专题02 直线和圆的方程（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）
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内容正文：
2025新高考高二直线和圆的方程易错培优竞赛试题
【专题目录】
专题一：名校直线和圆的方程易错题精选
专题二：名校直线和圆的方程培优题精选
专题三：直线和圆的方程全国高中数学联赛强基计划精选试题
【精选练习】
专题一：名校直线和圆的方程易错题精选
1．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线的方程可以判断直线过定点，恰好为圆心，所以，且，从而得，由，换元即可得到取值范围，进而得到的取值范围.
【详解】由得，所以圆心，半径
由得，
由得，所以直线过定点，即为圆心，
所以是圆的直径的两端点，所以，且，
，
因为，所以，
，
令，则，
所以当时， 取得最小值；当时，取得最大值，
所以，
故选：C.
2．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
3．已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设，，由向量关系可得，代入圆的方程即可得到，再由两点间距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设，，且，
由可得，即，
将代入圆方程可得，
即，化简可得，
将代入可得，解得，
则，
所以.
故选：D
4．（多选题）已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点作曲线的切线，切线长为
B．当三点不共线时，
C．在上存在点，使得
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线， 即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.
【详解】设P点坐标为，由，则，化简得
，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆.
A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确.
B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确.
C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距
，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误.
D选项，因为，所以，故D错误.
故选：AB.
5．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ）
A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4
B．若直线被圆截得的弦长为2，则
C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则
D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1
【答案】BC
【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值；B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆上有且只有两个点到的距离，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论.
【详解】由题意，
的三个顶点坐标分别为，，
在圆中，，半径
，
A项，
过作圆的切线，切点为，如图所示，
∴,
在中，由勾股定理得，
∴
∴当时，取最小值，，故A错误；
B项，
重心坐标即,
所在直线，即
线段的中点,
∴的垂直平分线为：，
同理可得，的垂直平分线为：，
，解得：，
∴外心
由几何知识得，垂心与外心重合，
∴过和，，即，
直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，
∴直线过圆心，
∴，即，B正确；
C项，圆上有且只有两个点到的距离都为1，
∴圆心到直线即的距离小于直径.
∴，解得：，故C正确；
D项，由几何知识得，
圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误；
故选：BC.
6．（多选题）已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为
B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B，利用选项A可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C，根据条件找到最大角，进而得最大角小于，即可求解；对于D，根据条件得到，再求出，即可求解.
【详解】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.
则，，
所以，故选项A正确；
对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径的圆上，又原点到的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形，
此时最小，最小值为，又，故此时最大，且，
则，所以，则，故选项C错误；
对于选项D，，
当，，，共线，且在，之间时取等号，，
所以的最小值为，所以选项D正确，
故选：ABD.
7．（多选题）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ）
A．圆O与直线l相离 B．存在最小值
C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形
【答案】AB
【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C；根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，正确；
对于C，由垂直平分得，，
则，当且仅当时取等号，
所以不存在最大值，错误；
对于D，由A可知，，若为直角三角形，则，
从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误.
故选：AB
8．（多选题）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.
【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率，
，即，为直角三角形，A正确；
对于B，直线的斜率，点共线，B错误；
对于C，在中，，，
，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD
9．（多选题）已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心在定直线上 B．圆的面积的最大值为
C．圆的半径的最小值为1 D．满足条件的所有圆的半径之积为8
【答案】AB
【分析】由直线与圆的相切，可判断A正确；结合弦长可求得圆心的坐标，进而可判断B正确，C、D错误.
【详解】由圆与直线相切于，
所以直线与直线垂直，
所以直线的斜率为1，则点在直线，即上，故A正确；
设，则圆的半径，
又圆被轴截得的弦长为2，
所以，解得或．
当时，圆的面积最大，为，故B正确；
当时，圆的半径最小，为，故C错误；
满足条件的所有圆的半径之积为，故D错误．
故选：AB.
10．（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线经过的整数点个数为4个
C．的取值范围均为
D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，将已知点代入方程，可得正误；对于B，利用赋值法，由一元二次方程，可得正误；对于C，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得正误.
【详解】对于A，将与代入方程，可得，故A正确；
对于B，由A可知曲线，当时，，解得；
当时，，解得或或；同理可得当时，或或；
当，，时，，即，
由，则方程无解，
综上可得曲线经过的整数点有，，，，，，
，，共个，故B错误；
对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程，
则，解得，
同理可得，故C正确；
对于D，，当且仅当时，等号成立，
由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相交
B．若直线与圆相切，则
C．圆上一点到直线的最大距离为
D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则
【答案】AC
【分析】易知圆心，半径，由选项，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和两点之间的距离公式依次计算即可求解.
【详解】A：当时，直线，圆的方程可化为，
所以圆心，半径，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，故A正确；
B：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故B错误；
C：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离，
则圆上一点到直线的最大距离为，故C正确；
D：因为圆上恰好有三个点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离，解得或，故D错误.
故选：AC.
12．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解.
【详解】如下图所示：
点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为，
由于为轴上的动点，由对称性知，
所以，
当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
13．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ．
【答案】或，
【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程.
【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点，
所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，
所以，，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
此时直线的方程为或，
故答案为：或，
14．已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 .
【答案】
【分析】先确定点的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定的最大值.
【详解】如图：
因为直线过点，
设直线与圆相交于两点，为中点，则.
当点重合时，在中，为中点，所以.
所以弦的中点在以为圆心，1为半径的圆上，易知点也在该圆上.
所以.
故答案为：
15．已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线是否过圆心进行分类讨论，结合直线与圆的相关性质即可求解.
【详解】当直线过圆心时，两条切线平行，所以夹角为0，
当直线不过圆心时，如图，设两条切线交于点，则，
设点到直线的距离为，因为直线过点，所以
当时，直线斜率不存在，不符合题意，
所以，则，，综上，两条切线夹角的取值范围是.
故答案为：.
16．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，
由圆的几何性质可知，，
且，即，即，
当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值，
故.
故答案为：.
17．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据圆和圆的位置关系列式结合两点间距离及点到直线距离计算求参.
【详解】由题意得圆心的坐标为，半径为1，
设直线上的点满足条件，
则以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，即两圆相交或相切，
所以，
所以点到点的距离小于等于2，
即点到直线的距离小于等于2，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为： .
18．已知为圆上一点，，则的最小值为 ．
【答案】34
【分析】设出，利用两点间距离公式表示，结合点与圆的位置关系得到，进而求出最值即可.
