答案】ACD 【分析】根据椭圆定义和基本不等式可知A正确；利用余弦定理和A的结果可知B错误；利用向量数量积定义和余弦定理可化简得到C正确；设，根据向量数量积坐标运算可求得的范围，知D正确. 【详解】由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，，， 对于A，由椭圆定义知：， （当且仅当，即为短轴端点时取等号）， 的最大值为，A正确； 对于B，， 即的最小值为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，设，，， ， ，，， 椭圆上存在点，使得，D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确；设，得到，可判定B错误；由，根据，可判定C正确；连接，取的中点，连接，根据椭圆的定义得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    9．（多选题）如图，曲线是由的图形组合成的，过作曲线的切线，切点分别为，且点在轴左边，则（    ）    A． B．直线与轴平行 C．当在上时，的最大值为3 D．当点在上时， 【答案】AB 【分析】A在中容易得；B计算点纵坐标即可；C计算当点在曲线上时的最大值即可；D利用基本不等式和即可求出最值. 【详解】由题意知，，，所以，A正确； 过作，垂足为，则在中，， 设切线的方程为， 与联立得，， 所以，所以，则， 则方程为，解得， 则点纵坐标相等，故直线与轴平行，所以B正确； 设，当点在曲线上时，， 因为，所以当时，有最大值， 因，则，所以C错误； 当满足时， ，即，等号成立时， 因，则，等号成立时，故D错误. 故选：AB.    10．已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，可得切线方程，进而可得，，结合向量数量积可得解. 【详解】设，， 易知切线斜率存在， 则设切线方程为 ，可得， 则， 所以，代入直线，可得， 即，即直线为，即， 令，得，同理令，得， 因此，， 又因为，， 故，得，， 故点的坐标为， 故答案为：. 11．已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的对称性，结合条件，将问题转化成以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，即可求解. 【详解】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，所以， 解得，又，所以， 故答案为：. 12．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为：. 13．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设条件求出，利用余弦定理和椭圆的定义表达式求出，再由三角形面积的两种表示形式，即可求得内切圆半径. 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 14．已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先判断点为椭圆的左焦点，设点为椭圆的右焦点，利用椭圆的定义得，由圆的几何性质得，结合图形判断当且仅当三点共线且点在点的上方时，取得最小值. 【详解】由配方得：，即圆心，半径， 如图所示，由可得，则，即点为椭圆的左焦点， 设点为椭圆的右焦点，易知点在圆上. 由椭圆的定义可得，由圆的几何性质可得， 则， 当且仅当三点共线且点在点的上方时，等号成立， 此时取得最小值． 故答案为： . 15．已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意，得出方程组，求得，得到椭圆的标准方程； （2）设且，得到，代入的方程，联立方程组，求得和，结合，即可求得为定值. 【详解】（1）解：由椭圆满足，且右焦点， 可得，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为， 设，且， 再设，其中， 则，可得， 整理得，同理可得， 则， 所以存在为定值，定值为. 16．如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)； 【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. （2）（ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 17．如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【分析】（1）运用椭圆定义得到，根据焦距算出，得到. （2）①借助向量工具，结合韦达定理证明数量积为负数即可； ②由①知，算出四边形面积为.再换元，结合对勾函数单调性计算最值即可. 【详解】（1）由题意知，， 由椭圆定义得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）①由（1）知，， 由椭圆对称性，不妨设， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 直线的方程为. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 则， 因此， 所以为钝角. ②由①知，四边形面积为 . 设，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则， 因此当时，四边形的面积最大，为6，此时点M的坐标为， 由对称性知，当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6. 18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为上任意一点，的内切圆半径的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线交于两点，为轴上一点，记与的面积分别为，，是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据的面积与内切圆半径之间的关系，确定面积最大时点的位置，从而可得关于的方程，解方程即可得椭圆的方程； （2）设点到直线的距离为，将化为，在椭圆上取点，使点与点关于轴对称，连接，根据对称性结合角平分线定理即可得，联立直线的方程为与椭圆，根据交点左边关系转化求解即可得结论. 【详解】（1）因为的面积与其内切圆半径之间的关系为， 所以当的内切圆半径取得最大值时，的面积也取得最大值，此时点为椭圆的上（或下）顶点， 所以，即. 由，得， 所以椭圆的方程为. （2）设点到直线的距离为，则， 假设存在点，使得，则， 在椭圆上取点，使点与点关于轴对称，连接， 则，，所以. 