【详解】如图，设点为坐标原点，圆心为，半径为，
则，
因为，所以原点在圆外，且，
则，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立．
故．
故答案为：34
19．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1，
由两圆有公共点，得，
，当且仅当时取等号，
当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点，
所以当取到最小值时，的值为1.
故答案为：1
20．如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值.
【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率，
令，得直线：，
观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，
此时，因此，解得，所以的最小值为.
故答案为：
专题二：名校直线和圆的方程培优压轴试题精选
1．今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，则，则直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，解不等式即可.
【详解】设，则，因点在圆上运动，且在直线上，
则直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，解得或，
故的取值范围是.
故选：D．
2．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围.
【详解】由表示圆的上半部分，如下图，
当圆心到直线的距离，可得或，
若时，，若时，，
当直线过点时，有，可得，此时，
结合图知，要使曲线存在两个点与直线的距离为3，且，即直线必在的右下方，
所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，
与的距离，则，
与的距离，则，
所以.
故选：B
3．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在坐标平面内存在点，使得恒成立；
②三角形面积的最小值为.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】A
【分析】对于①，注意到，
则可想到当时满足题意；对于②，设，
则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误.
【详解】
，则当时，，，
，
即当时，恒成立，则①是真命题；
设，
则，
又，
则.
因，
则，
则，令，
则，
即，
则
，其中，
，则，
因，则
，
则，
则，故②是真命题.
故选：A.
【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到；
对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围.
4．函数的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】当时，将函数转化为直线上点到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可.
【详解】解：因为，
当时，；
当时，如图所示：
设，于，
则，
由图可知，的最小值为点到直线的距离.
因为直线的方程为，
即，
所以，
故的最小值为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为直线直线上点到直线的距离与到点的距离之和.
5．已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解.
【详解】如图，，解得，
所以，
因这样的点有且仅有一个，由图知此时，
则圆心到直线的距离为6，
即，化简得，其中，
，则，
，
所以，即，则直线的斜率为，
所以直线，即，
联立，解得，即，
因的中点坐标为，且，
则以为直径的圆的方程为 ，
整理得，
易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得，
故直线的方程为.
故选：B.
6．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过
C．曲线与有8个交点
D．曲线所围成图形的面积小于2
【答案】C
【分析】对A，在方程中，以替代方程不变，可判断；对B，由基本不等式求解判断；对C，易得曲线在的内部，作出图象判断交点个数；对D，易求围成的正方形面积为2，又曲线在的内部，得解.
【详解】对于A，在方程中，以替代方程不变，所以曲线关于轴对称，
同理，以；替代方程均不变，所以曲线关于轴，坐标原点对称，如图，故A正确；
对于B，曲线上点到轴的距离为，到轴的距离为，
由，当且仅当时取等号，
，故B正确；
对于C，在第一象限内，，所以曲线在直线的下方，
所以两者有4个交点，分别为，故C错误；
对于D，如图，围成的正方形面积为，
所以曲线围成图形的面积小于2，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程分析曲线在第一象限的性质.
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，分别求出所过的定点，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可.
【详解】当时，，，此时，交点为，
当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以，
综上，，
，所以直线恒过点，
，所以直线恒过点，
由P为，的交点，则，
设，连接EF，
则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点，
半径为，故P的轨迹方程为，
根据题意作图，如图2所示，
由题意可知圆C上一点，满足，取，
则，满足，
下面证明对任意的，连接PD，都满足，即，
，
，
所以，
连接DQ，所以，
又，所以，
当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号．
故选：D．
【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可.
8．（多选题）已知圆：（），直线，则（ ）
A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切
B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点
C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切
D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切
【答案】BD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得圆心为，半径为，利用点到直线的距离公式，得到圆心到直线为，即可判断选项A和B，再利用直线和圆相切的条件，对C，取，即可判断，对于D，因为存在确定的角，使，即可求解.
【详解】因为圆：（）的标准方程为，圆心为，半径为，
又圆心到直线的距离为，其中，
因为，所以选项A错误，选项B正确，
若直线与圆相切，则有，得到，则，
对于选项C，当，显然不存在实数，使，所以选项C错误，
对于选项D，因为对任意满足条件的实数，总有确定的角，使，
则必然实数存在，使，所以选项D正确，
故选：BD.
9．（多选题）若曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．若曲线与直线有公共点，则
C．曲线上任意两点之间距离的最大值为
D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】通过配方得到，进而得到对应曲线，结合曲线逐项判断即可.
【详解】由，得，易知曲线位于四个象限的图象分别是以，，，为圆心，为半径的半圆弧，如图所示.
选项A：曲线围成图形的面积为，（提示：通过观察图形，可得曲线围成的图形由一个边长为的正方形和四个半径均为的半圆组成）
故A错误；
选项B：若直线与曲线在第四象限相切，则，，（提示：直线与曲线在第四象限相切，即直线与圆心为，半径为的圆在第四象限相切）
得，由对称性可得直线与曲线在第二象限相切时，，数形结合可知若曲线与直线有公共点，则，故B正确；
选项C：连接，则曲线上任意两点之间距离的最大值为，故C正确；
选项D：若圆能完全包围曲线，则的最小值为，D正确.
故选：BCD
10．（多选题）若，满足且的点构成的区域记为.满足且的点构成的区域记为，则（ ）
A．的面积为16 B．的周长为
C．的面积为 D．的周长为
【答案】AB
【分析】根据曲线方程求出表示的曲线，进而画出不等式所表示区域，结合图形的对称性求出面积和周长，逐项分析即可.
【详解】由得，
所以或或，表示两条相交直线和一个圆，
由，当，方程为；
以代替x方程不变，曲线关于y轴对称；以代替y方程不变，曲线关于x轴对称；
以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称；
所以曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；
所以方程的曲线围成的封闭图形是一个
以、、、为顶点的正方形．
满足且即，
则或；
所以满足且的点构成的区域如图1阴影部分.
其的面积为，
的周长为，故AB正确；
满足且即，
则或；
所以满足且的点构成的区域如图2阴影部分.
其的面积为，
的周长为，故CD错误；
故选：AB
11．（多选题）已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线C构成的封闭图形面积大于的面积
【答案】ABD
【分析】对于A项，运用点关于关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B项，根据已知条件可得即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，根据已知整点及轨迹图象估算面积判断.
【详解】对于A,设点为曲线上任意一点，它关于轴的对称点是，
将代入曲线方程得，化简得，
此时方程成立，故也在曲线上，则轴是曲线的一条对称轴，故A正确；
对于B，由可得，（当时取等号），
，即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；
对于C，令，解得或，即曲线经过，不含边界无整数解，
由B可知曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，，
令，得，而，故曲线内部有整点3个，
令，得无解，
令，得，即曲线经过，不含边界无整数解，
令，得无解，
因此曲线只能经过4个整点，，，曲线C内部有3个整点，故C错误；
对于D,由上分析，作出该曲线，可见图象包含圆，
所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故D正确.
故选：ABD.
12．（多选题）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（ ）
A．对于任意的正整数n，
B．对于任意的正整数n，为整数
C．存在正整数n，三角形的面积为2025
D．存在正整数n，三角形为钝角三角形
【答案】AC
【分析】根据点坐标的规律，应用分类讨论归纳总结出的坐标，再依次判断各项的正误即可.
【详解】当为奇数时；当为偶数时；
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以对于任意的正整数n，，A对；
当，则，B错；
由，可得，
所以存在正整数n，三角形的面积为2025，C对；
对于任意，其中最大的边为，
其它两边分别为，，
所以，
所以为最大角，且，即为锐角，
所以三角形不可能为钝角三角形，D错.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：根据所得的坐标，确定各点距离为关键.
13．（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若，则圆与轴有交点
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
【答案】ABC
【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D.
【详解】圆的圆心，直线的方程为，即，
由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确；
显然，设点，则，而，
解得，因此圆的圆心，半径为，
圆的方程为，
则圆的方程为，故B正确；
圆的圆心为，半径，
圆心到轴的距离为，
由两边平方得，
，，而
所以当时，圆与轴有交点，C选项正确.
在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误．
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意确定圆的圆心都在直线上，得到，求出圆心坐标，从而确定圆的圆心，半径为，进而确定圆的方程.
14．（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线与直线有3个公共点；
B．的最大值为4
C．曲线所围成的图形的面积为
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断.
【详解】对于A，由，得，
所以，即，
解得或，所以或或，
即曲线与直线有3个公共点，故A正确；
对于B，，
如图所示：
由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，.
令，则，即，
如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大，
由，得，解得，即的最大值为4，故B正确；
对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和，
设弓形的面积为，
在中，，
所以，
所以扇形的面积，
，所以，
所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误；
对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，
由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和，
即，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积.
15．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 .
【答案】
【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可.
【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线，
又，作出图象，如图：
易知，
由，消得到，由，
得到或（舍）（因为时，，不合题意），
所以当时，与（或）相切，
由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意；
当时，直线与曲线没有交点，不合题意；
当时，直线与曲线有1交点，不合题意；
当时，直线与曲线有2交点，不合题意；
当时，直线与曲线有3交点，不合题意；
设直线与曲线相切于点，
联立，消y得，
由
解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意）
当，即时，
直线与曲线有4交点，符合题意；
当时，直线与曲线有3交点，不合题意；
当时，直线与曲线有2交点，不合题意；
综上，k的取值范围为.
故答案为：
16．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题.
【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径.
因为，所以为圆的直径.
设，.
由.
因为为直径，所以，
则.
令，即，且，
当直线与圆相切时，取得最值.
根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或，
所以，则的取值范围是.
故答案为：.
17．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设点，由距离公式得到，则，求出的取值范围，即可得解.
【详解】设点，依题意可得，
即，
则，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
由，解得，所以，则，
所以.
故答案为：
18．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ．
【答案】
【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解.
【详解】函数的图象关于点中心对称，
不妨设直线AC的方程为，
由，得，
解得或或，
则，
同理可得，
由，得，
即，
即，
即，
令，则这两条直线的斜率之和为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可．
19．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
【答案】
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【详解】曲线C：，
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为，
所以曲线C的图象如图所示，
曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为；
到直线的距离，
当，时，曲线C的方程可化为
曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，如图所示，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解.
20． 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
(1)如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
(2)如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
(3)已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
【答案】(1)；，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据d的定义和图形的特征即可求解，再依次求解点，，，和图形的最近距离结合关联点定义即可得解；
（2）先根据d的定义和图形的特征求出d，再根据题意、直线和图形两者结构和位置特征结合关联点定义分析即可求解；
（3）先根据关联点定义求出d，接着根据线段MN和圆T两者结构和位置特征结合点到直线距离分时和时两种情况数形结合并结合d求出两极限的t值即可得解.
【详解】（1）矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与正方形的对角线平行，由已知，，，
设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
（3）由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，
当时，令点T到线段所在直线距离为，
令；
当时， 令，令，
如图：
结合图形，的取值范围是.
专题三：直线和圆的方程全国高中数学联赛强基计划精选试题
1．（2024高三下·全国·竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】求出直线所过定点分析可知，求出点的轨迹方程，再应用直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】直线与直线的交点的轨迹为，
直线方程可化为，
由可得，所以直线过定点，
直线方程可化为，
由可得，所以直线过定点，
设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即，
由直角三角形的几何性质可得，
即，化简可得，
所以点的轨迹为圆，
直线过定点，在轨迹上，
直线与恰有一个交点则直线与圆相切，
过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是1个.
故选：B.
2．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】是抛物线上一点，
到直线的距离为
到点的距离为，
所以
当共线时，取最小值，
最小值为到的距离.
因为，
且的最小值为，
所以的最小值为9，且在交点或处取到，
故选：B.
3．（2007高二·全国·竞赛）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，由正弦定理进行求解.
【详解】如图，∵，，
∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，
设半径为，则，
在中，由正弦定理得，
∴，
又，的倾斜角分别是，
∴，而，
∴.
故选：C
4．（2007高二·全国·竞赛）直线绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆的位置关系为（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
【答案】C
【分析】先求出直线绕原点逆时针方向旋转30°后的直线方程，再由点到直线的距离公式求出则圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出答案.
【详解】直线的倾斜角为，
直线绕原点逆时针方向旋转30°后直线的倾斜角为，
旋转后的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切.
故选：C.