易知直线的斜率不为0，故设直线的方程为，，， 联立方程，得，消去，化简、整理得， 所以， 则，. 易知，所以，即. 将，代入，得， 化简得. 由的任意性，可知，从而直线的方程为，故直线过点. 所以存在点，使得. 19．已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值. 20．已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给信息及，可求椭圆方程. （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）设点， 当直线PF与x轴垂直时，点，则 因为的最小值为，所以， 又由， 可解得， 故E的方程为． （2）如图， 设点，注意到RM，RN斜率不为0， 设， 联立，得， 因为RM与E相切，所以， 于是， 化简得， 又RN与E相切，同理有， 故m，n是一元二次方程的两根， 则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 专题二：名校椭圆培优压轴试题精选 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若|，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是内切圆与的切点，根据已知及椭圆的定义、对称性，圆的切线长性质，得到，整理即可得. 【详解】由题意，如下示意图，是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系）， 由，结合对称性、圆的切线性质，令， 且，所以， 所以，可得，故， 故选：C 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】 由题知，， 设，，与圆分别切于点D，E，H，，， 则， 又， 因为，则， 所以， 由切线性质可知，，， 所以 ， 所以， 又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的横坐标之比为. 故选：B. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 4．（多选题）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．点在曲线上 B．双纽线的方程为 C． D．点在椭圆上，若，则 【答案】AD 【分析】利用曲线的定义可判断A选项；在双纽线上任取一点，由结合两点间的距离公式可化简得出双纽线的方程，可判断B选项；将曲线的方程化为，令可知关于的方程有解，结合可判断C选项；利用椭圆的定义、双纽线的定义以及勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，记点，则，， 所以， 所以点在曲线上，A对； 对于B选项，在双纽线上任取一点，由题意可得， 即，即， 即，即， 整理可得，B错； 对于C选项，由可得， 令，则， 所以关于在上有解， 设该方程在上的两根分别为、， 所以，解得，故， 当时，可得，即，解得， 即点在双纽线上，故的取值范围不是，C错； 对于D选项，椭圆的标准方程为， 所以，，则，所以椭圆的两个焦点恰好为、， 由椭圆的定义可得， 由可得， 因为， 解得，因此，，D对. 故选：AD. 5．（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线关于直线对称 B．当时，是两条直线 C．当时，若点是曲线上的任意一点，则 D．当时，曲线上的点到原点距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】点关于对称的点为，当，得到，即可判断B；由求出的取值范围，即可判断C；利用基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：当时，曲线， 设点在曲线上，则点关于对称的点为， 所以即， 故点不在曲线上，所以曲线不关于对称，故A错误； 对于B：因为，所以，则，所以，即是两条直线，故B正确； 对于C，当时，曲线，则， 所以，解得或，所以，故C正确； 对于D：当时，曲线， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以， 所以曲线上的点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD 6．（多选题）历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B．点为该曲线的一个焦点 C．该曲线上任意两点之间的最大距离为 D．该曲线的离心率为 【答案】ACD 【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项. 【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为. 平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由， 则有，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确； 再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误； 即椭圆离心率为，故D正确； 故选：ACD. 7．（多选题）已知曲线，点在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线上任意一点到原点的距离小于或等于 C．曲线内部（含边界）有6个整点（横，纵坐标均为整数的点） D．. 【答案】ABD 【分析】A将点代入曲线中即可；B利用基本不等式即可；C结合B选项的范围，令、、求解即可；D关于的一元二次方程有解，利用即可. 【详解】对于A，将点代入曲线中得，，即，故A正确； 对于B，由知，， 整理得，等号成立时， 即，故曲线上任意一点到原点的距离小于或等于，故B正确； 对于C，由知，的整数考虑取值， 当时，，解得或，故点在曲线C上； 当时，，解得，故点在曲线C上； 当时，，解得或，故点在曲线C上； 又，所以点在曲线C内， 故曲线内部（含边界）有7个整点，故C错误； 对于D，由得，， 此关于的一元二次方程有解， 则，得，故D正确. 故选：ABD 8．（多选题）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 【答案】ACD 【分析】若是内切圆与轴的切点，利用椭圆的定义及圆切线的性质得到判断A；若，，且，结合椭圆、角平分线、合比的性质得到、，代入椭圆方程即可得动点的轨迹，进而应用两点式求斜率判断B、C；由内切圆的半径判断D. 