5．（2017高二·全国·竞赛）已知曲线：，曲线：，已知两曲线有三个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相切即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】的圆心为，半径为，
由曲线，解得：或，故曲线表示两条直线，
联立直线与可得，由可得方程有两个实数根，所以与有两个交点，
故直线与圆相切，即，解得，
故选：C．
6．（2016高二·全国·竞赛）过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数为（ ）
A．36 B．37 C．72 D．74
【答案】C
【分析】由圆的方程得到圆心和半径的值，易知点A在圆内，过A点最长的弦为直径 ，最短的弦为与直径垂直的弦，分别求出和的长度，即可确定出弦长为整数的条数.
【详解】
由圆的方程得到圆心，半径，，易知点A在圆内，过A点最长的弦为直径 ，最短的弦为与直径垂直的弦，
连接，在中，，，根据勾股定理，，
设过点A的弦长为，则内的整数共有37个，根据圆的对称性，长度在内且为整数的弦共有（条）.
故选：C.
7．（2015高二·全国·竞赛）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出、、三点的坐标，求出的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的值．
【详解】由题意知，，，，
易知，故直线所在方程为，即，
点到该直线的距离为，
故
，
，
当时，有最大值，此时．
故选：B．
8．（2007高二·全国·竞赛）已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，可得：，
则直线AB的方程为：，即.
又因为动点在线段AB上运动，
所以，
则，当且仅当，即，时等号成立，
所以.最大值为3.
故选：C.
9．（2023高三下·全国·竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的基本运算化简得到，根据为圆上两点圆上的两点得到的范围，设点，代入不等式中，求出的取值范围，要求解得面积，则求出点到直线的距离，及的长，利用三角形面积公式结合参数的取值范围即可解决问题.
【详解】由题意如图所示：
因为，
所以，
所以，
因为为圆上两点，且圆的圆心半径为，
所以，
所以，
因为为直线上一点，所以设，且
所以有，
解得：，
又，所以，
所以，
所以点到直线的距离为：
，
因为，所以，
又，
所以
所以，
面积的取值范围为：.
故选：A.
10．（2015高一下·广东潮州·竞赛）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知A与点B关于直线l对称，可求出直线l方程，C与点D也关于直线l对称，可得CD中点在直线l上，且kCD=-，即可求出结果.
【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称.
易知kAB=-，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)，
则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3，
因为CD中点在直线l上，且kCD=-，
所以可列方程组为解得所以m+n=.
故选：A
【点睛】本题考查了点关于点的对称直线，考查了计算能力，属于一般题目.
11．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个.
A．35 B．36 C．37 D．38
【答案】C
【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解.
【详解】
显然直线，上无整点，
当，，有1个点；
当，，有1个点；
当，，有2个点；
当，，有3个点；
当，，有3个点；
当，，有4个点；
当，，有5个点；
当，，有5个点；
当，，有6个点；
当，，有7个点；
得到37个整点.
故选：C.
【点睛】利用数形结合的方法进行求解.
12．（16-17高三·北京·强基计划）已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆心连线所在直线的倾斜角为，则两圆的半径满足方程，根据条件可求角的正切值，进而利用二倍角公式求得直线的斜率.
【详解】 设圆心连线所在直线的倾斜角为，则为锐角，
且圆的方程为，
其中r分别取，于是
整理可得，
因此，是，
进而直线l的斜率.
故选:B
13．（16-17高三·北京·强基计划）正方形与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】根据题设条件可得的轨迹为圆，故可求的最大值.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，．
根据题意，，
即，
于是点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此的最大值为．
故选：A.
14．（16-17高三·北京·强基计划）给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（ ）
A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线
【答案】A
【详解】如图，设点P关于线段的中点M的对称点为Q，连结．
根据题意，四边形为矩形，
由矩形的性质可得，
故
进而点M的轨迹为圆，
故选：A
15．（17-18高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.
【详解】如图，设．
根据题意，设题中代数式为M，则，
等号当P，Q分别为直线与x轴，y轴交点时取得．
因此所求最小值为13．
故选：C.
16．（18-19高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（ ）
A．1 B． C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】求出点P关于直线对称的点的轨迹与已知圆的交点后可求的值.
【详解】如图，点P关于直线对称的点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆．
这个圆与题中的圆外切于点，因此．
故选：C.
17．（18-19高三·北京·强基计划）满足和的实数对的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】画出两个方程表示的图形，从而可得实数对的个数.
【详解】如图，表示两条平行直线和，表示正方形，
其中．
因此符合题意的实数对有4个．
故选：C.
18．（18-19高三·北京·强基计划）设a，b为正实数，则关于正实数x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】设，则原不等式可化为，故可得其解唯一.
【详解】根据题意，有，
设，则，且不等式左侧为，如图．
由三角形两边之和大于第三边可得符合题意的点M只可能位于与x轴的交点，因此所求x的取值唯一．
故选：D.
19．（18-19高三·北京·强基计划）设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
【答案】A
【分析】算出三条直线的方向向量，根据法向量相互垂直可求a的值，故可得正确的选项.
【详解】三条直线的法向量分别为，
于是a的值必然在集合．
经验证，当时，中有重合的直线，当时，三线共点，因此所求组数为2．
故选:A.
20．（20-21高三·江苏·强基计划）在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，k的值可以取（ ）个．
A．8个 B．9个 C．7个 D．6个
【答案】A
【分析】联立方程确定k和x满足的关系式，再根据k和x均为整数确定k和x的值从而得出答案.
【详解】根据题意，联立两直线方程得化简得
，即时， ;
，即时， ；
，即时， ;
，即时， ;
，即时，；
，即时，；
，即时，；
，即时，.
所以k的值可以取8个，选项A正确.
故选：A.
21．（2022高二上·安徽阜阳·竞赛（多选题））下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为，则实数的取值范围是
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BD
【分析】根据斜率为求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出，因为，所以，解不等式可判断C；分为两种情况讨论，当在轴和轴上截距都为时；当过点且在轴和轴上截距相等不为时，求出直线方程可判断D.
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故选项A正确；
对于B：当时，与直线斜率乘积等于，两直线互相垂直，所以充分性成立；
若“直线与直线互相垂直”，则可得或，所以不一定有，故必要性不成立，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：因为直线与直线相交，
所以两直线的斜率不相等，即，即，
由与消去得，
因为，所以，整理得且，
解得或，故选项C正确；
对于D：当过点且在轴和轴上截距都为时，所求直线方程为，
当过点且在轴和轴上截距相等不为时，设所求直线方程为，即，可得，所求直线的方程为，
综上，所求直线方程为或，故选项D错误.
故选：BD.
22．（2022高三·湖南湘西·竞赛（多选题））如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段长度的最大值为；
B．弦长度的最小值为；
C．点的轨迹是一个圆；
D．四边形面积的取值范围为.
【答案】BCD
【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A；由圆的性质判断B；若分别是的中点，圆心到直线和的距离且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判断C；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围判断D.
【详解】由题设圆的方程为，
设圆心为，则，半径，
由三角形两边之和大于第三边可知，且，
所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；
由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小，
此时圆心与直线距离为，故正确；
若分别是的中点，则且且，
又，易知：为矩形，而，
若圆心到直线的距离且，
所以，则，故，
所以在以为直径，交点为圆心的圆上，C正确；
由上分析：，而，
所以，
令，则，
当，即时，；
当或5，即或时，；
所以，D正确；
故选：BCD
【点睛】难点在于CD选项，选项C：证明分别是的中点所形成的四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D：利用得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.
23．（23-24高三下·全国·强基计划（多选题））直线l：，，，，下列选项中正确的有（ ）．
A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行
C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上
【答案】AB
【分析】若，则，或，根据点与直线的位置关系判定A；若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系判断B；为两点到直线的距离，判断C；点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而判断D．
【详解】若，则，或，
即点在直线的同侧，且直线与线段不平行．故A正确；
若，则，即，
若，则，过两点的直线与直线斜率都不存在，故平行，
若，则，，即过两点的直线与直线平行，故B正确；
因为，即为两点到直线的距离，
若，则，即两点到直线的距离相等，且直线l两侧，
但l与射线PQ不一定垂直，即C不正确；
若点在直线上，则，
结合题设及分母不为0，不存在实数，使点在直线上，故D不正确.
故选：AB
24．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）若函数与坐标轴有三个交点、、，且的外心在上，则 ；
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性和三角形的外心性质可以确定三角形的外心是抛物线的对称轴与直线的交点，再通过三角形外心的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.
【详解】设三角形的外心为
该二次函数的对称轴为，所以有，
不妨设点、在横轴上，设为、、，在纵轴上，即，
则根据一元二次方程根与系数关系有，，
，
，
因为为外心，
所以，
所以，解得，或，
当时，由，或，
若，显然、两点重合，不符合题意；
当时，由，由，所以；
当时，，，或
若，显然、两点重合，不符合题意；
当时，由，由，所以，
综上所述：，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的对称性和三角形外心的性质，应用分类讨论思想进行解题.
25．（2024高一下·海南海口·竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为
【答案】20
【分析】设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.
【详解】设三角形三个顶点坐标分别为，其中，
设，
则，，
的周长
，
令，则，
当且仅当，即时，周长取最小值20.
故答案为：20
26．（2024高二下·广西·竞赛）若正实数，满足，则的最大值为 ．
【答案】10
【分析】设，，可得，，进而可得，可求的最大值.
【详解】设，．
则，，
所以，所以，
故．
从而的最大值为10．
27．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．
【详解】如图所示，
得到圆心；
得到圆心；
由于，所以两圆相离，因为为上的动点，，
所以要使取得最大值，只需最大即可，
因为，则的最大值为.
故答案为：3.
28．（2024高二下·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 .
【答案】
【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，由此可求出，即可得出答案.
【详解】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上，
因为联立两圆方程解得：，
圆与圆仅有唯一公共点，
因此对称点只能是.因为，，
由余弦定理可得：，
所以，因此.
故答案为：.
29．（2007高二·全国·竞赛）在直角坐标系xOy上有两点､，给定三个条件：①，②，③.请从上述三个条件中选出两个分别填在下列空白处（只填代号），使其构成一个真命题：当且仅当 .
【答案】或
【分析】找出互为充要条件的两个条件即可得.
【详解】若①成立，则有，
即，故①是②的充分条件，
但当时，③不成立，故①不是③的充分条件；
若②成立，则有，
故，故②是①的充分条件，
但当时，③不成立，故②不是③的充分条件；
故①与②互为充要条件.
故答案为：或.
30．（2007高二·全国·竞赛）直角坐标系中，曲线围成的图形的面积是 .
【答案】
【分析】根据题意，分类讨论，方程围成的图形，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】当时，可得，即，
此时曲线是以点为圆心，半径为的圆，其中位于的上方的部分；
当时，可得，即，
此时曲线是以点为圆心，半径为的圆，其中位于的下方的部分，
若是两圆的交点，且两圆的公共弦的方程为，如图所示，
连接，因为点在直线，
因为，且，可得，所以，
所以是圆的直径，所以，且
可得，
又因为，所以，
因为，
所以曲线围成的图形的面积是.
故答案为：.
31．（2007高二·全国·竞赛）方程所表示的曲线围成的图形面积为 .
【答案】18
【分析】分类作出图形即可求解.
【详解】当时，原方程为；
当时，原方程为；
当时，原方程为；
当时，原方程为.
作出上述四个方程图象如图：
由图可知，所求面积为.
故答案为：18
32．（2007高二·全国·竞赛）与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有 条.
【答案】4
【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
当横纵截距为零时，直线方程为，
令，整理得，
因为，所以方程有两个解，
故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；
当横纵截距不为零时，设直线方程为，
令，解得或10，
所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，
综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.
故答案为：4.
33．（2014高一·全国·竞赛）已知，则满足条件的点所形成的区域的面积为 .
【答案】
【分析】
由题意，求出点所形成的区域，根据图形求出面积即可.
【详解】由已知可得，
化简为，等价于或，
故满足条件的点形成的区域如图中阴影部分，
所以.
故答案为：
34．（2018高二·全国·竞赛）已知点在圆上，则的最小值为 .
【答案】-2
【分析】将代数式分成和两部分，令，，求的最小值，即为求的最小值和的最大值，结果它们取得最值的条件相同，即求得的最小值.
【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，
求的最小值，即为求的最小值和的最大值，
令，表示原点与的连线的斜率，所以当与圆相切时，
，解得或，故的值最大为，
由解得切点为.
令与圆有交点，
，
而要取的最小值，即时满足切点为.
故最小，最小值为-2.
故答案为：-2.
35．（2018高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 .
【答案】10
【分析】根据两点间距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题可得到答案.
【详解】设点，
则
，
当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立.
故答案为：10.