【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，， 又，则，即， 所以离心率，A对；    若为延长线与轴的交点，，且，则，故， 由角平分线的性质可得，则， 所以，则， 又，则，故， 所以，故，则且， 所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；    由上分析，，，则为定值，C对； 由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于， 即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对. 故选：ACD 9．设为坐标原点，椭圆的左顶点和左焦点分别为、，、为上关于轴对称的两点（点在第二象限）且轴，，则的离心率为 ；已知、为上关于轴对称的两点，直线，交于点，若椭圆的长轴长为，则点的轨迹方程为 （结果含）． 【答案】 【分析】（1）根据点的横坐标代入椭圆方程中得出点的纵坐标，再利用即可求出，最后利用公式即可； （2）先证明，再结合得出，利用点斜式写出直线的方程，再采用交轨法求出点的轨迹方程，最后利用、为上关于轴对称的两点得出. 【详解】（1）如图： 设椭圆的半焦距为，则由题意可知，点的横坐标为， 代入椭圆方程中得，则， 因点在第二象限，则， 因，则，即， 则离心率. （2）由（1）可知，因，则，， 则 ，， 取关于轴的对称点，则， 设，则且， 则， 又关于轴对称，关于轴对称，则， 则， 又直线，直线， 两式相乘得，， 即，即， 当点与椭圆的左（或右）顶点重合时， 直线也交于椭圆的左（或右）顶点，故（不重合）， （当点与点重合时，直线可视为椭圆在点处的切线，此时直线与直线平行，可理解为交与无穷远处）， 故点的轨迹方程为： 故答案为：； 10．已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】设向量的始点为原点，终点分别为，取，得到点在直线上，设，可得点的轨迹方程为，再根据椭圆的定义可得结果. 【详解】已知，，，，设，，，由得点在直线上. 这是因为在平面直角坐标系中，直线上所有点的横坐标都为，所以点的横坐标为. 因为对于任意的向量，均有的最小值为，. 在平面直角坐标系中，向量，，所以点到直线的距离为. 根据椭圆的第二定义，点的轨迹是以为右焦点，为右准线的椭圆，其方程为. 设为椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，所以，则. 所以. 根据三角形三边关系，计算. 所以的取值范围是. 故答案为： 11．已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点. （i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得，，进而可得，即可得方程； （2）（i）不妨设，，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式整理化简即可证得； （ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得，讨论、求右侧范围，即可得. 【详解】（1）由题知，又，可得，， 则椭圆方程为. （2）（i）不妨设，， 由，化简为， 显然，则，， 又 ，即证. （ii）由于，均为直角三角形，，， 由圆的性质知，故， 由于，， 当时，，则， 当时，直线方程为，则， 又， 所以，令，那么， 即，则， 综上可得，. 12．已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. (1)求椭圆E的方程； (2)如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； (3)如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可求得椭圆E的方程； （2）通过直线PA和PC的直线方程可表达出点M的纵坐标和点N的横坐标，从而可得，，再由四边形的面积公式化简即可得证. （3）分类讨论点Q是否在x轴上，当点Q不在x轴上时，通过设点运算可得点，点，再通过待定系数法化简运算即可求出该定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）设 ，则， 又，所以直线PA的方程为. 令 ，得，从而. 直线PC的方程为. 令，得，从而. 所以四边形的面积 =2. 从而四边形的面积为定值. （3）直线GH过定点，理由如下： ①当点Q在x轴上时，直线GH为x轴，过点. ②当点Q不在x轴上时，由题意可设，，，直线 ， 将直线方程代入椭圆E的方程得， 则，则点， 设直线 ，同理得点. 又点 为直线AG与直线BH的交点，则. 由两点式得直线GH的方程为:， 令 ，得， 故直线GH过定点. 13．已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆的定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程； (2) （i）设出直线的方程，结合韦达定理，由面积计算，利用换元法和基本不等式计算即可得出结果； （ii）由，可知直线的倾斜角互补，所以， 即点在线段的垂直平分线上，则依次求解，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为线段的垂直平分线与半径相交于点，所以. 又因为，所以，所以， 因为，， 所以的轨迹是以为左右焦点的椭圆. 所以，所以的方程为. （2）（i）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由 消去得：， 则，，则且， . 点到直线的距离， 所以面积 . 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由， 消去得：， 则，则且， . 点到线的距离， 所以面积 . ， 即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是，，. ，. ， 于是， 因为， 所以. 所以的值1. 14．已知椭圆的离心率为，为C上一点． (1)求C的方程． (2)过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，记（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为，． （ⅰ）求S的取值范围； （ⅱ）求证：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上列出等式求解即可； （2）（ⅰ）设直线AB的方程为，，，，联立椭圆方程，由，求得，再通过换元，结合对勾函数单调性即可求解；（ⅱ）法一：求得，．结合斜率公式得到化简即可；法二：令，由题知，，得到代入化简即可. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为． 由题意知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知． 设直线AB的方程为，，，，如图所示： 联立，消去x，得， 所以， 且，， 可得， 令，则， 所以，由对勾函数的性质可得在时单调递增， 所以，即S的取值范围为． 方法一：易知，所以， 可得，． 所以 ， 因此，为定值． 方法二：不妨令，由题知，， 所以 ， 因此，为定值． 15．已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先求出点，利用对称性求得，写出的面积表达式，利用二次函数的性质即可求得面积最大值； （3）根据图形对称性，设的外接圆圆心，求出其半径，写出外接圆方程，代入点，求得，化简圆的方程，利用直线的方程求得点，将代入圆的方程，推得，证明点在该圆上即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故的方程为； （2）依题意，点关于轴对称，将代入，解得， 因点在第一象限，则，， 的面积为， 因，则当，即时，取得最大值为； （3）因关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：，         因点在该圆上，代入圆的方程解得，则的外接圆方程为：（*） 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆. 16．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求的方程； (2)若动直线与交于点A，B，，分别为的左、右顶点，直线交于点，求证：点恒在某圆锥曲线上； (3)已知直线与交于两点，直线与直线分别交于点，若平面内存在一点，使得四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由点在椭圆上结合离心率为可得椭圆方程； （2）设，，， 由由，，A三点共线结合，，B三点共线可得，，随后将两式相乘并整理后可完成证明； （3）设，，将直线与椭圆方程联立可得， 随后可由题确定的纵坐标，由可得，则线段的中点坐标为，最后利用线段的中点坐标也为可得答案. 【详解】（1）将的坐标代入的方程得， 因为的离心率为，所以，即， 由，得，， 所以的方程为. （2）由（1）知，， 设，，则，且，即， 由，，A三点共线得， 由，，B三点共线得， 两式相乘得，即， 所以点恒在双曲线上. （3）设，，易知，， 由，得， 则，得， 所以，，故. 直线的方程为， 令，得， 同理得， 所以， 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为，由于， 可得. 17．已知圆，动直线与圆交于两点，且，点，到直线的距离分别为，动点满足，，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)记为圆上一动点，过点作曲线的切线. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，记与曲线的切点分别为，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据圆的弦长与圆心到直线的距离关系，结合椭圆的定义求出曲线的方程； （2）（i）利用切线与椭圆的位置关系，通过联立方程，根据判别式为0得到切线斜率的关系，从而证明两切线垂直；（ii）先求出切线方程，再联立切线方程与椭圆方程求出切点坐标，最后计算三角形面积. 【详解】（1）设点到直线的距离为， 则，得. 因为点为的中点，所以， 由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为，则，，故，， 所以曲线的方程为. （2）（ⅰ）设，当中有一条的斜率不存在时，不妨设的斜率不存在， 则的方程为，由与曲线相切，知， 将代入圆的方程得. 由于直线与曲线相切，故的方程为，此时. 当的斜率都存在时，，设的斜率分别为， 故过点的曲线的切线方程为（其中取或）， 则，消去得，. 则， 即，易知为此方程的两个根. 由及根与系数的关系知，故. 综上所述，. （ⅱ）设，， 易知的斜率都存在，设， 联立方程，得， 消去得，. 则 ， 即. 由知，，， 则，解得， 故. 同理可得. 由均过点，得，， 所以点的坐标满足方程，即直线的方程为. 联立直线与椭圆的方程得，消去得，. 由根与系数的关系知，， 所以. 又点到直线的距离， 所以， 即的面积为. 18．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 19．“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点. (1)在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时， （i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标； （ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值； (2)在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程. 【答案】(1)（i），最大值，； （ii）当所在直线与该圆相切时，最大， (2) 【分析】（1）（i）利用两直线夹角公式表示，化简换元利用二次函数性质求最大值. （ii）用相对运动观点分析几何条件，找到当所在直线与该圆相切时，最大，即可得解. （2）将椭圆放在新坐标系中，写出椭圆方程，利用椭圆与坐标轴相切得，进而得到原坐标轴所在两直线斜率的关系，进而得到椭圆中心点的轨迹方程. 【详解】（1）（i）如图1，由 可知， 所以    又且， 则， 设， 则， 故当且仅当即时，有最大值，此时点为； （ii）如图2，视点固定，点为动点时，可等同于原坐标轴绕旋转， 故点在半径为1的圆上运动， 当所在直线与该圆相切时，最大，此时， 即，与（i）中结果一致. （2）如图3，用“相对运动”的思想，可以视是定点，且为新的坐标原点，    让椭圆长轴落在新轴，短轴落在新轴，易知椭圆方程为， 此时点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线的交点， 设为，当斜率均存在时，设两斜率为， 故的方程为， 与联立消有：， 其， 化简有：， 上式整理为关于的二次三项式：， 同理， 故为关于的方程的两不等实根， 于是，则； 当分别平行坐标轴时，易知可取，也满足. 综上可知，在新坐标系下，点始终与点距离为定值， 还原至原坐标系，点也始终距离点为定值， 但由于点始终在第一象限， 则点所在轨迹方程为，表示一段椭圆弧. 20．