36．（2013高二·全国·竞赛）在定圆：内过点作两条互相垂直的直线与圆分别交于点、和点、，则的范围是 ．
【答案】
【分析】设，求出两种临界值下的最值，进而求出的范围，再结合基本不等式和对勾函数即可求解
【详解】因为圆：的圆心为，半径为，，
所以圆中过点的弦，直径最长，垂直于的弦最短，
设，当时，，则，
交换线段位置可得，故，
所以，当且仅当时，等号成立，
显然能取到，故，由对勾函数性质可知，
当或时，，所以.
故答案为：.
37．（2013高二·全国·竞赛）已知点在圆上，点在曲线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将看成点和距离的平方，画出曲线和圆即可求解.
【详解】的最小值就是双曲线和圆上点的最小距离的平方，如下图，
由对称性，不妨设，则，当且仅当时等号成立，
即当坐标为时，点距离圆心最近，
即的最小值为，
故答案为：.
38．（2016高一·全国·竞赛）已知半径为1，分别为其两条切线，切点分别为，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据数量积的定义，结合二倍角公式可得利用换元法可得，即可由基本不等式求解.
【详解】连接 ，
设，则，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为，
故答案为：
39．（2008高二·全国·竞赛）给定一个点及两条直线和，则过点且与都相切的圆方程为 .
【答案】或
【分析】根据圆心到两直线的距离相等得到圆心在直线上，设出圆心坐标，得到关于圆心坐标的方程，解方程即可.
【详解】，且与圆相切，
圆心一定在直线上，圆半径，
设圆心坐标为，则①，
又圆的方程为，
将点代入得②，由①②得或，
故所求圆的方程为或．
故答案为：或.
40．（2008高二·全国·竞赛）设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ．
【答案】
【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可.
【详解】设点分别为，
，，
为使区间与最多只有一个点重合，应有，即．
故答案为：
41．（2010高二·全国·竞赛）若直线与圆相切，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先用原点到直线的距离等于半径，得到的关系，再用基本不等式确定的范围．
【详解】由直线与圆相切，
则，即，
因为，所以.
故答案为：
42．（2009高二·全国·竞赛）方程的图象与轴围成的图形的面积是 .
【答案】
【分析】先化简题中方程得到两条直线，得到其图象与轴围成的图形为三角形，进而求得其面积.
【详解】由可得，
，
或.
即原方程的图象与轴围成的图形是三角形.
直线与交点为.
又直线与在轴上的截距分别为.
则围成的图形面积为
故答案为：
43．（2009高二·全国·竞赛）不等式的解集是，则 .
【答案】6
【分析】设，转化为，作出和的图象，根据图象求解.
【详解】设，则，
作和的图象如图：
由图知.
故答案为：6
44．（2007高二·全国·竞赛）直线被圆截得弦长为，则 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用弦长公式，即可求出结果.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线为，
由题有，整理得到，
故答案为：.
45．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 .
【答案】
【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解.
【详解】因为，
所以它表示点到点和的距离之差，如图所示：
因为，
所以的最大值为.
故答案为：.
46．（2023高二·安徽·竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ．
【答案】
【分析】利用面积公式，转化为等式即点到的距离为定值，即可求解圆的方程.
【详解】设到的距离为，则，
又所以点到的距离为定值，
与圆相切．
故答案为：
47．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ．
【答案】
【分析】由结合向量加减法的意义可得为等腰直角三角形，再由点到直线距离及垂径定理求解即可.
【详解】因，由向量加法和减法的几何意义知，
以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，
从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形，
所以，从而O到直线的距离为，
所以，得.
故答案为：
48．（2007高二·上海·竞赛）曲线围成的图形的面积是 .
【答案】/
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，
因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
∴，
故围成的图形的面积为：.
故答案为：.
49．（2021高三·全国·竞赛）若关于a､b的方程组有实数解，则k的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，故的几何意义为直线上的动点与距离的平方，故的最小值为，
故k的取值范围为，
故答案为：.
50．（2020高三·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则 ．
【答案】2020
【详解】解析：．
故答案为：2020.
51．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）设，则M的最大值为 ．
【答案】
【分析】作函数的图象，利用数形结合求解即可.
【详解】不妨令，
则看成两函数在处的有向距离(铅锤距离).
在同一坐标系中，画出和的图象，如图，
当直线与相切时，
由得（舍去）
所以
故答案为：
52．（2020高三·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】由已知条件计算出经过三点的圆的直径，即可计算出圆上的点到原点距离最大值.
【详解】解：记，圆经过点O，A，B．则，，，所以，故为圆的直径．从而圆上的点到原点O的距离的最大值为．
故答案为：
53．（2019高三·浙江·竞赛）设三条不同的直线：，，，则它们相交于一点的充分必要条件为 .
【答案】
【详解】设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有，
三式相加可得：，
即：，
据此有：，则：.
反之，当时，方程组有解，即三条直线相交于一点.
故答案为： ．
54．（2018高三·上海·竞赛）已知两直线，与的交点在第一象限，则实数c的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由与得交点，所以
55．（2015高二上·河北保定·竞赛）已知关于的方程表示两条直线，则 ．
【答案】3或4
【分析】方程表示两条直线，所以方程可化为,对其展开利用对应想系数相等，求出或4．
【详解】方程表示两条直线，
所以方程可化为,
所以，
，即
所以，
所以，或4
故答案为：或4.
56．（2010高一·广东广州·竞赛）过点且平行于直线的直线方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：利用直线平行，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线l的方程．根据过点且平行于直线，可知直线方程为，然后将点代入得到解析式为，故答案为．
考点：直线与直线的平行
点评：本题考查直线与直线的平行，直线方程的求法，考查计算能力，基础题
57．（2010高二·全国·竞赛）曲线x+y和它关于直线的对称曲线总有交点，那么m的取值范围是 ．
【答案】m
【分析】由题意二次曲线表示圆，对称圆与已知圆有公共点，列出不等式求出m的范围即可．
【详解】∵曲线x2+y2+y+m＝0表示圆，
∴12﹣4m＞0，∴m，
x2+y2+y+m＝0的圆心（0，），半径．
∵圆C：x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有交点，
∴对称圆与已知圆有交点，
∴
解得m．
综上m的取值范围是m
故答案为m．
【点评】本题考查二次曲线表示圆的条件，圆与圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．
58．（22-23高一·安徽芜湖·强基计划）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设，求得，连接交于点，连接，取的中点，
连接，此时最小，结合，即可求解.
【详解】因为点为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
所以可设，则，解得或（舍去），即点，
即圆的方程为，
如图所示，连接交于点，连接，取的中点，
连接，此时最小，
因为，点是的中点，
所以，所以，
当点运动到时，最小，
又因为的半径为，所以的最小值为.