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; (2)在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； (3)当 时，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)，最大值为3 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的等边三角形可得的值，结合的关系即可得结果； （2）由两点间距离公式结合二次函数最值计算可求最小值，结合椭圆的定义可求的最大值； （3）将和分别用表示，结合即可得结果； 【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形， 所以，，， 所以，， 故“果圆”的方程为，； （2）由（1）可知：， 可设，满足， 则， 因为，由二次函数的性质易知：当时，取得最小值， 即， 因为，所以，当三点共线取等号， 又，所以，即最大值为3； （3）又，，，因此， 因为，所以，即，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以. 专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三下·全国·竞赛）给定椭圆：（其中）和直线：交于点、（其中点的横纵坐标分别满足，），点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶点，若直线平分线段，且的长度为4，则的值为（    ） A．14 B．68 C．40 D．49 【答案】B 【分析】设，根据题意可得的中点在直线PM上，即可将的中点坐标代入直线PM方程，化简可得，结合的长度为4，求出，即可求得答案. 【详解】由题意可知P点在第二象限，则Q在第四象限，设， 结合题意知，且， 由于直线平分线段，故的中点在直线PM上， 直线PM的方程为，将的中点坐标代入， 得，化简可得，结合， 解得，故， 故， 故选：B 2．（2024高三下·全国·竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的参数方程得到，结合点到直线的距离公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即在的椭圆上， 而由椭圆的参数方程得(是参数)， 所以，因为，所以为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由三角函数性质得当时，最大， 此时，故A正确. 故选：A 3．（2018高二·全国·竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围. 【详解】设过椭圆焦点，的两条互相垂直的直线的交点为P，即， ∴， ，即. 故选：B 4．（2016高二·全国·竞赛）已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当动圆与两定圆都内切时，结合椭圆定义、离心率公式得，当动圆与两定圆分别内切，外切时，结合椭圆定义、离心率公式得，注意到，由“乘1法”基本不等式即可求解. 【详解】设动圆半径为R，圆． （1）当动圆与两定圆都内切时，如图①，    则，故； （2）当动圆与两定圆分别内切，外切时， 如图②， 则，此时. ． 注意到，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是通过得出，由此即可顺利得解. 5．（2012高二·全国·竞赛）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心坐标公式结合韦达定理计算即可. 【详解】设点，椭圆右焦点为, ∴， 设的方程为，代入椭圆方程， 得：， ①，②， 联立①②得，即的方程为，满足. 故选：A． 6．（2008高二·全国·竞赛）在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据正弦定理化简得到，再根据点的轨迹即可得到面积最大值. 【详解】因为，所以， 所以点的轨迹是以点为焦点，长轴为8的椭圆. 所以当且仅当点是椭圆的上下顶点，最大，面积最大值为. 故选：A. 7．（2009高二·全国·竞赛）以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正六边形的性质得到，再利用椭圆的定义得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，， 四个不同的点， 由题意知，则由正六边形的性质可得，． 由椭圆定义得， 所以， 故选：C. 8．（2007高二·全国·竞赛）已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先化为椭圆的标准方程，根据方程表示椭圆，以及原点在椭圆内，建立不等式即可求解. 【详解】椭圆的方可化为① 一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，. 另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得. 综上可得或. 故选：C 9．（2007高二·全国·竞赛）若方程表示一条非圆的二次曲线，则它表示（    ）． A．椭圆 B．双曲线 C．焦点为的抛物线 D．焦点为的抛物线 【答案】A 【分析】用x换为，方程不变，说明y轴是曲线的对称轴，方程中y换为，方程不变，说明x轴也是曲线的对称轴，再利用特殊值，判断选项. 【详解】方程中x换为，方程不变，说明y轴是曲线的对称轴； 方程中y换为，方程不变，说明x轴也是曲线的对称轴． 由此可推断，它表示椭圆或双曲线，且是标准的圆锥曲线． 当时，；当时，．故它表示椭圆. 故选：A. 10．（2007高二·全国·竞赛）椭圆上的任意一点到焦点距离分别为、，焦距为．若、、成等差数列，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义可得，即可由离心率公式求解. 【详解】根据椭圆定义可得，所以，则． 故选：A 11．（16-17高三·北京·强基计划）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用等积法可求的内切圆面积的范围，从而可得正确的选项. 【详解】设，，根据椭圆的定义可得： ，，而， 所以. 设内切圆半径为r，因为， 所以， 设直线的方程为， 由，消去并整理得：. . 设，则， ，单调递增， 当时，， ，. 设的内切圆面积为，则，于是选项A符合题意． 故选：A. 12．（17-18高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求面积的最小值. 【详解】设点，由于点M在椭圆上，所以， 由切点弦方程， 所以， 由于， 当时，上述不等式取等号，取得最大值3，此时面积取得最小值． 故选：B. 13．（17-18高三·北京·强基计划）设实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】利用三角换元，结合辅助角公式即可得解. 【详解】因为x，y满足， 令， 则，其中，且为锐角， 易知，则， 于是的取值范围是． 故选：B. 14．（18-19高三·北京·强基计划）已知椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则（    ） A． B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用焦点三角形面积公式可求，故可求的值. 【详解】设椭圆的两个焦点分别为，根据题意，的周长为16， 而其内切圆半径为1，因此的面积为8． 根据椭圆的焦点三角形面积公式，有， 因此． 故选：C. 15．（20-21高三·北京·强基计划）已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可求. 【详解】如图，根据题意，有，且． 由角平分线定理和椭圆的定义，有 因此是以为斜边的直角三角形， 进而可得，因此． 16．（19-20高三·湖北武汉·强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形OMPN是平行四边形，得到为定值，然后将取特殊位置，求解. 【详解】如图所示：   ， 易知由四边形OMPN是平行四边形， 所以为定值， 取点时，由 ，解得 ， 所以，由对称性得：， 所以， 取点时，由 ，解得 ， 所以，由对称性得：， 所以， 所以 ， 即， 故选：C 17．（22-23高二上·福建莆田多选题）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    18．（19-20高三·北京·强基计划多选题）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【分析】利用椭圆的定义可求的最值. 【详解】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 19．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 【答案】1 【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定为中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，进而确定当位于轴时取得最近距离. 【详解】由题意知： ， 设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点， 由椭圆定义知： ， 分别为 和 中点， ， 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知： 短轴端点为 ， 当点 在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为： 1 .    20．（2024高二下·广西·竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由椭圆的定义及余弦定理得，，求解． 【详解】如图： 令，，， 则，． 在和中， 由余弦定理可得，． 故．（1） 在，中，由余弦定理可得 （2） 由可得．（3） 由（2）（3）可得，从而． 代入（1）可得，． 因此． 故答案为： 21．（2024高二下·内蒙古·竞赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 22．（2007高二·全国·竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，，由中点坐标公式得，，根据段MN的长为得，代入化简即可求得轨迹方程. 【详解】设，，则，， 由题意，， 又，则， 即，所以， 整理得. 故答案为： 23．（2010高二·全国·竞赛）一圆形纸片的圆心为点，点是圆内异于点的一个定点，点是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕与交于点，当点运动时，点的轨迹是 ．（只需填曲线的名称） 【答案】椭圆 【分析】 根据圆的几何性质结合椭圆的定义，即可判断出答案. 【详解】由题意知点是圆内异于点的一个定点，则圆的半径， 则， 点的轨迹为椭圆， 故答案为：椭圆 24．（2010高二·全国·竞赛）直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与椭圆相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设出直线的方程与椭圆方程联立，根据直线与椭圆的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】直线方程为， 由消去得的一元二次方程为， 因为直线与椭圆相切，所以由，而， 当且仅当，即当时取等号， ． 故答案为： 25．（2011高二·全国·竞赛）若点在椭圆的左准线上，过点且斜率为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何性质求反射光线所在直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】入射光线为，关于的反射光线的斜率为，且点关于直线的点为 ， 所以反射光线所在直线方程为，为，且在左准线上，左焦点在反射光线上，则， 解得，则． 故答案为： 26．（2011高二·全国·竞赛）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      【答案】椭圆 【分析】由题意点到直线的距离为定值，由平面与圆柱面的截面性质的判断即可得解. 【详解】依题意知点到直线的距离为定值， 若忽略平面的限制，则点的轨迹为一个以为轴的圆柱面， 即点的轨迹为一个以为轴的圆柱面与平面的交线， 且平面与圆柱的轴斜交， 由平面与圆柱面的截面性质的判断可得，平面截圆柱面所得的曲线即点的轨迹形状为椭圆． 故答案为：椭圆. 27．（2008高二·全国·竞赛）已知椭圆，其离心率是椭圆上两点，为的垂直平分线，交轴于点的中点为，则 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用点差法求出直线的斜率，再结合已知建立方程求出. 【详解】由，得，则，设， ，两式相减得， 直线的斜率，而直线的斜率， 由，得，则，解得． 28．（2008高二·全国·竞赛）已知圆过的两焦点，，且它们有4个交点，其中1个交点为，若面积为26，椭圆长轴为15，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意设出点的坐标，再代入椭圆方程即可得到关于的二次方程，即可解出的值得到答案. 【详解】因为点同时在圆和椭圆上，且，故． 圆过的两焦点，即有，    设OP的倾斜角为，则， 且， 又点在椭圆上，故①， 将代入①， 得， 整理得关于的二次方程， 解得，于是，， 故答案为： 29．（2008高二·全国·竞赛）若与相交于A、B两点，且在AB线段上存在一点，使(为原点)，OM倾斜角为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量关系可得为中点，即可根据中点坐标公式可得，根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】由知为中点．