故答案为：.
59．（18-19高三·北京·强基计划）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为 ．
【答案】
【分析】利用二次函数可求平面区域的直径.
【详解】设坐标原点为O，题中平面区域内两点为P，Q，设，则
，
等号当时取得，从而，
等号当时取得，因此所求直径为．
故答案为：.
60．（20-21高三·北京·强基计划）在平面直角坐标系中，设，向量，其中，动点P满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】算出点C和点P的轨迹的轨迹后可求的最小值.
【详解】根据题意，其中，因此点C在直线上运动．
而点P的轨迹是以为直径的圆，
即，圆心为，半径为．
到直线的距离为，
因此的最小值为．
故答案为：.
61．（2009高二·全国·竞赛）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长．
【答案】，
【分析】先得到点四点共圆，为该圆直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程；直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求得，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出的长.
【详解】由切线性质知．
四点共圆，且是直径．
由知．
所求圆的圆心．
故所求圆的方程为．
圆与圆的方程相减得到两圆公共弦（即所在直线方程为．
圆心到直线的距离，
．
62．（2007高二·全国·竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､.
(1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式；
(2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值.
【答案】(1)，，
(2)当时，取最大值为
【分析】（1）由题意求出点和点的坐标，进而求出直线的方程，讨论t的取值范围，结合三角形面积公式，即可求得答案.
（2）分段求解函数的最值或取值范围，即可确定答案
【详解】（1），，
点的坐标为，即，
而，由此可求得点坐标为，
则的方程为，直线的方程为.
当时，点､分别在边和上，两点分别为､，
；
当时，点､分别在边和上，
，
综上所述，；
（2）当时，，当时，取最大值为.
当时，，
此时在上单调递减，，
故当时，取最大值为.
63．（2007高二·全国·竞赛）､是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在，试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数？
(2)试确定是否为一个常数？
(3)设.试确定是否存在两个定点､，使，的斜率的乘积为一个常数？
【答案】(1)是常数
(2)是常数
(3)存在
【分析】（1）根据即可得出结论；
（2）根据，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解；
（3）设，先求出点的轨迹方程，进而可得出结论.
【详解】（1）∵，且OP，OQ的斜率都存在，
∴OP和OQ的斜率的乘积为常数；
（2）∵，故，
∴，
所以为常数；
（3）设，
∵，
∴，
∵，
所以，即，
故M点为圆上一点，
所以当，为圆上一直径的两端点时，，
当的斜率都存在时，的斜率之积为常数，这样的定点有很多.
64．（2009高二·全国·竞赛）一个圆被轴分成两段，弧长之比为1:3，被轴截得弦长为4，求圆心到直线距离最小时圆的方程.
【答案】
【分析】先设圆的圆心，半径为.根据条件，得到之间的关系.再由圆心到直线的距离，得到之间的关系，消去，可得的一个二次关系，看成关于的一元二次方程，由可得的最小值，进一步确定的值，得到圆的标准方程.
【详解】解:设圆心，半径为.因圆被轴分成的弧长之比为1:3，
所以，，①
又，所以.②
由①、②得:.
又到直线的距离.
所以
所以，即有实根，
所以
所以所以，
此时，，，.
因为，所以同号.
圆的方程为或
【点睛】方法点睛：通常求点到直线距离最小的问题，多数是通过转化，利用基本（均值）不等式求最值以及此时对应的参数的值，而本题是把点到直线的距离当成一个一元二次方程的系数，利用方程有解，从而，得到关于的不等式，进而得到的最值.
65．（2012高一·广东韶关·竞赛）已知点及圆：.
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
【答案】（1）和；（2）
【详解】试题分析：（1）利用点到直线的距离构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验斜率不存在的情形.（2）因为，所以到直线的距离为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程.
解析：（1）若直线的斜率存在，则方程为. 即.又圆的圆心为，半径，由 ， 解得.所以直线方程为， 即. 若的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.
（2）由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.
点睛：注意利用几何量的相互关系简化计算.
66．（2010高二·广东广州·竞赛）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）如果圆上存在两点关于直线对称,求的值.
（Ⅲ）已知、，圆内的动点满足，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式即得；
（Ⅱ）由题可得直线必过圆心，即得；
（Ⅲ）由题可得动点满足，结合条件及向量数量积公式可得，即得.
【详解】（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r为圆心到直线的距离，
∴，
∴圆的方程为；
（Ⅱ）∵圆上存在两点关于直线对称，
∴直线必过圆心，
∴，即；
（Ⅲ）设，由，可得
，
整理可得，
∴，
又点在圆内，
∴，
∴，，
故的取值范围为.
67．（23-24高三下·全国·强基计划）有零点，则的最小值为多少.
【答案】
【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，方程有实数根，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以，
，
令，则，
因为，所以，则，
由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，
所以.
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义.
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2025新高考高二直线和圆的方程易错培优竞赛试题
【专题目录】
专题一：名校直线和圆的方程易错题精选
专题二：名校直线和圆的方程培优题精选
专题三：直线和圆的方程全国高中数学联赛强基计划精选试题
【精选练习】
专题一：名校直线和圆的方程易错题精选
1．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点作曲线的切线，切线长为
B．当三点不共线时，
C．在上存在点，使得
D．的最小值为
5．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ）
A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4
B．若直线被圆截得的弦长为2，则
C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则
D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1
6．（多选题）已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为
B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为
D．的最小值为
7．（多选题）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ）
A．圆O与直线l相离 B．存在最小值
C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形
8．（多选题）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
9．（多选题）已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心在定直线上 B．圆的面积的最大值为
C．圆的半径的最小值为1 D．满足条件的所有圆的半径之积为8
10．（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线经过的整数点个数为4个
C．的取值范围均为
D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
11．（多选题）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相交
B．若直线与圆相切，则
C．圆上一点到直线的最大距离为
D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则
12．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
13．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ．
14．已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 .
15．已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 .