设，则， 所以 故答案为： 30．（2010高二·全国·竞赛）已知，则当取得最小值时椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可求取得最小值时的条件，再由椭圆离心率公式求解. 【详解】由，得， 即，所以， 当且仅当时取“”， 此时，则. 故答案为：. 31．（2007高二·全国·竞赛）已知是椭圆上的一点，点､分别是椭圆的左，右焦点，点在上，且，那么点分有向线段所成的比是 . 【答案】 【分析】由两点间的距离可得，由椭圆的定义可得，由求解即可. 【详解】解：由题意可得､， 因为， 由椭圆的定义可得， 故所求比为. 故答案为： 32．（2007高二·全国·竞赛）实数x、y满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，表示椭圆上的点到点的距离的平方减1，当P为时取得最大值，代入求解即可得出答案. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，且， ， 表示椭圆上的点到点的距离的平方减1， 当P为时取得最大值． 故答案为：. 33．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，由此可得点坐标（用表示），结合斜率公式即可得解. 【详解】不妨设，又，由题意，， 解得，所以. 故答案为：. 34．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为 . 【答案】10 【分析】先求出的方程，从而求出公切线，再联立公切线方程和椭圆方程后利用判别式为零可得，结合在椭圆上可求基本量，故可求焦距. 【详解】因为与有唯一的公共点且与轴、轴均相切， 故圆心在第一象限，故设圆心为， 故的方程为：， 所以，解得或. 因为在内，故，故原的方程为， 因为与有唯一的公共点，且圆心在椭圆内， 故与在处有公切线， 故，故，故的方程为：， 由可得， 整理得到：， 故， 整理得到：，而， 解得，，从而的焦距为. 故答案为：10. 35．（2022高三·浙江金华·竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆在第二象限交于点，交轴于点.设点，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据题设条件可得，再联立直线方程和椭圆方程，求出点的横坐标后求出弦长，再根据点点距可得，从而得到关于的方程，求出其解后可得的值. 【详解】设，椭圆的上顶点为，左焦点为，则. 因在第二象限且，故. 由可得， 因为在第二象限且，故， 又 . 又 . 而，故， 所以，解得（负解舍去）. 故答案为：. 36．（23-24高三下·全国·强基计划）在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为 ． 【答案】65 【分析】设，由题意可得直线OA的方程为，表示出的面积，设，，则代入化简讨论即可. 【详解】设，直线OA的方程为，即， ， 设，则，， 代入并化简得， 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 根据对称性，当时，也分别有5个整点． ∴共有65个整点． 故答案为：65 【点睛】关键点点睛：此题考查点到直线的距离公式的应用，解题的关键是根据题意表示出的面积，由的面积不超过3，列不等式讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 37．（2024高一下·海南海口·竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率与间距离列式求解即可； （2）连接交轴于点E，表示出、、的坐标，利用，列式求范围. 【详解】（1）由已知，，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）连接交轴于点E， ，的直线方程为，联立椭圆方程，有， 则，或，则点的横坐标为， 把带入中，求得点的纵坐标为， 所以点坐标为， 由于、关于轴对称，所以点坐标为， 因为、、共线，设，， 则，解得，所以点坐标为， ， ， ，，由对勾函数可知， 所以，， ，故. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系，关键在于点坐标的假设与求解，需要用的椭圆的对称性，进而表示出的面积再求解范围. 38．（2024高二下·吉林·竞赛）已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点在坐标轴上. 圆 的圆心为坐标原 点 ，过点 且倾斜角为的直线与圆 相切. (1)求圆 的方程; (2)过圆 上任意一点 作圆 的切线，与椭圆 交于 两点，均有 成立. 判断椭圆 是否过定点? 说明理由. 【答案】(1) (2)椭圆 必过定点 ，理由见解析. 【分析】(1)利用圆的标准方程结合点到切线的距离等于半径求解出半径的值,从而求出圆的标准方程. (2)利用过点 的圆 的切线方程为，结合和韦达定理得到得到定点的坐标. 【详解】（1）设圆 . 过 ，倾斜角为的直线方程为 . 又直线 与圆 相切. 所以 ，即 . 所以圆 的方程为 . （2）设椭圆 . 又过点 的圆 的切线方程为 . 联立 得 . 设 则 所以 . 由 ，得 . 即 ，又 . 所以 . 所以 . 所以 . 又上式对任意的 均成立. 故 . 所以椭圆 必过定点 . 39．（2010高二·全国·竞赛）已知椭圆，过原点且倾斜角为和的两条直线分别交椭圆于、和、四点． (1)用、、表示四边形的面积； (2)若、为定值，当时，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可知四边形为矩形，将四边形的面积转换为，直线与椭圆联立，求出、，即可. （2）由第一小问结论，结合与的大小关系，讨论最大值. 【详解】（1）过原点且倾斜角为的直线为，由方程组， 可得：，． 所求 ． （2）令， 当，即时，， 此时（当且仅当时取等号）； 当，即时，在上是减函数， ， 此时． 综上所述：. 40．（2007高二·全国·竞赛）已知椭圆的短轴上端点为P，过点P作椭圆互相垂直的两弦.连接，试求点P在上的射影Q的轨迹方程. 【答案】 【分析】设与方程与椭圆联立得M、N坐标，再由点斜式表示方程，分类讨论结合两直线位置关系求Q轨迹方程即可. 【详解】易知，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，    由， ∴或， 于是M点坐标为. 同理N点的坐标为. ∴. ∴直线的方程为. 即.① 当时，直线的方程为，此时； 当且时，直线的方程为.② 由①②消去，得Q的轨迹方程为， 即. 综上，点Q的轨迹方程为. 