16．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
17．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
18．已知为圆上一点，，则的最小值为 ．
19．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ．
20．如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
专题二：名校直线和圆的方程培优压轴试题精选
1．今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在坐标平面内存在点，使得恒成立；
②三角形面积的最小值为.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题
4．函数的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过
C．曲线与有8个交点
D．曲线所围成图形的面积小于2
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）已知圆：（），直线，则（ ）
A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切
B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点
C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切
D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切
9．（多选题）若曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．若曲线与直线有公共点，则
C．曲线上任意两点之间距离的最大值为
D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为
10．（多选题）若，满足且的点构成的区域记为.满足且的点构成的区域记为，则（ ）
A．的面积为16 B．的周长为 C．的面积为 D．的周长为
11．（多选题）已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线C构成的封闭图形面积大于的面积
12．（多选题）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（ ）
A．对于任意的正整数n，
B．对于任意的正整数n，为整数
C．存在正整数n，三角形的面积为2025
D．存在正整数n，三角形为钝角三角形
13．（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若，则圆与轴有交点
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
14．（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线与直线有3个公共点；
B．的最大值为4
C．曲线所围成的图形的面积为
D．的最大值为
15．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 .
16．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
17．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 .
18．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ．
19．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
20． 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
(1)如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
(2)如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
(3)已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
专题三：直线和圆的方程全国高中数学联赛强基计划精选试题
1．（2024高三下·全国·竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
3．（2007高二·全国·竞赛）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2007高二·全国·竞赛）直线绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆的位置关系为（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
5．（2017高二·全国·竞赛）已知曲线：，曲线：，已知两曲线有三个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2016高二·全国·竞赛）过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数为（ ）
A．36 B．37 C．72 D．74
7．（2015高二·全国·竞赛）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2007高二·全国·竞赛）已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．（2023高三下·全国·竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2015高一下·广东潮州·竞赛）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（ ）个.
A．35 B．36 C．37 D．38
12．（16-17高三·北京·强基计划）已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
13．（16-17高三·北京·强基计划）正方形与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
14．（16-17高三·北京·强基计划）给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（ ）
A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线
15．（17-18高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
16．（18-19高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（ ）
A．1 B． C． D．前三个答案都不对
17．（18-19高三·北京·强基计划）满足和的实数对的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．以上答案都不对
18．（18-19高三·北京·强基计划）设a，b为正实数，则关于正实数x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
19．（18-19高三·北京·强基计划）设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
20．（20-21高三·江苏·强基计划）在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，k的值可以取（ ）个．
A．8个 B．9个 C．7个 D．6个
21．（2022高二上·安徽阜阳·竞赛（多选题））下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为，则实数的取值范围是
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
22．（2022高三·湖南湘西·竞赛（多选题））如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段长度的最大值为；
B．弦长度的最小值为；
C．点的轨迹是一个圆；
D．四边形面积的取值范围为.
23．（23-24高三下·全国·强基计划（多选题））直线l：，，，，下列选项中正确的有（ ）．
A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行
C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上
24．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）若函数与坐标轴有三个交点、、，且的外心在上，则 ；
25．（2024高一下·海南海口·竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为
26．（2024高二下·广西·竞赛）若正实数，满足，则的最大值为 ．
27．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ．
28．（2024高二下·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 .
29．（2007高二·全国·竞赛）在直角坐标系xOy上有两点､，给定三个条件：①，②，③.请从上述三个条件中选出两个分别填在下列空白处（只填代号），使其构成一个真命题：当且仅当 .
30．（2007高二·全国·竞赛）直角坐标系中，曲线围成的图形的面积是 .
31．（2007高二·全国·竞赛）方程所表示的曲线围成的图形面积为 .
32．（2007高二·全国·竞赛）与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有 条.
33．（2014高一·全国·竞赛）已知，则满足条件的点所形成的区域的面积为 .
34．（2018高二·全国·竞赛）已知点在圆上，则的最小值为 .
35．（2018高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 .
36．（2013高二·全国·竞赛）在定圆：内过点作两条互相垂直的直线与圆分别交于点、和点、，则的范围是 ．
37．（2013高二·全国·竞赛）已知点在圆上，点在曲线上，则的最小值为 ．
38．（2016高一·全国·竞赛）已知半径为1，分别为其两条切线，切点分别为，则的最小值为 ．
39．（2008高二·全国·竞赛）给定一个点及两条直线和，则过点且与都相切的圆方程为 .
40．（2008高二·全国·竞赛）设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ．
41．（2010高二·全国·竞赛）若直线与圆相切，则实数的取值范围为 .
42．（2009高二·全国·竞赛）方程的图象与轴围成的图形的面积是 .
43．（2009高二·全国·竞赛）不等式的解集是，则 .
44．（2007高二·全国·竞赛）直线被圆截得弦长为，则 ．
45．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 .
46．（2023高二·安徽·竞赛）圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为 ．
47．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ．
48．（2007高二·上海·竞赛）曲线围成的图形的面积是 .
49．（2021高三·全国·竞赛）若关于a､b的方程组有实数解，则k的取值范围为 .
50．（2020高三·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则 ．
51．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）设，则M的最大值为 ．
52．（2020高三·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原点的距离的最大值为 ．
53．（2019高三·浙江·竞赛）设三条不同的直线：，，，则它们相交于一点的充分必要条件为 .
54．（2018高三·上海·竞赛）已知两直线，与的交点在第一象限，则实数c的取值范围是 ．
55．（2015高二上·河北保定·竞赛）已知关于的方程表示两条直线，则 ．
56．（2010高一·广东广州·竞赛）过点且平行于直线的直线方程为 .
57．（2010高二·全国·竞赛）曲线x+y和它关于直线的对称曲线总有交点，那么m的取值范围是 ．
58．（22-23高一·安徽芜湖·强基计划）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是 ．
59．（18-19高三·北京·强基计划）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为 ．
60．（20-21高三·北京·强基计划）在平面直角坐标系中，设，向量，其中，动点P满足，则的最小值为 ．
61．（2009高二·全国·竞赛）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长．
62．（2007高二·全国·竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､.
(1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式；
(2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值.
63．（2007高二·全国·竞赛）､是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在，试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数？
(2)试确定是否为一个常数？
(3)设.试确定是否存在两个定点､，使，的斜率的乘积为一个常数？
64．（2009高二·全国·竞赛）一个圆被轴分成两段，弧长之比为1:3，被轴截得弦长为4，求圆心到直线距离最小时圆的方程.
65．（2012高一·广东韶关·竞赛）已知点及圆：.
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
66．（2010高二·广东广州·竞赛）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）如果圆上存在两点关于直线对称,求的值.
（Ⅲ）已知、，圆内的动点满足，求的取值范围．
67．（23-24高三下·全国·强基计划）有零点，则的最小值为多少.
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