41．（2013高二·全国·竞赛）已知、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)记点，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合相关点法即可得解； （2）利用向量数量积的定义与坐标运算，进行转化运算即可得证. 【详解】（1）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，， 由得到：，， 又①，②， 而，，③， 由①+②+2×③得， 所以轨迹的方程是：． （2）因为，为轨迹的两个焦点， 所以，设， 则， 又， 所以， 因为， 所以． 所以无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数． . 42．（2024高三下·上海·竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】 【分析】先考虑的中点到原点的距离以及线段的长度，进而可将命题转化为求的最大值，最后可求出的最大值. 【详解】如图,记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上,则 又,,即当点位于椭圆上时,取得最大值. 令,则点在椭圆上. 易知,等号成立时当且仅当. 于是椭圆上的点,除点外均在椭圆的内部. 综上所述,的最大值为. 故答案为：. 43．（2013高二·全国·竞赛）在直线上任取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程． 【答案】P点坐标为， 【分析】 先求关于直线的对称点，再由两直线相交求出点P的坐标，最后结合两点之间线段最短和椭圆的定义解出椭圆方程. 【详解】 椭圆的焦点，在l同侧，作关于l的对称点，连接，则与l的交点即为所求点P，连接，，设， 则得， 所以的方程为，将其与联立，得 即P点坐标为，此时，， 所以长轴最短时，，，， ∴椭圆的方程为． 44．（2011高二·全国·竞赛）在中，分别是内角的对边，成等差数列，且，． (1)求顶点的轨迹的方程； (2)是否存在直线，使得过点且与曲线交于不同的两点，且？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可求轨迹方程； （2）首先设出直线，再根据弦长公式，求直线方程，并根据交点坐标验证是否存在直线. 【详解】（1）成等差数列， ，即， 又，顶点的轨迹方程为． （2）设点，且点为椭圆的两个焦点， 若垂直于轴，则，故不垂直于轴， 设的方程为，与椭圆方程联立，并消去得，① ，， ，解得， 代入①式得，解得， ，不存在这样的直线． 45．（2014高二·全国·竞赛）已知椭圆：经过点，左、右焦点分别为点、，离心率，点，是直线上的两个动点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出即可； （2）设出点的坐标，利用条件得到纵坐标之间的关系，用坐标表示弦长后化为单变量，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由题意得：，得， 椭圆的方程为． （2）因为点，是直线上，设点，， 又由（1）知，, 则，， 又，则，∴， 又因为． 当且仅当即时，等号成立， 则的最小值为． 46．（2024高三上·全国·竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）根据开普勒第三定律以及，结合离心率的计算公式即可求解， （2）根据切线方程可得，的方程，进而可得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设分别为地球、火星的公转周期. 由开普勒第三定律得 ,又， ， 因此 （2）存在. 证明：设， 首先证明切点为,曲线的切线方程为， 设切线上任意不同于点的点， 由于,所以， 由于， 两式子相可加得，得证. 由与相切可知, 直线的方程为，(*1), 由与相切可知, 直线的方程为 (*2) 由于点在直线，上， 所以且， 因此均满足 所以直线的方程为                                               取， 则到的距离为 ， 接下来证明椭圆的焦半径公式： 对于椭圆的两焦点，相应的准线方程分别是和. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴同理有, 化简得 因此 故 故始终与圆相切. 【点睛】结论点睛：①切点为,曲线的切线方程为， ②椭圆的焦半径公式. 47．（17-18高三·北京·强基计划）如图，已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆与直线相切． (1)求椭圆的方程． (2)设椭圆的左右顶点分别为，若直线与x轴交于T点，点M为直线l上异于点T的任意一点，直线分别与椭圆交于P，Q两点，连结的直线l与交于N点．是否存在t，使得直线与以为直径的圆总相切？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，直线与以为直径的圆总相切，理由见解析. 【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程后，利用判别式为零可求的值，故可求椭圆方程； （2）先证明两个引理， “当时，直线恒过右焦点” 和 “当时，以为直径的圆与相切于点F”，据此可得时，直线与以为直径的圆总相切. 【详解】（1）由可得，整理得到： ，故， 所以，而，所以， 解椭圆方程为． （2）记c为椭圆的半焦距，下面证明当时符合题意，即存在满足条件的t，且． 只需要证明如下两个引理． 引理一  当时，直线恒过右焦点． 证明  设，联立直线与椭圆方程，有， 而直线与直线， 因此只需要证明， 即， 根据韦达定理，命题成立． 引理二  当时，以为直径的圆与相切于点F． 证明  设的中点为R， 则根据椭圆的斜率积定义，有， 于是 ， 且 ， 因此命题得证． 综上所述，存在符合题意的t，且． 48．（18-19高三·北京·强基计划）已知非负实数x，y满足，求的最小值． 【答案】 【分析】考虑的图象后可得不等式，据此可得目标代数式的最小值. 【详解】在区间的图象为椭圆在第一象限中的图形. 由图象可得：， 等号当以及时取得，因此， 等号当或时取得，因此所求最小值为． 49．（16-17高三·北京·强基计划）已知曲线，试证明：对的任意直径，均存在上的动点P，使得均与相切． 【答案】证明见解析 【分析】原题可转化为：过曲线上任意一点作的两条切线，这两条切线互相垂直， 【详解】欲证命题即过曲线上任意一点作的两条切线，这两条切线互相垂直． 设过点的椭圆的切线为， 其与椭圆的切点为，故切线又为：， 故类比后有：，故， 故， 故，而， 此方程的两解， 可得两条切线互相垂直，命题得证． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$